Проверка гипотезы равномерного распределения

 

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.

 

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении , т.е. по закону

надо:

1. Оценить параметры и - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров)

.

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

.

3. Найти теоретические частоты:

.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где - число интервалов, на которые разбита выборка.

 

Пример 4. Произведено n=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.10 (в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появления А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.

Таблица 10

интервал 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22
частота

 

Решение

1. Построим гистограмму частот (рис.8)

 

Рис. 8

По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.

2. Для вычисления выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения примем середины интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант (табл.11):

Таблица 11

i
2 - 4
4 - 6
6 - 8
8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
20 - 22
     

Найдем:

 

 

Найдем оценки параметров и равномерного распределения по формулам: ,

получим

.

3. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

 

3. Найдем теоретические частоты:

Длины третьего - девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.

 

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, для этого составим таблицу 12.

 

 

Таблица 12

i
17,8 10,24 0,58
0,80
1,25
1,80
0,20
1,80
0,05
0,20
0,20
0,04
   

 

Из расчетной таблицы получаем . Из таблицы критических точек распределения 2, по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы находим . Так как < нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.


Контрольные вопросы.

 

1. Что называется статистической гипотезой?

2. Какие критерии согласия вы знаете?

3. Как определяется число степеней свободы? В каком критерии оно используется?

4. Когда необходимо объединять интервалы?

5. Можно ли использовать критерий , если имеется 20 опытных данных?

6. Может ли критерий согласия давать согласие с несколькими законами распределения?

 


ПРИЛОЖЕНИЕ 1

    Опытные данные по долговечности деталей (по старой технологии)   Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
Продолжение приложения1   Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
                                                                                                   
Продолжение приложения 1   Время час  
  № .399  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  

 

Продолжение приложения 1   Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
Окончание приложения 1   Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

    Опытные данные по долговечности деталей (по новой технологии)   Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
    Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
  Время час    
  №    
                                                                                                   
    Время час  
  № .399  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №  
  Время час  
  №