Контрольная домашняя работа

Задания для контрольной работы. Контрольная работа содержит 5 заданий : задание № 3 - № 7. В каждом задание содержится 30 задач , пронумерованных двумя цифрами.

Первая цифра означает номер задания , вторая – номер варианта.

Задание № 3

3.1. По движущейся цели производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,2, при каждом из последующих она увеличивается на 0,1. Определить вероятность, получить: а) три промаха; б) хотя бы одно попадание.

3.2. На огневом рубеже находятся четыре стрелка. Вероятность попадания в “десятку” при одном выстреле каждым из них соответственно равны 0,2; 0,5; 0,4; 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле: а) каждый из четырех стрелков попадет в десятку; б) будет хотя бы одно попадание в “десятку”.

3.3. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв цепи вследствие выхода из строя любого из трех элементов с вероятностями соответственно 0,3, 0,4, 0,6. Определить вероятность того, что при увеличении напряжения в два раза не будет разрыва цепи.

3.4. Для взрыва склада боеприпасов достаточно одного попадания. По складу боеприпасов производится три выстрела. Вероятности попадания в склад при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,2, 0,3, 0,4. Найти вероятность того, сто склад будет взорван.

3.5. Два штурмовика одновременно атакуют ракетную пусковую установку: вероятность попадания в пусковую установку после атаки первого штурмовика равна 0,4, после атаки второго 0,3. определить вероятность: а) одного попадания; б) двух попаданий; в) хотя бы одного попадания.

3.6. Производится три выстрела по движущейся цели. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при втором 0,75, при третьем 0,8. определить вероятность: а) трех попаданий в цель; б) хотя бы одного попадания в цель.

3.7. На трех этапах подготовки изделия к функционированию вероятности появления задержек соответственно равны 0,1, 0,06 и 0,05. Найти вероятность подготовки изделия к работе без задержек.

3.8. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включена хотя бы одна камера; б) включены все три камеры.

3.9. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на “отлично”, равна 0,1, на “хорошо” – 0,2, на “удовлетворительно” – 0,3. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен.

3.10. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

3.11. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

3.12. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа первый станок не требует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,7, четвертый – 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) хотя бы один потребует внимания рабочего.

3.13. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

3.14. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

3.15. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверяемых изделий: а) только одно стандартно; б) хотя бы одно стандартно.

3.16. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

3.17. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два изделия высшего сорта.

3.18. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех справочниках.

3.19. Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

3.20. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

3.21. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в переплете. Библиотекарь взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

3.22. В цехе работает 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

3.23. Вероятность того, что в определенный день торговой базе потребуется двухтонная машина, равна 0,9, пятитонная – 0,7. Определить вероятность того, что торговой базе потребуется хотя бы одна автомашина (двухтонная или пяти тонная).

3.24. В приемнике радиосвязи с маневровым локомотивом имеется 6 ламп первого типа и 8 ламп второго типа. Вероятность выхода из строя в течение смены лампы первого типа – 0,002, а второго типа – 0,004. Определить вероятность выхода из строя приемника (в результате выхода из строя хотя бы одной лампы).

3.25. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первый получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

3.26. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будет сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания, соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

3.27. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность, что студент сдаст коллоквиум?

3.28. В ящике 10 красных, 6 синих и 4 зеленых шаров. Наудачу вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета?

3.29. На складе находятся 100 одинаковых коробок с обувью. Коробки не рассортированы по цвету. Известно, что в 60 коробках обувь черного цвета и в 40 – коричневого. Найти вероятность того, что из 5 наудачу взятых коробок окажутся 3 коробки с обувью черного и 2 коробки с обувью коричневого цвета.

3.30. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным.

 

 

Задание № 4

4.1. Торпедный катер атакует корабль противника, выпуская по нему одну торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть корабля равна 0,2, в среднюю 0,3, в кормовую 0,15. Вероятность потопления корабля при попадании торпеды в носовую часть равна 0,45, в среднюю 0,9, в кормовую 0,5. Определить вероятность потопления корабля противника.

4.2. По цели производится два одиночных выстрела. При одном попадании цель выходит из строя с вероятностью 0,5, при двух с вероятностью 0,8. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,6, при втором 0,7. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов цель будет выведена из строя.

4.3. Элементы, изготовленные на предприятии, поступают на склад готовой продукции. Предприятие, которое выпускает годную продукцию с вероятностью 0,98, поставило на склад три четверти от общего объема продукции, находящейся на складе. Предприятие, которое выпускает годную продукцию с вероятностью 0,96, поставило на склад остальную часть продукции, находящуюся на складе. Найти вероятность того, что полученный со склада элемент окажется годным.

4.4. Пиропатроны поставляются тремя заводами. Первый завод поставляет 50%, второй 30%, третий 20% всей продукции. Вероятность изготовления исправного пиропатрона заводами соответственно равны: 0,4; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что выбранный наугад для испытаний пиропатрон исправен.

4.5. В трех урнах находятся белые и черные шары. Первая урна содержит три белых шара и один черный, вторая – шесть белых и четыре черных, третья – девять белых и один черный. Из урны, выбранной наугад, вынимают шар, который оказывается белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второй урны, если выбор любой из урн одинаково возможен.

4.6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 легкоатлета. Вероятность пройти тестирование с положительным результатом для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для легкоатлета 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный случайным образом, пройдет тестирование с положительным результатом.

4.7. Электрические приборы поставляются в магазин двумя заводами. Первый завод поставляет 60%, второй – 40% приборов. Вероятности изготовления заводами прибора, отвечающего установленным требованиям, соответственно равны: 0,95, 0,8. Найти вероятность того, что купленный стандартный прибор изготовлен первым заводом.

4.8. В зоне стрельбы находятся четыре крупных цели, пять средних и одиннадцать мелких. Вероятность попадания в цель каждого типа при стрельбе соответственно равны: 0,8, 0,2, 0,1. Определить вероятность попадания в цель при одном выстреле.

4.9. Рассматривается пять одинаковых урн. Две урны относятся к первому составу и содержат по три белых и два черных шара. Две другие урны относятся ко второму составу и содержат по четыре белых и шесть черных шаров, одна урна принадлежит к третьему составу и содержит восемь белых и два черных шара. Из одной урны, наугад выбранной урны, вынимают шар, который оказывается белым. Найти вероятность того, что шар взят из урны: а) первого состава; б) второго состава; в) третьего состава.

4.10. В учебной группе 25 студентов, из них 7 учатся отлично, 10 – хорошо, 6 - удовлетворительно и 2 – неудовлетворительно. Вероятность того, что на экзамене ответит неудовлетворительно отличник, равна 0,05, студент, учащийся на хорошо, - 0,15, студент, учащийся на удовлетворительно, - 0,3, студент, учащийся на неудовлетворительно – 0,8. Найти вероятность того, что вызванный случайным образом из состава группы студент получит при ответе неудовлетворительную оценку.

4.11. На складе находится четыре монитора. Вероятность того, что монитор выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый случайным образом монитор выдержит гарантийный срок службы.

4.12. По цели производится два независимых одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6. При одном попадании цель выходит из строя с вероятностью 0,7, при двух – с вероятностью 1,0. Найти вероятность того, что в результате двух выстрелов цель будет выведена из строя.

4.13. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик случайным образом извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

4.14. Для проведения стрельбы прибыло 10 стрелков, из которых четверо всегда выполняли упражнения, пятеро выполняли упражнение в 80% случаев и один выполнял упражнение в половине случаев. Найти вероятность того, что вызванный случайным образом стрелок выполнит упражнение.

4.15. Трое спортсменов одновременно выстрелили по движущейся мишени, в результате чего мишень была поражена одной пулей. Определить вероятность того, что мишень была поражена первым, вторым, третьим спортсменом, если вероятности попаданий для них равны соответственно 0,1; 0,4; 0,8.

4.16. В каждый момент времени работает только один из трех блоков агрегата. Наблюдение установило, что блок №1 работает 40% времени, блок №2 – 35% и блок №3 – 25%. Вероятность безотказной работы блоков за время T соответственно равны 0,95; 0,92; 0,9. Агрегат останавливается при отказе блока, находящегося под нагрузкой. Найти вероятность того, что агрегат остановится в случайно выбранный момент времени.

4.17. Данный тип деталей изготовляется на трех станках-автоматах, производительности которых относятся как 2:3:4. Первый автомат дает 15% брака, второй – 0,8% и третий – 0,5%. На контроле первая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.

4.18. По цели производится два выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,7. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,5, при двух – с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения цели.

4.19. Детали, предназначенные для контроля, находятся в десяти одинаковых ящиках. В девяти ящиках содержится по две бракованных и по две качественных детали, а в одном – четыре качественных и одна бракованная деталь. Найти вероятность того, что деталь извлечена из ящика, содержащего четыре качественных делали, если ящик проверки был выбран случайным образом и извлеченная деталь оказалась качественной.

4.20. Два самолета производят бомбометание по заданной цели. Каждый самолет сбрасывает одну бомбу. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы для первого самолета равна 0,3, для второго – 0,5. По итогам бомбометания цель была поражена одной бомбой. Найти вероятность того, что в цель попала бомба, сброшенная с первого самолета.

4.21. В тире имеется 9 ружей, из которых пристрелянными являются два. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8, а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из одного, случайным образом взятого ружья, мишень была поражена. Найти вероятность того, что было взято пристрелянное ружье.

4.22. В группе шесть отличных стрелков, девять хороших, восемь посредственных и два плохих. Вероятность попадания в цель для отличного стрелка 0,9; для хорошего – 0,8; для посредственного – 0,5; для плохого – 0,1. На огневой рубеж случайным образом вызывается один стрелок из группы. Найти вероятность того, что он попадет в цель.

4.23. Штатный блок, установленный в аппаратуру связи, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями соответственно 0,35, 0,35, 0,3. Вероятность того, что установленный блок проработает заданное число часов, для этих партий равна соответственно 0,9, 0,8, 0,6. Найти вероятность того, что блок проработает заданное число часов.

4.24. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов №2 и №3 – соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

4.25. Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что это деталь произведена первым автоматом.

4.26. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина грузовая.

4.27. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, а для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

4.28. Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в девяти находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым?

4.29. Некто заблудился в лесу, вышел на поляну, откуда вело 4 дороги. Известно, что вероятность выхода из леса за час для различных дорог, равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час?

4.30. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3; и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1; 0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?

 

 

Задание № 5

5.1. Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее трех раз.

5.2. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более трех изделий.

5.3. Вероятность отказа любой из десяти независимо работающих систем агрегата за рассматриваемый период равна 0,2. Найти вероятность того, что за данный период откажут не более трех систем агрегата.

5.4. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из семи посеянных семян взойдет пять?

5.5. Вероятность появления события В в любом из десяти испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что события В наступит не менее двух раз.

5.6. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных коммутаций, приходящееся на одного телефонного абонента, равно восьми.

Определить:

а) вероятность того, что для отдельно взятого абонента число ошибочных соединений будет не более двух;

б) вероятность того, что с данным абонентом не будет ни одного ошибочного соединения.

5.7. Прибор состоит из пяти независимо работающих блоков, вероятность отказа каждого из которых равна 0,3. Найти вероятность того, что число отказавших блоков не более двух.

5.8. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,016. Стрелок должен произвести по цели 500 выстрелов. Найти вероятность того, что он сделает не более трех промахов.

5.9. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытаний.

5.10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно 0,8.

Определить вероятность получения ровно трех попаданий при трех выстрелах.

5.11. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах будет от трех до шести попаданий включительно, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7.

5.12. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7, общее число выстрелов равно 10. Найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее чем тремя выстрелами.

5.13. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит не более трех искажений.

5.14. Из каждого десятка деталей 9 – стандартные. Найти вероятность того, что из 50-ти взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.

5.15. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаний равна 0,1. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 14 раз; б) не более 14 раз.

5.16. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

5.17. Для некоторого стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Произведено 100 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что число попаданий не менее 80 и не более 95.

5.18. Сто станков работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение данной смены безотказно проработают 95 станков.

5.19. Найти вероятность того, что появление герба в 500 испытаниях будет не менее 200 и не более 300 раз.

5.20. Игральный шестигранный кубик подбрасывается 50 раз. Найти вероятность того, что цифра 6 выпадет: а) не менее 20-ти раз; б) не более 25-ти раз.

5.21. Вероятность появления события А в каждом опыте равна 0,3. Опыт повторяется 5 раз. Найти вероятность того, что событие А появится не более двух раз.

5.22. Найти вероятность того, что при пяти подбрасываниях шестигранного игрального кубика единица появится хотя бы один раз.

5.23. Вероятность изготовления бракованного генератора для автомобильного двигателя равна 0,0003. Найти вероятность того, что в изготовленной партии из 200 шт. окажется один бракованный.

5.24. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из 1000 пассажиров опоздают к отправлению поезда не более двух.

5.25. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Найти вероятность того, что при передаче сообщения из 100 знаков: а) не будет ни одного искажения; б) будет два искажения.

5.26. При установившемся технологическом процессе автомат производит 75% деталей первого сорта и 25% деталей второго сорта. Установить, что является более вероятным – получить 3 первосортных детали среди пяти случайным образом выбранных для проверки или 4 первосортных детали среди шести случайным образом выбранных для проверки.

5.27. На автобазе числится 6 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо, чтобы на линии было не менее пяти автомашин.

5.28. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,97. Считая опоздания отдельных поездов независимыми событиями, найти вероятность того, что из четырех выбранных поездов опоздает не более одного.

5.29. Средняя продолжительность безотказной работы устройства равна 1000 часам. Найти вероятность того, что за время 2000 часов будет не более пяти отказов.

5.30. На коммутатор поступает в среднем 1000 вызовов в час. Найти вероятность того, что в течение 10-ти минут поступит менее пяти вызовов.

 

 

Задание №6

6.1. В урне имеется 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Вынули 2 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – суммы номеров шаров.

6.2. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень.

6.3. В партии из 20 приборов имеется 6 неточных. Наудачу отобрали 4 прибора. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа точных приборов среди отобранных. Найти .

6.4. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Построить ряд распределения случайной величины X- числа израсходованных патронов. Найти и .

6.5. Производятся испытания пяти изделий на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого изделия равна 0,8. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа изделий выдержавших испытания. Найти и .

6.6. Среди поступивших в ремонт 10 часов в общей чистке нуждаются 6 штук. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке, рассматривает из поочередно, и найдя их, прекращает просмотр. Составить закон распределения случайной величины Х – количество просмотренных часов и найти .

6.7. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка 0,8. За каждое попадание стрелку зачисляется 5 очков. Составить таблицу распределения случайной величины Х – числа выбитых очков при 3 выстрелах. Построить график функции распределения .

6.8. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.

6.9. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,7. Составить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень стрелком при 4 выстрелах.

6.10. Устройство состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения и найти функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

6.11. Монета бросается 3 раза. Случайная величина Х – число появлений герба. Найти и .

6.12. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Найти закон распределения числа нестандартных деталей.

6.13. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Найти закон распределения числа попаданий и .

6.14. Баскетболист делает 4 броска мячом в корзину. Вероятность попадания мяча при одном броске равна 0,4. Найти математическое ожидание числа попаданий мячом к корзину.

6.15. Производится стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания равна 0,8. Имеется 4 снаряда. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов.

6.16. Производится 5 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле р=0,3. Найти: а) ряд распределения числа попаданий; б) вероятность того, что число попаданий менее 3.

6.17. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны извлекается 5 раз подряд шар. Вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются Случайная величина Х – число извлеченных белых шаров. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

6.18. Производится 5 независимых пусков ракет. Вероятность попадания в цель при каждом пуске равна р=0,6. Найти: а) ряд распределения числа попаданий; б) вероятность того, что число попаданий менее 3-х.

6.19. Стрелок производит 3 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Найти математическое ожидание числа попаданий в мишень.

6.20. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна р=0,3. Найти и .

6.21. В урне 3 белых и 3 черных шара. Шары достаются по одному без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Составить закон распределения случайной величины Х – числа проведенных испытаний. Найти и .

6.22. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при одном бросании игральной кости.

6.23. В партии из 8 деталей – 5 стандартных. Наудачу отбирают 3 детали. Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных. Найти и .

6.24. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью р=0,5. Для случайной величины Х – числа появлений герба, найти закон распределения и функцию распределения.

6.25. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Случайная величина Х – число выпадений четного числа очков на двух костях одновременно. Найти закон распределения случайной величины Х, и .

6.26. В партии из 6 деталей содержится 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

6.27. В партии из 10 деталей содержится 3 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

6.28. В связке 5 ключей, из которых один подходит к двери. Дверь открывают путем опробований; опробованный ключ исключается. Составить закон распределения случайной величины Х – числа опробований. Найти и .

6.29. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Построить ряд распределения числа испытанных приборов.

6.30. Команда из 4 стрелков стреляет по одной мишени. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для одного стрелка 0,3, для другого – 0,4, для третьего и четвертого 0,5. Построить ряд распределения и функцию распределения общего числа попаданий в мишень командой.

 

 

Задание №7

7.1.Случайная величина X подчинена равномерному закону распределения на интервале от 1 до 2. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

7.2.Цена деления шкалы угломерного прибора равна 20-ти секундам. Показания прибора снимаются с округлением до целого деления шкалы. Определить среднее квадратическое отклонение случайной величины X – ошибки округления – и вероятность того, что ошибка округления не выйдет за пределы [0; 10] секунд.

7.3.Случайная величина X подчинена равномерному закону распределения с математическим ожиданием, равным трем, и средним квадратическим отклонением, равным 0,3. Найти плотность распределения случайной величины X.

7.4.Случайная величина Т – время работы прибора – подчиняется показательному распределению. Среднее время работы прибора 500 ч. Найти вероятность того, что время работы прибора будет не меньше 750ч.

7.5.Время работы радиотехнического устройства описывается функцией показательного распределения . Найти вероятность того, что время работы устройства не превысит его математическое ожидание.

7.6.Случайная величина Y подчинена равномерному закону распределения на интервале от 2 до 5. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y.

7.7.Случайная величина Т – время работы прибора – подчиняется экспоненциальному распределению. Среднее время работы прибора 300 ч. Найти вероятность того, что время работы прибора будет меньше 1000ч.

7.8.Время работы радиотехнического устройства описывается функцией показательного распределения . Найти вероятность того, что время работы устройства превысит значение его математического ожидания.

7.9.Высота подрыва заряда – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 1200м, и среднеквадратическим отклонением, равным 100м. Найти вероятность подрыва заряда на высоте, превышающей 1000м.

7.10. Процент брака при изготовлении детали имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 1,5%, и средним квадратическим отклонением, равным 0,25%. Найти вероятность того, что процент брака проверяемой партии деталей лежит в пределах [1,5;2]%.

7.11. Колебания скорости летательного аппарата подчинены нормальному закону распределения. Среднее квадратическое отклонение скорости от своего расчетного значения равно 1,5 м/с. При превышении истинного значения скорости над расчетным более чем на 2,5 м/с, двигатель летательного аппарата выключается. Найти вероятность выключения двигателя.

7.12. Скорость летательного аппарата V измеряется при помощи некоторого прибора, ошибка измерения которого подчинена нормальному закону. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение этой ошибки, чтобы в 95% всех измерений ошибка в скорости не превышала м/c.

7.13. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

7.14. Температура в помещениях здания распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что значение температуры в помещении не менее и не более .

7.15. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале [4;8].

7.16. Процент брака продукции распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 0,25% и математическим ожиданием 1,25%. Найти вероятность того, что в очередной партии продукции брак составит менее одного процента.

7.17. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,1. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет не меньше единицы.

7.18. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно 10 и 0,2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале [5;11].

7.19. Случайная величина X распределена равномерно на интервале [0;2]. Найти математическое ожидание и дисперсию .

7.20. Случайная величина X распределена нормально с . Вероятность попадания в интервал [10;30] равна 0,3. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0;10].

7.21. Случайная величина X распределена нормально с , . Найти вероятность того, что .

7.22. Случайная величина X распределена экспоненциально с параметром . Найти вероятность того, что .

7.23. Случайная величина Z распределена нормально с . Вероятность попадания в интервал [5;10] равна 0,4. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0;5].

7.24. Случайная величина X задана плотностью распределения при и при . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [1;3].

7.25. Функция распределения случайной величины X равна . Найти математическое ожидание и дисперсию .

7.26. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно 0 и 1. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале [-2;2].

7.27. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметром , . Найти выражение плотности распределения и найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (-2;6).

7.28. Случайная величина в интервале [0,3] задана плотностью распределения , вне этого интервала . Найти коэффициент и .

7.29. Непрерывная величина Х в интервале задана плотностью распределения , вне этого интервала . Найти функцию распределения и вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

7.30. Случайная величина Х имеет плотность распределения . Найти коэффициент А, и .

 

РАЗДЕЛ 2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

ПОДБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ПРОВЕРКА ЕГО СОГЛАСИЯ ПО КРИТЕРИЮ

 

Задание для расчётно-графической работы.

I. Из приложения 1 или 2 взять выборку объёма n. Выборку произвести методом, указанным преподавателем.

2. Построить гистограмму.

3. По виду гистограммы подобрать закон распределения случайной величины

( нормальный, показательный, равномерный):

x

Рис. 1 (нормальный закон)

Рис. 2(показательный закон)

;

Рис.3( равномерный закон)

 

4. Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости

5. Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных

2.2 Проверка статистических гипотез

Важнейшим отделом математической статистики является проверка статистических гипотез.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного закона распределения, или о параметрах известных распределений случайной величины. Например, статистическими будут гипотезы: а) долговечность рассматриваемых деталей подчиняется нормальному закону распределения; б) дисперсии температур, полученные при одинаковых условиях в двух различных термостатах, равны между собой.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной и поэтому возникает необходимость её статистической проверки. Для проверки статистической гипотезы используют специально подобранную случайную величину (критерий согласия), распределённую по некоторому закону. Из опытных данных находят наблюдаемое значение . Из специальных таблиц находят критическое значение . Если , то выдвинутая гипотеза (например, гипотеза о нормальном законе распределения) принимается, если , выдвинутая гипотеза отвергается.

Следует заметить, что условие совсем не означает, что выдвинутая гипотеза доказана и является единственно верной; это означает лишь то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Критерии проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения называются критериями согласия. Имеется несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто используется критерий Пирсона.

 

Критерий согласия Пирсона ( хи квадрат )

Критерий согласия имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретического и эмпирического законов распределения случайной величины. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

, (1)

где

– число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные;

- число опытных данных, попавших в интервал;

- теоретическое число, попавшее в интервал, находится по формуле

, (2)

( – объём выборки).

В случае нормального закона

, (3)

где (4)

В случае показательного закона

. (5)

В случае для равномерного закона распределения

. (6)

 

При практическом использовании критерия согласия необходимо учесть следующие замечания:

1. Число опытных данных при использовании критерия должно быть достаточно большим: (критерий справедлив при ).

2. Рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений . Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы в один, суммируя частоты. В соответствии с этим число исходных интервалов должно быть уменьшено.

3. Уровень значимости - вероятность ошибки 1-го рода, т.е. вероятность ошибки отвергнуть выдвинутую гипотезу, когда в действительности она верна. Чаще всего берут =0,05, но встречаются и другие уровни значимости.

4. - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле

, (7)

где

– число интервалов, на которые разбиты статистические данные;

- число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

Если предполагаемое распределение нормальное, то по выборке оценивают два параметра , поэтому число степеней свободы . Таким же будет число степеней свободы в случае равномерного закона распределения (оцениваемые параметры а и b). В случае показательного закона распределения по выборке оценивают один параметр, следовательно, в этом случае .

5. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы из таблицы распределения (приложение 5) находят значение .

6. Если < , то гипотеза о виде закона не отвергается.