Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.
Доказательство:
1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость .
2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(1. рис.)
(2. рис.)
Доказательство:
Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость в точке M(1. рис.).
Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость .
Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости (2. рис.). Если у плоскостей и есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
Прямые a, b и c находятся в плоскости .
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.
Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.
Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой a и плоскости .
Значит, прямая a пересекает плоскость в точке K.
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано: acиbc
Доказать: ab
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая b пересекает плоскость или 2) прямая b находится в плоскости .
Пусть прямаяbпересекает плоскость.
Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость . Так как ac, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость и находиться в плоскости . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость , является неверным.
Значит, прямаяbнаходится в плоскости.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.
Пусть у прямых a и b есть общая точка L.
Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.
Так как прямые a и b находятся в одной плоскости и у них нет общих точек, то они параллельны