Приклад побудови моделі лінійної регресії

Припустимо, що досліджується вплив пройденої автомобілем відстані на зношування шин. Щоб виключити вплив умов експлуатації були вибрані 5 різних типів автомобілів.

Експериментальні дані зведені до таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

Дані експериментальних досліджень

Відстань xi (км)   Величина зношування шин уij (мм) 5 автомобілів
 

У якості інтервалу усереднення вибираємо Dх = 10000 км (і = 1,2,3,4,5), тобто N = 5 (число інтервалів). Середнє по кожному інтервалу визначається за формулою:

де к- кількість типів автомобілів. Після розрахунків отримано:

=3.2 мм, 2 = 5,6 мм, з =9,0 мм, 4 =11,4 мм, 5 = 15,2 мм

Зобразимо розподілення значень інтервальних середніх на кореляційному полі (див. рис 3.2).

Рис. 3.2 Розподіл інтервальних середніх на кореляційному полі.

Очевидно, що найбільш підходящою апроксимацією у даному випадку буде лінійна регресія вигляду:

Зведемо данні усереднення до розрахункової таблиці 3.3

Таблиця 3. 3

  у(мм) х(тис.км) X2 ху
  3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 32,0 112,0 270,0
Всього Sуі=44,4 Sхі =150 Sхі2=5500 Sхіуі=1630
Середнє значення = 8,88 = 30    

 

З урахуванням (3.5) маємо:

мм/тис. км

а0 = 8,88 – 0,298*30 = - 0,06 мм.

Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд:

= 0, 298х-0,06

Відмітимо, що початкове зношування а = 0,06 мм не має фізичного змісту,оскільки модель застосовується лише при величинах пробігу 10000 х 50000 км.

Спробуємо дещо покращити якість моделі. Для цього введемо до експериментальних даних апріорну інформацію про відсутність зношування нових шин, тобто у = 0 при х = 0 і визначимо нові параметри моделі регресії (при п = 6) (див. таблицю 3.4).

Таблиця 3. 4

  у(мм) х(тис.км) X2 ху
  3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 32,0 112,0 270,0
Всього Sуі=44,4 Sхі =150 Sхі2=5500 Sхіуі=1530
Середнє значення = 7,40 = 25, 0    

 

За даними таблиці знаходимо:

(мм/тис. км)

а0 = 7,7 – 0,24*25 = 1,7 мм.

Рівняння регресії має вигляд: = 1,7+ 0,24 х

 

Як слідує з отриманого рівняння, введення додаткової точки у=0 при х=0 суттєво підвищує точність розрахункового значення у(0).

Більш того, достовірне знання того, що у = 0 при х = 0 дозволяє обрати модель вигляду: уз = а1 * х.

Тоді розрахунок коефіцієнта регресії можна провести на основі середніх значень.

а1= /х = 7,4 / 25= 0,296 (мм/тис. км)

що ще більш уточнює параметри моделі.

Визначимо похибку застосування трьох вказаних моделей:

= 2,94+ 0,198 х; = 1,7+ 0,24 х; = 0,296 х

для лінійної апроксимації експериментальних даних. Розрахункові величини зведемо до таблиці 3.5

Таблиця 3. 5

хі уі 1 2 3 (у- 1)2 (у- 2)2 (у- 3)2
3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 4,92 6,9 8,88 10,86 12,84 4,1 6,5 8,6 11,3 13,7 2,96 5,92 8,88 11,84 14,8 2,958 1,690 0,014 0,292 5,570 0,810 0,810 0,160 0,010 2,250 0,058 0,102 0,014 0,194 0,160
Сума квадратів відхилень 10,524 4,04 0,528
Середньоквадратична похибка моделі 2,1048 0,808 0,1056

 

Порівняння характеристик точності моделей показує, що введення додаткових достовірних даних дозволяє збільшити точність моделі.

У загальному випадку, якщо в моделі можливе врахування будь-якої достовірної інформації, то така модель завжди буде точнішою.

Для розрахунку значень загальної, факторної та залишкової дисперсії складемо наступну таблицю 3.6 (наприклад, для випадку першої моделі = 2,94+ 0,198 × хі).

Таблиця 3.6

 

  уі і (хі) уі - уі - (хі) (уі - )2 (уі - (хі))2
  3,2 4,92 -5,68 -1,72 32,2624 2,9584
  5,6 6,9 -3,28 -1,3 10,7584 1,69
  8,88 0,12 0,12 0,0144 0,0144
  11,4 10,86 2,52 0,54 6,3504 0,2916
  15,2 12,84 6,32 2,36 39,9424 5,5696
Всього 44,4       89,328 10,524
Середнє значення 8,88       17,866 2,105

 

Розрахуємо факторну дисперсію:

= - =17,866-2,105 = 15,761

Тоді коефіцієнт детермінації визначиться як

,

тобто, 88% зношування шин обумовлено дальністю пробігу автомобіля.

Коефіцієнт регресії

,

що свідчить про велику близькість реальної залежності у(х) до лінійної форми.