Процедура получения оценок максимального правдоподобия

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a₀^*, a₁^*,..., a_n^* “истинных” значений параметров эконометрической модели a₀, a₁,..., a_n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е₁^*, е₂^*,..., е_T^*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e₁, e₂,..., e_T и поэтому удовлетворяющих предположениям об iid-свойствах.

Таким образом, максимум произведения р(е₁)×р(е₂)×...×р(е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений e_t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е₁,е₂,...,е_T произведение вероятностей р(е₁)×р(е₂)×...×р(е_Т ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a₀, a₁,..., a_n.

С учетом этого, оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в результате максимизации целевой функции следующего вида:

по известным значениям зависимой переменной у_t и матрице значений независимых факторов Х размера Т´(п+1).

y = Х = , (2.110)

 

 

Оптимальные значения оценок параметров a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и дисперсии фактической ошибки s_e², соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации

В условиях независимости разновременных ошибок e_t и e_t–i

 

 

Оптимальные значения a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и s_e² в этом случае могут быть найдены путем решения системы из п+2 дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:

В векторно-матричной форме:

у=Х×a+e, (2.113)

 

вектор ошибки можно представить в виде:

 

e=у –Х×a, (2.114)

 

а последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого

(у–Х×a)¢×(у –Х×a). (2.115)

 

Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров a и по неизвестной дисперсии ошибки s_e², получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):

¶l/¶a = (– Х¢×у+ Х¢×Х×a)=0;

¶l/¶s_e²= (у –Х×a)¢×(у –Х×a)=0. (2.116)

 

Поскольку s_e²¹0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

a^*=a=(Х¢Х )^–1×Х¢×у, (2.117)

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

s_е² = (у –Х×a)¢×(у –Х×a)=