Классификация изолированных особых точек с помощью ряда Лорана.

Примеры.

1. f(z)= (-1)ⁿz²ⁿ= (-z²)ⁿ=1/(1+z²); Как легко показать, ряд сходится при |z|<1. Сумма ряда – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Особые точки суммы ряда очевидно z_1,2=±i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x²) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1 и расходится при |x|1, хотя эта функция при "x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.

 

2. Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное

множество особых точек на границе своего круга сходимости.

- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара).

При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки , |z_k,m|=1;

k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, z_k,0=1; m=2^k , =1, при m=1,... ,2^k-1 точки делят окружность единичного радиуса на 2^k частей.

и при n³k =1=> в этих точках ряд расходится. При k®¥ точки z_k,m всюду плотно расположены на единичной окружности => Сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга (т.е. в любой -окрестности каждой точки границы |z|=1 найдутся особые точки) => Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга !!. (Т.к. в " точке z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1.

 

Рассмотрим ряд

По формуле Коши-Адамара, данный ряд сходится в любой точке |z|<1 к (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Вне круга сходимости ряд расходится. Построим разложение f(z) в степенной ряд с центром в т.z₀= -0,9:

 

В нашем случае f(z)= Круг сходимости Ряд сходится внутри этого круга сходимости к . Т.е. круг сходимости выходит за пределы первоначального круга |z|<1.

Взяв в качестве нового центра разложения точку z₁ внутри круга |z-z₀|<|1-z₀|, получим ряд , сходящийся внутри круга |z-z₁|<|1-z₁|

Ряды сходятся к функциям . Отметим, что при любом выборе центра разложения, граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку z=1. Тем самым можно построить аналитическое продолжение f(z) на всю комплексную плоскость за исключением точки z=1. При этом, полученное с помощью рядов аналитическое продолжение будет - определенная и аналитическая на всей комплексной плоскости, кроме точки z=1. Хотя и имеют место многочисленные взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная аналитическая функция является однозначной во всей области своего определения.

 

3. Пусть f(z) является аналитической функцией в области g. И пусть точка z₀ является достижимой граничной точкой. Будет ли z₀- особой точкой f(z).

Теорема Принсгейма. Если и Rec_n0 – то точка z=1 – особая точка функции

Теорема Фабри. Если то точка z=1 – особая точка функции

Эти теоремы выходят за рамки нашего курса, поэтому даются без доказательств.

 

п.3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

 

Теорема 13.2

Пусть f_i(z)ÎC^¥(g_i), i=1,2 и f_i(z)ÎC (g_i+G) и f₁|_G= f₂|_G. Тогда

$F(z)= ÎC^¥(g=g₁+g₂+G).

Доказательство. Достаточно показать, что "z₀ÎG является правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G). Возьмем "z₀ÎG и построим C=C₁(Ìg₁)+C₂(Ìg₂); CÌg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши

F(z)= ÎC^¥(g'Ìg). Поскольку при zÏC F(z) непрерывна на C, то z₀- правильная точка F(z).Пусть z₁Îg'₁. Тогда F(z₁)= + + . Второе слагаемое равно 0 т.к. z₁Îg'₁. => F(z₁)=F(z₁). Аналогично получим, что при z₂Îg'₂ F(z₂)=F(z₂). По непрерывности получим, что F(z₀)=F(z₀) => z₀ÎG является правильной точкой F(z). n

Построенная функция F(z) является аналитическим продолжением функции f₁(z) в область g.

 

§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.

 

п.1. Элементарные функции комплексной переменной.

 

Пусть [a,b]Ìg комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции в g может $! функция f(z)ÎC^¥(g), принимающая заданные значения f(x) на xÎ[a,b]. Если такая f(z) $, то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x !!.

 

Элементарные функции действительной переменной.

 

sin x= ; cos x= ; e^x= - сходятся для "x

Целые функции (область сходимости – вся комплексная плоскость) , , - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, e^x на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера: e^iz=cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.

 

 

п.2. Аналитическое продолжение соотношений.

 

Перейдем к рассмотрению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, но и аналитически продолжать в комплексную область соотношения.

Определение. Функция комплексных переменных F(w₁,w₂,…,w_n) , w_iÎD_i, называется аналитической функцией многих переменных, если F и F/w_i непрерывны по совокупности переменных w₁,w₂,…,w_n.

Определение. Функция комплексных переменных F(z₁,z₂,…,z_n) , z_iÎD_i, называется аналитической функцией каждой из переменных, если соответствующая функция Ф_i(z_i)=F(z₁⁰, …,z_i-1⁰ ,z_i, z_i+1⁰ ,…z_n⁰ ) одной переменной z_i является аналитической функцией данной переменной. Тогда

Теорема 14.1 Пусть функции w_i=f_i(z)ÎC^¥(g) и [a,b]Ìg, w_iÎD_i. И пусть F(z)=F[w₁,..., w_n] является аналитической функцией каждой из переменных w_iÎD_i. Тогда из соотношения F[f₁(x),...,f_n(x)]=0, xÎ[a,b] =>F[f₁(z),...,f_n(z)]º0, zÎg.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что F(z)ÎC^¥(g). Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное.

DF=F[f₁(z+Dz),f₂(z+Dz)]-F[f₁(z),f₂(z)]=F[f₁(z+Dz),f₂(z+Dz)]-F[f₁(z),f₂(z+Dz)]+ +F[f₁(z),f₂(z+Dz)]-F[f₁(z),f₂(z)]= т.к. частные производные F существуют и непрерывны= =>$ , Ф’(z)-непрерывна =>F(z)ÎC^¥(g) n.

 

Теорема 14.1 позволяет аналитически продолжать в комплексную плоскость соотношения между элементарными функциями одной действительной переменной.

 

Примеры.

1. Из известного соотношения e^ix=cos x+ isin x => e^iz=cos z+ isin z

2. sin²x+cos²x=1 => sin²z+cos²z=1, причем |cos z| и |sin z| по Теореме Лиувилля неограниченны на всей комплексной плоскости.

3. ; e^lnx=x, x>0. В области D₀ рассмотрим неопределенный интеграл f(z)= ; 1/xÎC^¥(x¹0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез!) $ и f(z)ÎC^¥(D₀)- аналитическое продолжение

ln x (x>0). Если сохранить старое обозначение, то lnz= , zÎC^¥(D₀). По теореме 14.1 e^{ln z}=z, " zÎD₀. lnz – главное значение логарифма

Теорема 14.2 Пусть функции w_i=f_i(z_i)ÎC^¥(g_i) и [a_i,b_i]Ìg_i, w_iÎD_i. И пусть F(z₁,…,z_n)=F[w₁,..., w_n] является аналитической функцией каждой из переменных w_iÎD_i. Тогда из соотношения F[f₁(x₁),...,f_n(x_n)]=0, x_iÎ[a_i,b_i] (*) =>F[f₁(z₁),...,f_n(z_n)]=0, "z_iÎg_i.

Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x₂⁰Î[a₂,b₂] и рассмотрим F₁(z₁)=F[f₁(z₁),f₂(x₂⁰)]ÎC^¥(g₁). По теореме 14.1 из (*) => F₁(z₁)º0, "z₁Îg₁. Т.к. x₂⁰- произвольное, то => F[f₁(z₁),f₂(x₂)]=0, "z₁Îg₁, "x₂Î[a₂,b₂] (**) . Фиксируем z₁⁰Îg₁ и рассмотрим F₂(z₂)=F[f₁(z₁⁰),f₂(z₂)]ÎC^¥(g₂). Из (**)=>F₂(z₂)º0, "z₂Îg₂ => F[f₁(z₁⁰),f₂(z₂)]=0, "z₂Îg₂ Т.к. z₁⁰- любое из g₁ то F[f₁(z₁),f₂(z₂)]=0, "z₁Îg₁, "z₂Îg₂. n

Примеры.

1. sin(z₁+z₂)=sinz₁cosz₂+cosz₁sinz₂ "z₁,z₂ и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.

2. w=f(z)=e^z- аналитическое продолжение e^x на всю комплексную

плоскость. Т.к. e^x1+x2= e^x1 e^x2=> e^z1+z2= e^z1 e^z2, в частности e^z=e^x+iy=e^x e^iy=w => =>|w|=e^x, arg w=y - показательная функция w= e^z производит отображение прямой y=y₀ на плоскости z на луч arg w=y₀ на плоскости w.

Обратная функция z=lnw=x+iy=ln|w|+iarg w.

 

п.3. Понятие Римановой поверхности

 

Пусть f₁(z)ÎC^¥(g₁) и g₁Çg₂=g₁₂È g₂₁¹Æ и пусть f₂(z)ÎC^¥(g₂), причем f₂(z)ºf₁(z), zÎg₁₂, но f₂(z)f₁(z) при zÎg₂₁,. Тогда мы получаем двузначную аналитическую функцию F(z)= ÎC^¥(g). Значит придется сталкиваться с выбором значения функции в точках многозначности. Для удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви аналитической функции, являющейся однозначной и непрерывной функцией в соответствующей части области определения функции F(z). Однако, иногда удобнее оказывается иное представление, позволяющее рассматривать функцию как однозначную, но определенную на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной. Так в нашем примере склеим области g₁ и g₂ по общей области g₁₂, в которой f₁(z) и f₂(z) совпадают, а два экземпляра g₂₁ оставлены свободными. Построенное таким образом многообразие называется римановой поверхностью аналитической функции, а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.

Примеры.

1. w=f(z)=e^z . Полоса g₀(-p<Imz<p)«D₀(-p<arg w<p)- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=-p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz=p- верхний берег разреза.

Аналогично, g₁(p<Imz<3p)«D₁(p<arg w<3p). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g₀ в g₁ через Imz=p образ этой точки непрерывно переходил из D₀ в D₁ надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w=p. Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D₀ и D₁.

Аналогично g_n((2n-1)p<Imz<(2n+1)p)«D_n((2n-1)p<arg w<(2n+1)p). Полная комплексная плоскость z « бесконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов D_n, причем лист D_n склеен с листами D_n+1 и D_n-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, -¥<Arg w<¥.

На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом n-ом листе- определенная ветвь

ln_n w. w=e^z=e^Lnw. Функция w=e^z - периодическая с минимальным периодом 2pi: e^z= e^z+2pi. e^z- бескончнолистная (многолистная).

 

п.4. Понятие точки ветвления.

 

1. w=f(z)=e^z . Особая роль точки w=0.

При обходе точки w₀¹0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе D_n, или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на D_n-1(D_n+1). При этом, после обхода значение

ln_n w не изменится.

При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви ln_n w (ln_n w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-1)p<arg w₀<(2n+1)p ) перейдем на другую ветвь ln_n-1 w (ln_n-1 w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-3)p<arg w₀<(2n-1)p ). Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.

Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w_¥. Напомним еще раз определение точки ветвления:

Определение. Если для точки z₀ можно указать такую e-окрестность, что при однократном обходе точки z₀ по " замкнутому контуру Ì этой e-окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z₀ называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.

 

В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.

 

1. Для функций w=f₁(z)= и w=f₂(z)= точки z=0 и точки z=±1 соответственно являются точками ветвления второго порядка (Разобрать самостоятельно!).
2. f(z)=z^a, где a- " число, действительное или комплексное.

f(z)=e^aLnz= e^{a(ln|z|+iArg z)}.

При a=n: e^{in(arg z+2pk)}= e^{in arg z} => f(z)= zⁿ- однозначная (но многолистная, n-листная. Любой сектор с углом 2/n – отображается на всю комплексную плоскость).

При a=n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная) и n-листная.

При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).

1ⁱ=e^iLn1= e^{i(ln|1|+i2pk)}= e^-2pk, k=0, ±1, ±2....

 

В общем виде: если функция однозначная, то обратная к ней функция однолистная, если функция n-значная, то обратная к ней n-листная, если функция ¥-значная, то обратная к ней ¥-листная.

 

Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями. А обратные к ним функции бесконечнозначными.

 

§15. Ряд Лорана.

 

c_n(z-z₀)ⁿ= c_n(z-z₀)ⁿ+ =P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R₁), Q(z)-? 1/(z-z₀)=x; Q(z)®`Q(x)= c_-nxⁿÎC^¥(|x|<1/R₂), где мы обозначили через 1/R₂ радиус сходимости полученного степенного ряда (т.е. |z-z₀|>R₂ ). При R₂<R₁ существует общая область сходимости- круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.

 

Следствия теоремы Абеля:

1. c_n(z-z₀)ⁿÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также ÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁).

3. R₁ определяется через {c_n}^¥_n=0 : R₁=1/L₁, L₁= или , а R₂-через {c_-n}^¥_n=1 : R₂= , или R₂= (а не L₂).

4. Коэффициенты ряда Лорана c_n через значения суммы ряда в точке z₀ не определяются! В точке z₀ сумма ряда Лорана не определена!

Теорема 15.1 Если f(z) ÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца:

(R₂<|z-z₀|<R₁) и построим окружности C_R'1 : |x-z₀|=R’₁ и C_R'2 : |x-z₀|=R’₂, с центром в точке z₀ и радиусами R'₁ и R'₂ : R₂<R'₂<|z-z₀|<R'₁<R₁. По формуле Коши для многосвязной области

f(z)= + =P(z)+Q(z).

На окружности C_R'1: |x-z₀|=R’₁ выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z₀)-(z-z₀)]= и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на C_R (см. доказательство теоремы Тейлора), получим

P(z)= c_n(z-z₀)ⁿ, где c_n= , n³0.

На окружности C_R'2: |x-z₀|=R’₂ выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z₀)-(z-z₀)]=

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

Q(z)= , n>0, где c_-n= . Изменив направление интегрирования, получим: c_-n= , n>0. Подынтегральные функции в выражениях для c_n и c_-n являются аналитическими в круговом кольце R₂<|z-z₀|<R_1. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение c_n= , n=0,±1, ±2,…,

где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R₂<|z-z₀|<R₁ и содержащий точку z₀ внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ+ = c_n(z-z₀)ⁿ, где c_n= . Т.к. z-произвольная точка внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ => ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце

R₂<R'₂£|z-z₀|£R'₁<R₁ ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= c'_n(z-z₀)ⁿ, где хотя бы один коэффициент c'_n¹c_n. Тогда всюду внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ имеет место равенство: c'_n(z-z₀)ⁿ= c'_n(z-z₀)ⁿ. Проведем окружность C_R, радиуса R, R₂<R<R₁, с центром в точке z₀. Тогда ряды c'_n(z-z₀)ⁿ и c'_n(z-z₀)ⁿ сходятся на C_R равномерно. Умножим оба ряда на (z-z₀)^-m-1, где m- произвольное фиксированное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим . Положив z-z₀=Re^ij., получим =

= .=> после почленного интегрирования слева и справа останется по одному слагаемому, значит для произвольного целого m c'_m=c_m^, n

Точной областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо

R₂<|z-z₀|<R₁, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой (к функции) сходится данный ряд. (см. Теорему 13.1).

 

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.

 

п.1. Определение изолированной особой точки.

 

Определение. Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и ÎC^¥(0<|z-z₀|<r(z₀)), а точка z₀ является особой точкой функции f(z).

Другими словами, точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z₀, в которой нет других особых точек.

Пример неизолированной особой точки.

 

z₀ – предельная (точка сгущения) точка нулей знаменателя – неизолированная особая точка.

 

В самой точке z₀ функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z₀ можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце

0<|z-z₀|<r(z₀). Поведение функции f(z) в окрестности точки z₀ определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .

Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана.

 

п.2. Классификация изолированных особых точек.

 

 

Возможны три случая:

a) Для "n>0 c_-n=0; Q(z)=0; f(z)®c₀ при z®z₀ (остальные члены разложения равны 0)- устранимая особая точка. Если функция не определена в точке z₀ или ее значение не совпадает с c₀, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z₀)=c₀ – тем самым мы устраним разрыв функции. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z₀|<r(z₀) : |f(z)|<M и f(z)=(z-z₀)^mj(z), m³0- целое, j(z₀)¹0; и если f(z)=0, то z₀- нуль m- того порядка.

Пример устранимой особой точки.

 

 

"n>0 c_-n=0 Q(z)=0

 

Теорема 16.1 Если f(z)ÎC^¥(0<|z-z₀|<r(z₀)) (т.е. z₀- особая точка функции f(z)) и |f(z)|<M при 0<|z- z₀|<r(z₀), то z₀- устранимая особая точка.

Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c_-n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z₀ и радиуса r: |x-z₀|=r. Тогда , сделав замену x-z₀=re^ij, dx=ire^ijdj и учтя, что |e^inj|=1, получим оценку:

|c_-n|<rMr^n-1®0 при r®0. Т.к. значения c_-n не зависят от r, то c_-n=0. n

b) Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями;

Q(z)= ; c_-m¹0. f(z)®¥ при z®z₀- полюс порядка m,

f(z)= ; y(z)- аналитическая функция и y(z₀)¹0. Для функции y(z) главная часть разложения в ряд Лорана будет иметь вид:

Q(z)= ;т.е. членов с отрицательными степенями нет.

Пример полюса m-того порядка.

 

Теорема 16.2 Если f(z)ÎC^¥(0<|z-z₀|<r(z₀)), z₀- изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>¥ при z®z₀ (независимо от способа стремления z к z₀), то z₀- полюс f(z).

Доказательство. |f(z)|=>¥ при z®z₀ => для "A>0 $e: 0<|z-z₀|<e, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)ÎC^¥(0<|z-z₀|<e); |g(z)|<1/A=M => z₀- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) и g(z)0 при zz₀ => g(z)=(z-z₀)^mj(z), m³0 =>

=>f(z)= ; y(z₀)¹0 n.

Замечание. Точка z₀, являющаяся нулем порядка m для функции f(z), является полюсом того же порядка m для функции g(z)=1/f(z)

 

c) Точка z₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z₀ содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z₀). (Бесконечное число коэффициентов c_-n¹0). f(z) – не существует. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e>0, в "h- окрестности существенно особой точки z₀ 0<|z-z₀|<h $ z₁: |f(z₁)-B|<e.

Доказательство. (От противного) Пусть z₀ существенно особая точка функции f(z). Пусть $ такие e₀ и h₀: для "z 0<|z-z₀|<h₀; |f(z)-B|>e₀ для заданного B. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/e₀=M. => z₀- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) => g(z)=(z-z₀)^mj(z), m³0 => f(z)=B+ ; y(z₀)¹0 => z₀- полюс f(z) m¹0, или правильная точка при m=0. Т.е. в разложении в ряд Лорана в окрестности точки z₀ – конечное число членов с отрицательными степенями. Получили противоречие. n

Замечание 1. {h_n}®0 =>{z⁽ⁿ⁾₁}®z₀. {f(z⁽ⁿ⁾₁)}®B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z⁽ⁿ⁾₁}®z₀ такую, что {f(z⁽ⁿ⁾₁)} сходится к " наперед заданному числу.

Замечание 2 В окрестности существенно особой точки z₀, если f(z)0 для функции g(z)=1/f(z) точка z₀тоже является существенно особой точкой

 

Пример. f(z)=e^1/z точка z=0 - существенно особая.

 

Соберем вместе вышеизложенные факты. Получим:

 

Классификация изолированных особых точек с помощью ряда Лорана.

Пусть z₀- изолированная особая точка f(z)ÎC^¥(0<|z-z₀|<r(z₀)). Если в разложении в ряд Лорана в этой окрестности

a) Отсутствуют члены с отрицательными степенями - z₀ -устранимая особая точка f(z).

b) Если конечное число членов с отрицательными степенями - z₀ -полюс f(z).

c) Если бесконечно много членов с отрицательными степенями - z₀ -существенно особая точка f(z).