Одномерная оптимизация методом классического анализа

Тема 1.1 Методы прямого поиска

Методы классического анализа применяются для решения задач оптимизации в том случае, когда целевая функция и ограничения заданы аналитически в виде непрерывных дифференцируемых функций.

Математическая формулировка задачи оптимизации часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или многих переменных. Поэтому для решения таких оптимальных задач могут быть использованы различные методы исследования функций классического анализа и, главным образом, методы поиска экстремума.

Пусть зависимость критерия оптимальности от переменной x задана непрерывной функцией

(1.1)

Функция I(x) может иметь экстремальные значения при таких значениях независимой переменной x, где производная функции I(x) равна нулю (точки 1,2,5 на рисунке 1.1), либо вообще не существует (точки 3,6 на рисунке 1.1):

(1.2)

Рисунок 1.1 – Пример функции I(x)

Условие удовлетворяют не только экстремальные точки (точки 1,2,5 на рисунке 1.1), но и точки перегиба (точка 4 на рисунке 1.1).

Решая уравнение (1.2) находят стационарные точки , подозрительные на экстремум.

Тип экстремальной точки определяется достаточными условиями оптимальности.

Приведем основные достаточные условия.

1) В проверяемой точке вычисляем вторую производную.

Если , то в точке функция I(x) имеет максимум, при – минимум.

Если же вторая производная в точке так же равна нулю, то необходимо найти следующие производные до получения отличной от нуля производной.

Пусть , , k=2,3,4…

Если k – нечетное, то в точке экстремума нет, если k – четное, тогда:

при , в точке функция I(x) имеет максимум;

при – минимум.

2) Определяем знак производной слева и справа от точки . При переходе этого знака с «+» на «-» – в точке – максимум, при переходе «-» на «+» – в точке – минимум.

3) Тип экстремальной точки можно определить путем сравнения величины функции I(x) слева и справа от точки :

если , то является точкой максимума, а

если , то – точка минимума.

При решении практических задач оптимизации обычно требуется отыскать глобальный экстремум критерия I(x). В этом случае необходимо:

1) найти все точки функции I(x) в которых может быть экстремум;

2) исследовать все эти точки на экстремум;

3) среди локальных экстремумов нужного типа найти глобальный.

При наличии большого числа точек , для уменьшения объема вычислений при проверке экстремальности этих точек достаточно «подозрительные» точки проверять через одну, что позволяет установить тип всех экстремумов функции I(x), так как для непрерывных функций одной переменной максимумы и минимумы чередуются между собой.