Признак Коши в предельной форме.

Если $ =L, то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L<1, то $e>0: L<1-2e=>L+e<1-e. Т.к. $ =L, то "e>0 $N: L-e< <L+e<1-e=q<1, k³N, q<1=>|a_k|<q^k, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1. n

Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1.

 

п.2. Функциональные ряды.

 

Пусть дана последовательность , zÎg. Выражение - называется функциональным рядом, заданным в g.

Определеие. Если при "zÎg, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.

Если ряд сходится в g, то "e>0 $N(e,z): для "n³ N(e,z) ïr_n(z)ï<e.

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для "e>0 $N(e,z): для "n³N и "m>0ïS_n+m(z)-S_n(z)ï<e.

Вообще говоря, в каждой точке zÎg N свое N(e,z) и общего N для всей z может и не существовать.

 

п.3. Равномерная сходимость.

 

Если для "e>0 $N(e) что для "n³ N(e) и "z одновременно ïr_n(z)ï<e , то ряд . =>f(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.

Понятие равномерной сходимости- глобальное.

 

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши:

Если для "e>0 $N(e):для "n³N и "m>0 и "z одновременно ïS_n+m(z)-S_n(z)ï<e, то ряд =>f(z).

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд сходится равномерно =>f(z): "e>0 $N(e) что ïf(z)-S_n(z)ï<e/2 для "n³ N(e) и "zÎg=> и подавно ïf(z)-S_n+m(z)ï<e/2=> =>ïS_n+m(z)-S_n(z)ï<e для "n³N и "m>0 и "zÎg.

Достаточность. Пусть "e>0 $N(e): ïS_n+m(z)-S_n(z)ï<e (*) для "n³N и "m>0 и "zÎg => в "zÎg выполнен критерий Коши для числового ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g определена f(z)= . Переходя в (*) к пределу при m®¥ получим ïf(z)-S_n(z)ï£e для "n³ N(e) и "zÎg =>ïr_n(z)ï<e для "n³ N(e) и "zÎg. n

 

Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса).

Если для "k³ N и "zÎg |u_k(z)|a_k, a_k>0 и <¥ (сходится), то =>f(z) в g.

Доказательство. ïr_n(z)ï=| |£ |u_k(z)|< <e "n³ N и "zÎg. n

 

п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов.

 

1) Пусть u_k(z) ÎС(g) и u_k(z)=>f(z), тогда f(z) ÎС(g).

Доказательство |Df|=|f(z+Dz)-f(z)|£|f(z+Dz)-S_n(z+Dz)|+|S_n(z+Dz)-S_n(z)|+|S_n(z)-f(z)|£

£e/3+e/3+e/3=e для |Dz|<d, n³N (первая и третья оценка следуют непосредственно из равномерной сходимости ряда, а вторая оценка следует из непрерывности функций u_k(z)). n

2) Пусть u_k(z) ÎС(g) и =>f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур CÎg конечной длины L: ò_Ld=L, тогда ò_Lf(z)dz= ò_L u_k(z)dz.

Доказательство |ò_Lf(z)dz- ò_L u_k(z)dz |=|ò_L r_n(z)dz |£ò_L | r_n(z) | dz<e’L<en

3) Теорема Вейерштрасса. Если u_k(z) ÎС^¥(g) и =>f(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg (любой замкнутой подобласти области g) то:

1. f(z)ÎС^¥(g).

2. f^(p)(z)= , для "zÎg.

3. =>f^(p)(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg.

Доказательство

1. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур: LÌ`g’, стягивающийся в точку zÎ`g’. Т.к. u<sub>k</sub>(z) ÎС<sup>¥</sup>(g) и =>f(z), для "zÎ`g’ => f(z)ÎC(`g’) (по Свойству 1). По свойству 2 ò<sub>L</sub>f(z)dz= ò<sub>L</sub> u<sub>k</sub>(z)dz= =(по теореме Коши – интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции) = =0. Тем самым выполнены условия теоремы Морера => f(z)ÎC<sup>¥</sup>(`g’). => в силу произвольности "`g’ => f(z)ÎC^¥(g).

Замечание. Т.к. r_n(z)=f(z)- S_n(z) => r_n(z)ÎC^¥(g).

2. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур: LÌ`g’, стягивающийся в точку zÎ`g’. Т.к. f(z)ÎC^¥(g), то по интегральной формуле Коши f^(p)(z)= = (т.к. u_k(x)|_xÎL => f(x)|_xÎL => )= = .

Замечание. r_n^(p)(z)=f^(p)(z)-S_n^(p)(z)= .

3. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур, содержащий`g’ внутри, и такой, что для "zÎ`g’ и "xÎL |z-x|>d<sub>0</sub>. r<sub>n</sub><sup>(p)</sup>(z)= . |r<sub>n</sub>(x)|<e’, n³N(e’) (т.к. L граница замкнутой подобласти g”Ìg). |r<sub>n</sub><sup>(p)</sup>(z)|£ <e для "zÎ`g’ => u_k^(p)(z)=>f^(p)(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg.

n

Замечание. Даже если u_k(z)=>f(z) "zÎ`g, то все равно мы можем доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти `g’ области g. Т.е. =>f^(p)(z), лишь для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg. Из равномерной сходимости ряда =>f(z) z Î`g не следует! равномерная сходимость в этой области ряда составленного из производных.!

Пример. сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных не может равномерно сходится в круге |z|£1 , т.к. он расходится при z=1.=> равномерно сходится при |z|<1.

 

 

II Теорема Вейерштрасса. Пусть u_k(z) ÎС^¥(`g) и u<sub>k</sub>(x)=>f(x), для "xζg. Тогда =>f(z), zÎ`g.

Доказательство Рассмотрим S_n+m(x)-S_n(x). Разность частичных сумм есть конечная сумма аналитических функций, т.е. является аналитической в g и непрерывной в `g. Тогда из равномерной сходимости => ïS<sub>n+m</sub>(x)-S<sub>n</sub>(x)ï<e для "xζg => ïS<sub>n+m</sub>(z)-S<sub>n</sub>(z)ï<e для "zÎ`g – в силу принципа максимума модуля аналитической функции. Значит для данного ряда выполнен Критерий Коши. n

 

§11. Степенные ряды.

 

Степенным рядом назовем ряд вида c_n(z-z₀)ⁿ, z₀-центр, c_n- коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z₀ ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zⁿ/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c_n.

 

Теорема Абеля. Если степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z₁¹z₀, то он сходится и при "z: |z-z₀|<|z₁-z₀|, причем в круге |z-z₀|£r<|z₁-z₀| сходится равномерно.

Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда $A>0 : для "n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A =>|c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ =>| c_n(z-z₀)ⁿ|<A |(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ. По условию теоремы |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q<1=>| c_n(z-z₀)ⁿ|<A qⁿ=> ряд сходится. При |z-z₀|£r<|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. | c_n(z-z₀)ⁿ|£A |r/(z₁-z₀)|ⁿ < A qⁿ , q<1 n.

 

Следствия теоремы Абеля.

1. Если степенной ряд расходится в точке z₂¹z₀, то он расходится и при "z: |z-z₀|>|z₂-z₀|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в "круге радиуса r<|z-z₀|, в частности и в точке z₂, что противоречит условию.).

2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀|=R для "z₁, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z₀ до точек z₁ в которых сходится ряд c_n(z-z₀)ⁿ. Если R¹¥, то для

"z₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится. R=inf|z₂-z₀|=R для "z₂, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R -круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z₀|=R может как сходится, так и расходится.

3. Формула Коши-Адамара. R=1/L, L= .

Доказательство. Пусть 0<L<¥. Имеем:

1) Т.к. L= , то для "e>0 $N, что для "n³N <L+e.

2) С другой стороны, для того же "e>0 $ ¥ много членов последовательности

{ }: >L-e.

Надо доказать:

a) Для "z₁: |z₁-z₀|<R=1/L (или что то же самое L|z₁-z₀|<1) ряд сходится.

b) Для "z₂: |z₂-z₀|>R=1/L (L|z₂-z₀|>1) ряд расходится.

Докажем это.

a) Возьмем произвольную z₁: L|z₁-z₀|<1 и выберем e=(1-L|z₁-z₀|)/2|z₁-z₀|, тогда L+e=(1+L|z₁-z₀|)/2|z₁-z₀|. Т.к. для "n³N: <L+e=>

=>|z₁-z₀| <(1+L|z₁-z₀|)/2=q<1. => |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<qⁿ- ряд сходится.

b) Выберем e=(L|z₂-z₀|-1)/|z₂-z₀| => L-e=1/|z₂-z₀|. Т.к. для ¥ числа членов

>L-e => |z₂-z₀| >1=> |c_n(z₂-z₀)ⁿ|>1- ряд расходится. n

 

4. В " круге |z-z₀|£r<R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса). Значит, по теореме Вейерштрасса c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется !!!

6. c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)=> c₀=f(z₀), c_nn(z-z₀)^n-1=f'(z)=> c₁=f'(z₀)…

c_nk!(z-z₀)^n-k=f^(k)(z)=> c_k=f^(k)(z₀)/k!

7. Пример. (z-z₀)ⁿ : "c_n=1 => R=1. S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀|<1 и S_n=1/[1-(z-z₀)]. => (z-z₀)ⁿ=1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Итак c_n(z-z₀)ⁿ=> f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R), то $! степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ=> =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем "z: |z-z₀|<R и построим C_R' с центром в точке z₀ и содержащую точку z внутри: для "xÎC_R' : |x-z₀|=R', R'<R, |x-z₀|>|z-z₀|. Т.к. f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R'), то по формуле Коши

f(z)= .; 1/(x-z)=1/[(x-z₀)-(z-z₀)]= = ряд сходится равномерно по x на C_R'=>

=>f(z)= (z-z₀)ⁿ= c_n(z-z₀)ⁿ;

c_n= =f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! (*), что и доказывает $ и единственность разложения. n

Замечания. 1) Разложение функции f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n= , где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z₀. Т.е. контур в формуле (*) можно заменить на любой замкнутый контур C, содержащий внутри себя точку z₀ и целиком лежащий в области сходимости ряда.

 

3) В " круге |z-z₀|£r<R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса)

4) Радиус сходимости ряда Тейлора

 

§12. Единственность определения аналитической функции.

 

п.1. Понятие правильной точки.

 

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z₀Îg называется правильнойточкой функции f(z), заданной в g, если $ сходящийся к f(z) ряд c_n(z-z₀)ⁿ=f(z) в области gÇ|z-z₀| <r(z₀), где r(z₀)>0 -радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zÎg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)ÎC^¥(g), то все zÎg- правильныеточки f(z). Если f(z) задана в `g, то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. Очевидно, что все точки границы, лежащие внутри круга сходимости степенного ряда Тейлора, являются правильными точками.

 

 

п.2. Нули аналитической функции.

f(z)ÎC^¥(g); f(z₀)=0, z₀Îg - z₀ - нуль аналитической функции. f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ => c₀=0. Если c₁=…= c_n-1=0, а c_n¹0, то z₀ - нуль n-того порядка.

Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀)=f'(z₀)=… f^(n-1)(z₀)=0, f⁽ⁿ⁾(z₀)¹0 и

f(z)=(z-z₀)ⁿ f₁(z), f₁(z₀)¹0.