Вибір форми функціональної залежності

Для визначення форми функціональної залежності будується кореляційне поле y(xj) для кожної із змінних, що досліджуються. Для цього на осях координат у і х наносяться пари експериментально отриманих значень уi, та хi(і =1,N) (Рис.2.2).

На кореляційному полі знаходяться хmіn„ та хmах – мінімальні та максимальні значення незалежної змінної х (саме це і с область, для якої визначаються параметри статистичної моделі).

По характеру розподілення точок кореляційного поля обираються форми функціональної залежності.

 

Рис. 2.2 Приклад кореляційного поля.

Найбільш простим і наочним являється метод інтервального усереднення. Для цього весь інтервал (від хmin„ до хmax) розбивається на ряд ділянок (зазвичай не більше 7—1), в кожному з яких знаходиться середнє значення змінної у:

(2-4)

де п-число значень у, що потрапили в j-й інтервал хi (j = 1,n ; n =5...1О).

 

 

Рис. 2.3 Інтервальне усереднення даних кореляційного поля.

Отриманні значення уі співвідносять з серединою j-го інтервалу xj (див.рис.2.3) отримані точки з'єднують ламаною чи плавною кривою. По характеру отриманої кривої і визначають форму функціональної залежності у (х).

Встановлення форми залежності.

Характер і форма залежності між змінними можуть утворювати наступні різновиди регресії :

- позитивна лінійна регресія(виражається в рівномірному зростанні функції);

- позитивна рівноприскорено зростаюча регресія;

- позитивна равнозамедленно зростаюча регресія;

- негативна лінійна регресія(виражається в рівномірному падінні функції);

- негативна рівноприскорено убуваюча регресія;

- негативна равнозамедленно убуваюча регресія.

Розглянемо деякі припущення, на які спирається регресійний аналіз.

Припущення лінійності, тобто передбачається, що зв'язок між даними змінними є лінійним. Так, в даному прикладі ми побудували діаграму розсіювання і змогли побачити явний лінійний зв'язок. Якщо ж на діаграмі розсіювання змінних ми бачимо явну відсутність лінійного зв'язку, тобто є присутнім нелінійний зв'язок, слід використати нелінійні методи аналізу.

Припущення про нормальність залишків. Воно допускає, що розподіл різниці передбачених і спостережуваних значень є нормальним. Для візуального визначення характеру розподілу можна скористатися гістограмами залишків.

При використанні регресійного аналізу слід враховувати його основне обмеження. Воно полягає в тому, що регресійний аналіз дозволяє виявити лише залежності, а не зв'язки, що лежать в основі цих залежностей.

Регресійний аналіз дає можливість оцінити міру зв'язку між змінними

Найбільш проста і найбільш часто вживана є лінійна модель виду:

у = а + b×х, де а = у при х = 0; b = Dy/Dx, (2.5)

що є зображеною на рис.2.4. За допомогою цього рівняння змінна Y виражається через константу a і кут нахилу прямої (чи кутовий коефіцієнт) b, помножений на значення змінної X. Константу a також називають вільним членом, а кутовий коефіцієнт b- коефіцієнтом регресії або B- коефіцієнтом.

У більшості випадків (якщо не завжди) спостерігається певний розкид спостережень відносно регресійної прямої, але їх розсіювання відносно даної прямої повинне бути мінімальним. Залишок - це відхилення окремої точки (спостереження) від лінії регресії(передбаченого значення).

Рис.2.4 Графічне тлумачення лінійної моделі

 

Серед нелінійних моделей часто використовують наступні моделі:

1)Див.рис.2.4а:

(2.6)

для А і ВÞ а< 0, b> 0 але |а|B >|а|A

для Б і ГÞ а > 0, b > 0 але (а)Г > (а)Б

Рис.2.4а

 

2)Див.рис.2.4б:

y = a x2 (2.7)

для А і БÞ а > 0, 0 < b < 1

для В і ГÞ а > 0, -1< b < 0

 

3)Див.рис.2.4в: y = a b x (2.8)

для А і БÞ 0 < b < 1; ( b)А < ( b)Б

для В і ГÞ b > 1 ; ( b)Г < ( b)В

 

Після вибору форми функціональної залежності проводять лінеаризацію нелінійної моделі (тобто її штучне зведення до лінійної форми)

Наприклад:

у = abхÞlg y = lg a + x lg b Þ у’ = а’ + b’ x.

y = axb Þlg y = lg a + bgxÞ у’ = а’+ b’ x

і т.п.

Рис.2.4б Часто зручним виявляється використання вихідної таблиці 2.1 експериментальних даних, кодовану по х (за х приймається номер рівномірного інтервалу).

Таблиця 2.1

 

X Y DY D2Y lпY Dlпу X/У Dх/Dy
1. 62,1 - - 1,79246 - 0,01610 -
2. 87,2 25,1 - 1,93962 -,14716 0,02293 0,0683
3. 109,5 22,3 -2,8 2,03941 0,09979 0,02739 0,00446
4. 127,3 17,8 -4,5 2,10483 0,06542 0,03142 0,00403
5. 134,7 7,4 -10,4 2,12937 0,02454 0,03712 0,00570
6. 136,2 1,5 -5,9 2,13386 о,оо44<Р 0,04405 0,00693
7. 134,9 -1,3 -2,8 2,13001 -0,00383 0,05189 0,00784

 

Розрахуємо різниці, приведені у даній таблиці. Потім оцінимо можливість застосування різних моделей:

у = а + b×х.

Ця модель незадовільна, оскільки відношення Dх/Dy = Dy не є постійним.

у = а× bх.

Ця модель приводиться до виду: lg = lg a + х lg b =a’+ b’x

Ця модель також незадовільна, оскільки b’ = непостійне.

у = а + bх + сх2

Ця парабола незадовільна, оскільки непостійне.

Оскільки відношення постійне (при Dх=1), то цю модель можна

використовувати для апроксимації експериментальних даних.

Поліноміальна модель

У випадку, коли вищерозглянуті моделі не дозволяють знайти задовільну апроксимацію експериментальних даних, часто використовується поліноміальна апроксимація виду:

у = а0+ а1 х + а2 х2 + а3 х3 +... + аk хk (2.9)

В залежності від значень а, (і = 0,k ) можливо підібрати досить гарну відповідність моделі і експериментальним даним.

Лінеаризацію моделі даного типу проводять шляхом вводу нових змінних: x1=х; x2=х2; х3=х3; ... xk=xk. Тоді поліноміальна модель прийме вид лінійної моделі з k-змінними:

у = а0+ а1 х1/ + а2 х/2 + ... + аk х/k (2.10)

Такого виду лінійні моделі носять назву моделей множинної лінійної регресії. Далі, при вивченні моделей множинної лінійної регресії ми розглянемо алгоритм пошуку числових значень коефіцієнтів аi (і= 0,k), що забезпечують мінімальне розсіювання експериментальних даних у відносно значень у, отриманих за допомогою моделі множинної лінійної регресії y(xi) і = 0,k .

Завершаючи розгляд вибору форми функціональної залежності, відмітимо, що в практиці велика кількість моделей зводиться або до лінійної парної регресії

у = а0 + bх, або до множинної лінійної регресіїy= a0 + Sai xi. Тому далі ми розглянемо саме ці моделі.