Примеры выполнения практических заданий.

Методические указания

К выполнению самостоятельных работ и лабораторных работ

по курсу «Математические методы моделирования»

Часть 2. «Решение уравнений и систем уравнений»

Для студентов специальности ГИСИТ, 2 курс

Разработчик: Манакова Н.О.

Харьков, 2010

Самостоятельные работы. 3

Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. 3

Примеры выполнения практических заданий. 3

Контрольные вопросы и задания. 5

Индивидуальные задания. 6

Самостоятельная работа №3. Решение нелинейных уравнений. 10

Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии) 10

Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 11

Индивидуальные задания. 13

Лабораторные работы. 15

Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA. 15

Лабораторная работа №6. Решение уравнений средствами Excel. 23

Подбор параметра. 23

Поиск решения. 25

Самостоятельные работы.

Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений.

Примеры выполнения практических заданий.

1. Осуществить замену зависимой переменной s₂ на независимую t_r в системе:

Решение. Решение задачи достигается с помощью одного шага жордановых исключений.

Исходная таблица жордановых исключений в условиях примера имеет вид:

	t₁	t₂	t₃
s₁=
s₂=

Переменные, участвующие в транспозиции, определяют направляющую строку и направляющий столбец. Они в таблице выделены серым цветом.

Для осуществления шага жордановых исключений необходимо вычислить элементы новой таблицы жордановых исключений в соответствии с правилами.

Так, новый главный элемент . Новые элементы направляющей строки, кроме главного, есть ; .Новый элемент направляющего столбца . Остальные новые элементы вычисляются по четвертому правилу жордановых исключений:

; .

Результирующая таблица жордановых исключений для рассматриваемого примера имеет вид:

	t₁	t₂	s₂
s₁=			-3
t₃ =	1,5		-0,5

Результирующей таблице соответствует новая (искомая) система линейных уравнений:

2. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₁ и х₃.

Решение. Решить систему линейных уравнений относительно переменных х₁ и х₃ — это значит выразить переменные х₁ и х₃ через оставшиеся переменные х₂ и х_4.Это можно сделать с помощью жордановых исключений. Для этого введем вектор независимых переменных , каждая составляющая которого принимает только нулевое значение, и независимую переменную t, которая принимает единственное значение, а именно 1. Тогда заданную систему линейных уравнений можно представить в следующем виде:

Осуществим два шага жордановых исключений, в которых зависимую переменную s₁ заменим на независимую х₁, в s₂ — на х₃. Получим искомое решение:

Проверим правильность решения с помощью подстановки в исходную систему какого-либо частого решения. Для получения частного решения присвоим независимым переменным х₂ и х₄ какие-либо значения и подставим их в последнюю полученную систему для вычисления зависимых переменных х₁ и х₃. Например, пусть х₂=2 и х₄=2. Тогда х₁=0,52-0,52-1=-1, х₃=0,52+2,52-2=4.

Найденное частное решение превращает уравнение системы в тождества:

-1=0,52-0,52-1=-1.

4=0,52+2,52-2=4.

Следовательно, общее решение найдено правильно.

3. Решить систему линейных уравнений методом жордановых исключений :

Решение. Для решения задачи представим матрицу А как матрицу коэффициентов системы в следующем виде:

Преобразуем в систему с искомой обратной матрицей А^-1. Для этого в систем осуществим последовательно три шага жордановых исключений (в общем случае n шагов), каждый раз выбирая в качестве главного элемента один из диагональных, и только диагональных. Цель жордановых исключений — заменить каждую зависимую переменную s_i на независиую t_i ( ). Последовательность замен несущественна, важно, что каждая i используется только единожды.

После проведения указанных шагов жордановых исключений получим новую систему линейных форм:

в которой матрица коэффициентов представляет собой искомую матрицу, обратную по отношению к заданной.

Для проверки правильности найденного решения необходимо перемножить исходную и искомую матрицы:

Поскольку произведением этих матриц является единичная матрица, найденная матрица согласно определению является обратной, то есть решение найдено верно.

Контрольные вопросы и задания.

1. Привести общую форму записи систем линейных уравнений в матричном виде.

2. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, равном числу уравнений.

3. Привести общую форму записи решения системы линейных уравнений в матричном виде при числе переменных, превышающем число уравнений.

4. С помощью жордановых исключений заменить в следующей системе:

зависимые переменные х₁, х₂ на независимые х₅, х₆.

5. Разрешить систему линейных уравнений

относительно переменных х₃, х_5.

6. Какое применение в линейной алгебре находят жордановы исключения?

7. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₁, х₂,х₄.

8. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₂,х₃.

Индивидуальные задания.

Индивидуальное задание №1. Решить систему линейных уравнений с помощью жордановых исключений относительно заданных переменных.

1.1.		Решить относительно переменных х₁, х₂, х₄.
1.2		Решить относительно переменных х₁, х₂
1.3		Решить относительно переменных х₂,х₃ х₄.
1.4		Решить относительно переменных х₁, х₄.
1.5		Решить относительно переменных х₁, х₃, х₄.
1.6		Решить относительно переменных х₁, х₅.
1.7		Решить относительно переменных х₁, х₂, х₃.
1.8		Решить относительно переменных х₂, х₄.
1.9		Решить относительно переменных х₁, х_2,х_3.
1.10		Решить относительно переменных х₂, х₅.
1.11		Решить относительно переменных х₁, х_2,х₄
1.12		Решить относительно переменных х_2,х₄
1.13		Решить относительно переменных х₁, х_2,х₅
1.14		Решить относительно переменных х₃, х₅
1.15		Решить относительно переменных х₁, х_3,х₄
1.16		Решить относительно переменных х₄, х₅
1.17		Решить относительно переменных х₁, х_2,х₃
1.18		Решить относительно переменных х_2,х₅
1.19		Решить относительно переменных х₁, х_2,х₃
1.20		Решить относительно переменных х₁, х_2,х₄
1.21		Решить относительно переменных х₁, х₃
1.22		Решить относительно переменных х₁, х₃, х₄
1.23		Решить относительно переменных х₁, х₅
1.24		Решить относительно переменных х₂, х₃, х₄
1.25		Решить относительно перемененных х₁, х₂, х₃
1.26		Решить относительно переменных х₁, х₂, х₃.
1.27		Решить относительно переменных х₁, х_4.
1.28		Решить относительно переменных х₁, х₃.
1.29		Решить относительно переменных х₁, х₂, х₄.
1.30		Решить относительно переменных х₁, х₄.