ОСАРЛАНАН ТЕДЛДІКТІ ЛШЕМДЕРДІ АЙЫРМАСЫ АРЫЛЫ ДЛДІКТІ БААЛАУ

Геодезияда біртектес кптеген шамаларды лшеп жне тексеріс шін бір шаманы тек ана екі рет лшеу кптеп кездеседі. п—2 лшем санында рбір лшенген шаманы длдігін анааттандырарлытай баалау ммкін емес. п=2 болан жадайда Студентті лестіру заы арылы сенімді интервалды анытау ммкін емес.

Барлы біртектес шамаларды осарланан лшемдеріні айырмасы арылы лшемдер длдігін анытауа бола ма деген сра туындайды.

андай да бір Х1 Х2, ..., Хn біртектес шамалары эрайсысы екі реттен лшенген делік жне лшемдер нтижелері мыналар болсын: Біріншісі шін

Екіншісі шін

атарларды пайдалана отырып косарланан лшемдерді айырмасын анытауа болады

 

 

жне бл айырмаларды длдікті баалау шін олдануа болады.

Практикада детте екі жадай кездеседі: барлы жне лшемдері тедлдікті болады жне екінші жадайда, жптаы лшемдер тедлдікті де, ал жптар зара тедлдікті емес. Бірінші жадайды арастырайы.

Барлы жне шамалары тедлдікті болсын. Егерде лшеу жмыстары ателіксіз жргізілген болса, тедікті о жаындаы айырмасы нлге те болатыны белгілі. Сйкесінше, рбір айырма - сол айырманы шынайы ателігі болады жне d айырмасыны орташа квадратты ателігі md шін мынаны жазуа болады:

m =M(d2) (49)

Жне осы сияты

(50)

мндаы n - барлы айырмалар саны.

Бір лшемні орташа квадратты ателігін деп белгілеп, ереже бойынша тедлдікті блшектерді алгебралы осындысыны орташа квадратты ателігі шін мынаны жазамыз:

 

(51)

Сйкесінше,

бдан

(52)

Хi шамаларыны нерылым сенімді мні ретінде рбір екі рет лшенген сол шамаларды сйкесінше жне лшем нтижелеріні арифметикалы ортасы ретінде есептейді, яни,

боландытан, лшенген шамаларды орташа квадратты ателігі шін формула негізінде мынаны жазамыз:

Егерде бір шаманы тедлдікті екі лшем нтижелері бар болса, оларды жйелік ателіктері бір біріне жаын болады жне мндай нтижелерді айырмаларыны жйелік серлері белгілі бір млшерде азая береді деуге болады. Сондытан да осарланан лшемдер нтижелеріні di айырмасыны жйелік ателіктерін алды жйелік ателіктер деп атайды.

осарланан лшемдерді n саныны жеткілікті кп млшері болан кезде di айырмаларындаы алды жйелік ателікті орташа шамасын Dop кездейсо ателіктер негіздемесінде осы айырмаларды арифметикалы ортасы ретінде табады, яни

 

(54)

ор шамасын осарланан лшемдерді деу кезінде й. айырмасынан азайтады да, £, шамаларын табады

(55)

Жекелеген сандарды оларды арифметикалы ортасынан ауыту асиетінен алатынымыз

[]=0 (56)

(54) тедігі негізінде мынаан кз жеткізуге болады:

d, шамалары лшемдерден алынандыктан, , ауытушылыын d: айырмаларыны орташасынан ауытуы ретінде карастыруа болады жне Бессель формуласы бойынша былай жазуымыза болады:

(57)

 

Бір лшемні орташа квадратты ателігі тл шін бдан мынаны аламыз

(58)

2 • • [е ] осындысы мына формуламен тексеріледі:

(59)

IV БЛІМ

Е КІШІ КВАДРАТТАР ДІСІНІ НЕГІЗДЕРІ

лшемдер ателігіні теориясы бір шаманы кп рет лшеуді немесе біртектес шамаларды лшеуді, сондай-а тедлдікті емес лшемдерді математикалы деуіні ережелерін береді. Бл ережелер бойынша ажетті шамалар лшенген жадайда деуді есептері толыымен шешілген болар еді (мысалы, шбрышты шешу шін бір абырасы мен екі брышын лшеу жеткілікті).

Алайда, геодезиялы практикада, жеткілікті лшемдермен атар ажетті математикалы атынастармен байланысты арты лшемдерді де жргізеді.

Арты лшемдер аныталатын шамаларды анарылым длірек анытауа жне лшенген шамалар арасындаы математикалы байланыстар негізінде элдеайда сенімді баа беруге кмектеседі.

Сондай-а, алынан йлеспеушіліктер лшемні сенімді тексерісіне сер етеді жне дрекі лшемдерді ысартып тастауды анааттандырады. Математикалы деуде байланыстарды міндетті трде есепке алу керек.

лшенген шамаларды математикалы байланыстарды ескере отырып іздестіру теестіру деп аталады.

Геодезиялы практикада кбінесе лшенген шамаларды арасында белгілі бір байланыс бар екені жне негізгі тапсырма сол байланысты анытау болып табылатын жадайлар кптеп кездеседі. -

Бл есепті шешу шін шынайы мндері Х1Х2, Хn болатын п шамалары лшенген делік. лшем нтижелері х1 х2, ..., хn, сйкесінше салматары Р1 Р2,

...,Рn

Есеп шарты бойынша лшенген шамалар зара байланысты

Бл жйеде зара туелсіз тедіктер ана крсетіледі. Оларды саны арты лшемдер сандарына те, мысалы, шбрышта 3 брышы ана лшенген, сйкесінше «шартты» деп аталатын бір ана тедеу шыады

0

Бдан шыатыны шартты тедеу саны арты тедеулер санына те болатыны шыады, сйкесінше:

r<п

мндаы r - арты лшемдер

n- барлы лшемдер саны саны v - згерген шамалара тзетпелер.

Теестіруді жасауды себебі мен шарты болып арты лшемдерді бар болуы табылады. лшенген шамалара тзетпелерді теестіру жне есептеуді негізгі принципі мына шарттарды орындалуы болып табылады

(60)

Бл шарт е кіші квадраттар принципі деп аталады да оны артышылытары мыналар болып табылады:

1) екінші дрежесіні шартта тіп болуы лкен тзетпелерді

шектейді

2) тедлдікті емес лшемдерде боландаы рi салматары тзетпелерді длірек мнге дейін кішірейтеді жне керісінше. Крсетілген екі асиет те адамны бойы мен салмаын лшеудегі регрессиялы модельде олдануда келісіледі.

Немесе осы принципті негіздеу шін шбрышты брыштарын теестіру мысалын арастырай.

Барлы брыштар лшенген жне йлеспеушілік мынаан те болсын v=3\ Тедлдікті лшемдерде лшемдерді салматары зара те, сйкесінше былай жазуа болады = тіп


 

5-сурет

Барлы брыштара мынадай тзетпе егізіледі Vj=l'

[12+12+12]=3

Ал енді бл йлеспеушілікті бір ана брыша блсек, онда мынау шыады

[32+02+02]=9

Немесе бір брышка 2' жне екіншісіне 1 Онда [22+12+02]=5

Бл е кіші квадраттар принципіні артышылыын длелдейді. Геодезиялы желілерді теестіруді кптеген сертері бар

1) Гауссты екі топты дісі

2) Гауссты жуытау дісі

3) Крюгер дісі

4) Бельц дісі жне т.б.

лкен емес жрістер жйесін теестіруде олданылатын карапайым дістер мыналар

1) Орташа салма дісі (байлаулар дісі)

2) В.Попов дісі (ызыл сандар дісі)

ПРОФЕССОР В.В.ПОПОВТЫ ПОЛИГОНДАР ДІСІ (ЫЗЫЛ САНДАР ДІСІ)

Профессор В.В.Поповты дісі еркін жне еркін емес полигондар елілерін теестіру шін олданылады.

Нивелирлеу шін бл сер те ыайлы болып келеді, яни ол е кіші задраттар дісі беретін нтижені береді. Теодолиттік жрістер полигоны шін бл діс аса олданыла бермейді, себебі бл дісте брыштар мен координаталар сімшелерін жеке теестіру жргізіледі.

Профессор Поповты дісіні ртрлі полигондарды теестірудегі мысалдар арылы маыздылыын крсетейік.

Нивелирлік желіні теестіру А. Еркін желі. ш полигоннан тратын желіні арастырайы. Желіні схемалы сызбасында теестіруге, длдікті баалауа жне байлау нктелеріні координаталар сімшелерін анытауа ажетті барлы мліметтер крсетілген. Ол рбір звено бойынша лшенген сімшелер, звенолар зындыы мен рбір звенодаы станциялар саны, бастапы мараны белгісі берілген.

Е алдымен рбір полигон бойынша саат тілі бойымен полигонды айнала жрген жрістердегі биіктік сімшелеріні йлеспеушіліктерін есептеп, оларды абсолюттік мні бойынша е лкен рсат етілген мндерін анытайды. Бл есептеулерді нтижелерін сол сызбада жазады.

йлеспеушіліктерді рсат етілген мннен аспайтынына кз жеткізгеннен со желіні теестіруге кіріседі. Осы масатта желіні жаа схемалы сызбасын салады да, сол сызбада звенолара тзетпелерді егізеді (6-сурет).


 

6-сурет



 

7-сурет

Бл сызбада рбір полигонны ортасында кішкене тор салып, стіне рим цифрымен полигон номерін жазады да, торды ішіне йлеспеушіліктерді жазады. Бдан кейін рбір полигонны сыртына оны рбір звеносына кішкене тор салып, оны ішіне тзетпелерді жазады. Осылайша, желіні сырты звеноларында бір тордан, ал ішкі звеноларында екі тордан болады.

Полигонны рбір звеносы шін кі; ку ызыл сандарын есептейді (і- полигонны номері, j оан жанасып жатан полигон номері). ызыл сан деп звенодаы станция саныны барлы полигондаы станциялар санына атынасын айтады (немесе звено зындыыны полигон диаметріне катынасы).

Осы анытамаа сйкес

рбір полигон шін ызыл сандарды осындысы бірге те болуы керек (мысалы, бірінші полигонда (6 суретке араыз) 0,46+0,23+0,31=1).

Осылайша алынан сандарды полигоннан тыс оны сйкесінше звеноларыны жанына ызыл тспен жазып ояды. Содан кейін йлеспеушіліктерді сйкесінше полигондарды ызыл сандарына пропорционал етіп лестіреді. Бл лестіруді тікелей сызбада жасайды, бл кезде кезекті жуытау дісін олданады (7 сурет).

Бірінші полигонны (I) йлеспеушілігін оны ызыл сандарына кбейте отырып, осындылары лестірілген йлеспеушілікке те болуы тиіс (-25-12-17=-54) шыан кбейтінділерді осы полигонны сйкесінше торларына жазады.

II полигона кшеді. Мнда йлеспеушілік мні I поигоннан алынан тзетпелер мніне згереді (+38-12=+26). Есептелген тзетпені астын сызып ояды. Жаа йлеспеушілікті осы полигонны ызыл сандарына (0,26;0,46:0,28) пропорционал етіп бледі де, осындылары лестірілген йлеспеушілікке те болуы тиіс блінділерді (+7,+12,+7) полигонны сыртындаы торлара сйкесінше кызыл сандарыны астына жазады. лестірілген йлеспеушілікті астын сызады.

III полигонда жаа йлеспеушілік болады, олар I жне II полигондарды бастапы йлеспеушіліктері мен тзетпелеріні осындысына те (+36- 17+7=+26). Ескерілген тзетпелерді астын сызады. Алынан йлеспеушілікті бастапы екі полигондаыдай лестіреді де, астын сызып ояды.

Барлы полигондарда йлеспеушіліктерді лестіріп боланнан кейін айтадан I полигона келеміз. Мнда барлы іргелес жатан полигондардан шыан жаа йлеспеушілік пайда болады. Бл йлеспеушілік те алашыда лестірілген сияты лестіріледі.

Осылайша лестіруді бірінші сатысы бітеді, сонан со екінші саты, шінші саты жргізіле береді. Е соында йлеспеушілік нлге те болу керек.

лестіру кезінде бір мнді айталай олданып оймас шін олданылан мнді бірден астын сызып ою керек екенін мытау керек.

Барлы йлеспеушіліктер лестіріліп бооланнан кейін барлы барлы звенолардаы кестелерді ішіндегі сандарды осындысын есептейді (Sj жне sij)-

Бл осындыларды дрыстыын мына формулалармен тексереді.

 

Мндаы [s], - і-інші полигонны сырты кестелеріндегі барлы сандар осындыларыны осындысы (полигон шін 1:30'0,46=-13,8; -30-0,23=-6,9; - 30-0,31=-9,3).

Бл тексеріс кезінде айырмашылы соы осынды табасыны 1,5 бірлігінен аспауы керек.

Сонан со звено баыттарыны полигонды айналу баытымен сйкес келетін жерін ескере отырып рбір полигонны звеноларына тзетпелер егізеді. Егер арастырылып отыран звено бойынша і-інші полигоныны іргелес жатаны болмаса, онда звено шін тзетпе viосы звеноны сырткы торындаы сандарыны s; кері табалы мніне те болады; егер де іргелес полигон бар болса, онда звеноа тзетпе vi осы звеноны сырты жне ішкі- кестелерін сандарыны осындыларыны айырмасына (si – sij) те.

Басаша айтанда, звенолара тзетпе егізу шін полигонны сырты осындыларын полигонны ішіне карама карсы табамен кіргізіп оларды сол звенолара ішкі осындылар нлге те дей отырып осады. Бл ережені формула трінде былай крсетуге болады.


 

8-сурет

Барлы полигондарда (осымшаларда да) еркін жрісті теестіруде крсетілген полигондарды айнала жру ережелерін сатай отырып йлеспеушіліктерді есептейді(8 сурет).

F = []-{НКH) (65)

мндаы [] - жріс бойынша биіктік сімшелеріні осындысы; Нк жне Нн бастапы жне соы пунктерді биіктігі.

йлеспеушіліктерді рксат етілген мннен аспайтынына кз жеткізген со желіні еркін жрісті деп санап, ондаы фиктивті звеноларды зындыын нлге те дей отырып желіні теестіруге кіріседі. Осыан сйкес фиктивті х звеноларда ызыл сандар болмайды жне сйкесінше тзетпелер мен кестелер болмайды.

ЛШЕМДЕР НТИЖЕЛЕРІНІ ДЛДІКТЕРІН АТЕЛІКТЕР БОЙЫНША БААЛАУ

Брышты лшегендегі длдікті баалау шін T15 теодолитімен 8 рет лшем жргізілген (12-кестеге караыз). Дл сол брыш жоары длдікті теодолитпен лшеніп, 124°18'02"= 124°18,03' нтижесі алынан. Осы нтижені а брышыны наты мні деп есептеп, зерттеліп отыран теодолитті кмегімен алынан нтижелерді орташа квадратты ателігі мен шектік ателіктерін есептеу керек.

12-кесте

лшем № лшем нтижелері, l ателіктер 2
124°17,8' -23' 0,05
18,4 +37
18,5 +47
18,a -03
17,9 -13
17,7 -33
18,1 +07
18,0 -03
      0,54

 

 

Дл осы есепті дл сол брыш баса 30" длдікті теодолитпен лшеген жне мына нтижелер алынан жадайда есептеп шыару керек: 124°18,2'; 17,7'; 18,0'; 18,5'; 18,4'; 17,7'; 17,8'; 18,1' (екінші жне келесі нтижелерде градус мні ала береді).

a. Сегіз ушбрышты брыштары лшенген жне мынадай йлеспеушіліктер алынан: +0,2'; +0,4'; -1,7'; +0,8'; -0,6'; +1,4'; -0,3'; -0,1'; -0,2'; 0,0'.

йлеспеушіліктер шбрыштар брыштырыны осындысыны кездейсок ателігі есебінен болды деп есептей отырып, оны орташа квадратты жне шектік ателігін есептеу керек.

а есебіні шыарылу жолын арастырып, b есебін шыару керек. Бл есептерді шешкен кезде кестеден sine?- мндерін логарифмдік сызыштан аландаыдан араанда кбірек табасымен алу керектігін ескеру ажет. Мысалы, сызыш бойынша алынан мн sina=0,1743, ал кестелер бойынша бл sina=0,17451. А мндерін соы разряд бірліктерінде жазу керек, яни бізді мысалда ол мынаан те: А=-0,00021.

Логарифмдік сызыштан 8 /10° аралытарында 10 алынан нтиже мн бойынша a брышы шін sina мніні орташа квадратты ателігі мен шектік ателігін анытау керек.

Шешуі. Бл есепті шешу шін берілген аралытан a брышыны 10 интервалын аламыз. Олар шін алдымен логарифмдік сызыш бойынша, сосын тригонометриялы функцияларды натурал мндері кестесі бойынша sina мндерін табамыз. Кестеден алынан мндерді логарифмдік сызыштан алынан мннен бір табаа артыыра аламыз. Кестеден алынан мндерді дл мн ретінде алып, алынан аралыта логарифмдік сызыш бойынша алынан sina мніні орташа квадратты жне шектік ателіктерін анытаймыз. Алынан ателіктерді сызыш бойынша алынан соы онды белгіге дейін жазамыз. Есепті шешуін 13-кестеге жазамыз.

13-кесте
№ п/п а мндері Sin a мндері Д=/-а 4-ші онды белгісінде 2
Сызыш бойынша 1 Кесте бойынша, а
8°07' 0,1411 0,14119 -0,9 0,8
-0,3 О,1
+0,8 0,6
-1,1 1,2
+0,5 0,2
9° 14' -1,6 2,6
-1.1 1,2
+0,9 0,8
+0,6 0,4

 

+0,1 0,0

 

ЛШЕНГЕН ШАМАЛАР ФУНКЦИЯЛАРЫНЫ ДЛДІГІН БААЛАУ

Длдікті баалау дегеніміз - орташа квадратты ателік шамасын анытау деген сз. Алдыы уаытта ыайлы болу шін «орташа квадратты ателік» деген сзді ыскаша трде ОК деп белгілеп алайы.

Бл сракты арасытырып боланнан кейін тмендегілерді жетілдіру керек.

арастырылып отыран сраа байланысты есептерді мына кезектілікпен шешу керек. Алдымен лшенген шамалар мен траты мэліметтер кіретін ізделінді функция рнегін эріп трінде жазып алу керек. Сонан со осы типті оулытан осындай трдегі функция мен ОК шін формуланы тауып алды. ОК табылан формуласын осы есепке сай белгілеулермен жазу керек. Егерде формулада жеке туындылар бар болса, онда оларды жеке трде эріптік трде белгілеп алып, сонан со ОК формуласына егізеді. Осыдан кейін ріптерді сандармен алмастырып, есептеуді жргізеді.

Бл есептерде сызыты функциялар катысады, сондытан да оларды шешкен кезде жеке туындыларды есептеуді ажеттілігі болмайды. Осы параграфты келесі есептерінде функцияны длдігін анытау керек болады.

Геометриялы нивелирлеуді бір станциясынан трып рейканы ара жатарынан алынан сімеше мндеріні ОК анытау керек, егер рейка бойынша есепті ОК m 1 мм болса.

Шешуі. сімшелер мына формуламен есептеледі

=П]-П2

мндаы Пі жне п2 - сйкесінше арты жне алдыы рейкалар бойынша алынан есептер.

Бл формулада сімше ni жне n2 есептеріні функциясы болып табылады. Бл функция тедлдікті аргументтерге ие u=±xi±x2±...±xn±c функциясына сас боландытан, ОК бл функция шін мына формуламен аныталады: mh=m0 .

Нтижесінде мынаны аламыз

mh=l =1,4 мм.

Нивелирлеуді станциясындаы рейканы ара жне ызыл жатары бойынша алынан мндер арылы алынан сімшелерді орташасыны ОК анытау керек.

Брышты ОК есептеу керек. Брыш толы серпен лшенген жне шкала бойынша есеп алу ателіктері ана жіберілген. Шкала бойынша есеп алу ателігі 0,1 (есеп алу жйесі - біржаты).


 


 


 

Алынан тзетпелерді сйкесінше звеноларды жанына жашаа жазады (7-суретті араыз). Желіні ішкі звеноларында тзетпелерді звеноны екі жаына да жазады (осы звеноны сйкесінше іргелес жатан полигондарына).

рбір полигонда тзетпелерді косындысы полигон йлеспеушілігі кері табасымен алынан мніне те болуы керек [мысалы, I полигон шін: +14+18+22=-(-54)]

11-кесте
Нктелерді Звенолар Звенолара Тзетілген Биіктіктер
номерлері бойынша лшенген сімшелер тзетпелер сімшелер  
М.4       126,387
  -9,768 +14 -9,754  
Pen.13       116,633
  +15,327 +18 +15,345  
Pen.12       116,633
  -4,081 +1 -4,080  
Pen. 11       127,898
  -1,496 -15 -1,511  
М.4       126,387
  -18 + 18  

 

лшенген биіктік сімшелеріне тзетпелерді егізе отырып оларды тзетілген (теестірілген) мндерін алып, байлау нктелеріні белгілерін алады (11-кесте).

Звенолардаы тзетпелер бойынша 1 км ашытыты нивелирлік жріс жолыны орташа квадратты ателігін анытауа болады. Формула бойынша


 

 


(64)


 

 


Мндаы рi = , Li, —звено зындыы, r - полигондар саны.

Длдікті баалау полигондар саны r те аз болмаан жадайда ана сенімді болады.

Егер де бір звеноны ішінде орналасан нктелерді биіктіктерін есептеп шыару керек болса, осы звео ішінде жалыз жрісті теестіру ережесі бойынша теестіру жмысын жргізеді.

Б. Еркін емес жріс. Еркін емес жрісті бастапкы пунктерді осатын еркін жрістерді теестіру серімен теестіреді. Нтижесінде осымша полигондар алады. осымша полигондарды бастапы пунктерден бір сана кем етіп теестіру шін алады. Фиктивті звеноларды бар звеноларды иып тпейтіндей етіп жне осымша полигондар нерылым аз звенолара ие болатында етіп орнатады.


Mf = 8,5".