Матричная запись методов Якоби и Зейделя

Итерационные методы решения СЛАУ

Канонический вид итерационных методов решения СЛАУ.

Итерационные методы Якоби и Зейделя

Рассмотрим СЛАУ

, (6.1)

где матрица , , имеет обратную, , .

Рассмотрим сначала два примера итерационных методов. Для их построения предварительно преобразуем систему (6.1) к виду

, (6.2)

(при этом предполагается, что все отличны от нуля).

Условимся, как обычно, считать значение суммы равным нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Так, уравнение (6.2) при имеет вид

.

В дальнейшем верхний индекс будет указывать номер итерации.

В методе Якобиисходят из записи системы в виде (6.2), причем итерации определяются следующим образом:

. (6.3)

Начальные значения , , задаются произвольно. Окончание итераций определяется либо заданием максимального числа итераций , либо условием

,

где заданное число.

Итерационный метод Зейделя имеет вид

. (6.4)

Чтобы понять, как находятся отсюда значения , , запишем подробнее первые два уравнения системы (6.4).

, (6.5)

. (6.6)

Первая компонента вектора находится из уравнения (6.5) явным образом, для ее вычисления нужно знать вектор и значение . При нахождении из уравнения (6.6) используются только что найденное значение и известные значения , , с предыдущей итерации. Таким образом, компоненты вектора находятся из уравнения (6.4) последовательно, начиная с .

Матричная запись методов Якоби и Зейделя

Для исследования сходимости итерационных методов удобнее записывать их в матричной форме. Представим матрицу системы (6.1) в виде суммы матриц

, (6.7)

где диагональная матрица с той же главной диагональю, что и матрица . Матрица нижняя треугольная матрица и верхняя треугольная матрица с нулевыми главными диагоналями.

Например, при матрицы имеют вид

, , .

Тогда систему (6.2) можно представить в виде матричного уравнения (доказать):

.

Метод Якоби (6.3) в векторной записи выглядит следующим образом:

,

или

. (6.8)

Метод Зейделя (6.4) записывается в виде

,

или

. (6.9)

Учитывая (6.7), методы (6.8) и (6.9) можно переписать соответственно в виде

, (6.10)

. (6.11)

Из этой записи видно, что если итерационный метод сходится, то он сходится к решению исходной системы уравнений.

Часто для ускорения сходимости в итерационные методы вводятся числовые параметры, которые зависят, вообще говоря, от номера итерации. Например, в методы (6.10), (6.11) можно ввести итерационные параметры :

,

.

Способ выбора итерационных параметров выясняется при исследовании сходимости. В теории итерационных методов существует два круга вопросов: а) при каких значениях параметров метод сходится, б) при каких значениях параметров сходимость будет более быстрой.

Методы Якоби и Зейделя относятся к одношаговым итерационным методам, когда для нахождения требуется помнить только одну предыдущую итерацию . Иногда используются и многошаговые итерационные методы, в которых определяется через значения на двух и более предыдущих итерациях, т.е. .