Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

Доказательство:

1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость .

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

 

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1. рис.)

(2. рис.)

Доказательство:

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость в точке M(1. рис.).

 

Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость .

 

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости (2. рис.). Если у плоскостей и есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

 

Прямые a, b и c находятся в плоскости .

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.

 

Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.

Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой a и плоскости .

Значит, прямая a пересекает плоскость в точке K.

 

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: acиbc

Доказать: ab

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

 

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость или 2) прямая b находится в плоскости .

 

Пусть прямаяbпересекает плоскость.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость . Так как ac, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость и находиться в плоскости . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость , является неверным.

Значит, прямаяbнаходится в плоскости.

 

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости и у них нет общих точек, то они параллельны