Логарифмическая бесконечность

Лекция №7

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х0 (±¥)

1) a(x) ~ b(x) при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=1 x®x0 (±¥)

2) a(x) и b(x) одинакового порядка при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=с¹0 x®x0 (±¥)

3) a(x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем b(x) при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=0 x®x0 (±¥)

 

 

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при х®х0 (±¥)

1) f(x) ~ g(x) при х®х0 (±¥) если lim f(x)/g(x)=1 x®x0 (±¥)

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при х®х0 (±¥) если limf(x)/g(x)=с¹¥ x®x0 (±¥)

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1) f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при х®х0 (±¥) если lim f (x)/g (x)=0 x®x0 (±¥)

Примеры:

 

 

1) sin(x) – бесконечно малое

x при х®х0 – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1 Û sin(x)~x

x®0

при х®0

 

 
 


2) 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х®0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)1/x =1 Û

x®0 x®0

ln(1+x) ~ x, при х®0

 
 


3) x2 – бесконечно большие

2+1, при х®+¥ – бесконечно большие

Сравним lim x2/(2x2+1) = lim x2/x2(2+1/x2)=1/2

x®+¥ x®+¥

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1) пусть a(х)=оb(х) – бесконечно малое при х®х0(±¥). То мы говорим, что a(х) и b(х) при х®х0 (±¥), если a(х)=g(х)b(х), бесконечно малое при х®х0 (±¥). Другими словами - a(х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем b(х) така как a(х)/b(х)=g(х) – бесконечно малое, то есть lim a(x)/b(x)=0 x®0 (±¥)

2) пусть fa(х)=оgb(х) – бесконечно большое при х®х0(±¥). То мы говорим, что fa(х) и g (х) при х®х0 (±¥), если f (х)=g(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=g(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 x®0 (±¥)

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xn=o(xm), 0<n<m при х®+¥. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xn=xm(xn/xm)=xm(1/x(m-n))=xmg(x) m-n>0 xmg(x)ºo(xm)

Показательные бесконечности.

ах=о(bх), 1<a<b при x®+¥. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

ax=ax(bx/bx)=ax(a/b)x=bxg(xºo(bx) (0<a/b<1)

Логарифмическая бесконечность

ln(x)=o(xa), "a>0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)<x "x

lim ln(x)/xa=lim [(ln(x)/(xa/2xa/2))((a/2)/(a/2))]=

x®0 x®0

lim [(ln(x)/xa/2)(2/(axa/2)]

x®0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.

lim (ln(x)/xa)=0 Û (lim(x))/xa=g(x) Û lna=xag(x)ºoxa,

x®0

x®+¥

Показательная и степенная.

Xk=o(ax), " k>0,a>1 x®+¥ lim(xk)/(ax)=0

x®+¥

Теорема: Пусть a(x) ~ a1(x) при x®x0 (±¥)

b(x) ~ b1(x) при x®x0 (±¥)

Тогда lim a(x)/b(x)=lim a1(x)/b1(x)

x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)

 

Доказательство:

lima(x)/b(x)=lim[a(x)a1(x)b1(x)]/[a1(x)b1(x)b(x)]=lim(a(x)/b(x))lim(b1(x)/b(x))lim(a1(x)/b1(x))=lim a1(x)/b1(x) что

x®0 x®0 x®0 x®0 x®0 x®0

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

x®0 x®0

Определение: (главного слагаемого)

a1(x)+a2(x)+…+an(x), при x®x0 (±¥)

Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

a1(x) – главное слагаемое, если a2(х)=о(a1(х)),…,an(x)=o(a1(x)) при x®x0 (±¥)

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

a1(x)+a2(x)+…+an(x) ~ a1(x) , при x®x0 (±¥) если a1(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [a1(x)+a2(x)+…+an(x)]/a1(x)=lim[a1(x)+a1(x)g(x)+…+a1(x)g(x)]/a1(x)=lim[a1(x)(1+g1(x)+…+gn(x))]/a1(x)=1 x®x0 (±¥) x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)

Пример:

lim (ex+3x100+ln3x)/(2x+1000x3+10000=lim ex/2x=lim ex/(exg(x))=+¥

x®+¥ x®+¥ x®+¥

2x=o(ex)ºexg(x)

Основные эквивалентности.

ex-1 – бесконечно малое при х®0. lim (ex-1)/x=1, то есть ex-1 ~ x при x®0

x®0

1-cosx – бесконечно малое при х®0. lim (1-cos x)/(x2/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x2/2]=lim [2(x/2)2]/[x2/2]=1,

то есть

 

1-cos(x) ~ x2/2 при х®0 и (1+x)p-1 ~ px при х®0