В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найдите расстояние от точки A1до прямой BC1. Решение.

Ответ: 2.

16. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 27.

Решение.

а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

Значит, Из доказанного следует, что б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

Аналогично найдём площадь треугольника BNP . Его высота, проведённая к BN , составляет высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

Ответ: .

17. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

Год	Долг банку (руб.)	Остаток доли после выплаты (руб.)
		–




	38528,6	14528,6
	15981,46

Значит, Оля погасит кредит за 6 лет.

Ответ: 6.

18.При каких значениях параметра система имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

Исходная система имеет решения, тогда и только тогда, когда относительно имеет решения система:

Решая первое уравнение этой системы, находим, что

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения находятся из совокупности неравенств

решая которое, получаем

Ответ: .

19. Перед каждым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.

1. Если все числа взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна:

2. Так как предыдущая сумма оказалась нечётной, то число нечётных слагаемых в ней — нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной, а значит, не будет равна нулю.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:

Ответ: 1 и 645.

Вариант 2 13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.а) Пусть , тогда исходное уравнение запишется в виде

При получим: , откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни принадлжащие отрезку

Получим числа:

Ответ:а)

б)

14. Дана правильная треугольная пирамида с вершиной Боковое ребро пирамиды равно высота равна Найдите расстояние от середины бокового ребра до прямой где точки и — середины ребер и соответственно.

Решение.

Пусть — середина ребра — середина ребра По теореме о средней линии треугольника , следовательно, точки лежат в одной плоскости.

следовательно, — параллелограмм. Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка . По теореме Пифагора

Тогда , а

Ответ:

15. Решите неравенство:

Решение.

Пусть тогда первое неравенство запишется в виде:

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

Ответ:

16. Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.
Решение.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: Поэтому:

откуда

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb X. После второй выплаты сумма долга составит

По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому откуда

При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и

(рублей).

Ответ: 2 622 050.

18. Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства образуют отрезок длины 1.

Решение.

Перенесем двойку:

Построим схематично графики функций и

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

Ответ:

19. Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было 3 участника, которые набрали 90, 72 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест балла. После добавления баллов у участников оказалось 95, 77 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил баллов.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали тест b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 85. Имеем два уравнения: 90N = 65(N a) + 90a и 85N = 69(N b) + 93b, откуда 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. Поэтому целое число N делиться на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N 15.

Покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 64 балла, 1 участник — 70 баллов и 9 участников по 90 баллов. Тогда средний балл был равен 80, средний бал участников, сдавших тест, был равен 90, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 65. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 69. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

Вариант 3 13. а) Решите уравнение .б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.а) Левая часть уравнения определена при , то есть при . Числитель дроби должен быть равен :

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке

Ответ: а) б)

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найдите расстояние от точки A1до прямой BC1. Решение.

Искомое расстояние равно высоте треугольника Треугольник равнобедренный, поскольку Дополнительно проведём высоту и медиану Найдём её длину: Тогда откуда получаем уравнение Следовательно,

Ответ:

15. Решите неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай: Имеем:

Ответ:

16. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и
Решение.

а) Углы APC и AQC, опирающиеся на отрезок AC, равны, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус Rокружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

17. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x² + 2x + 5 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px q. При каком наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?
Решение.

Прибыль (в млн рублей) за один год выражается как

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при x = p 2. Наибольшее значение равно Через 4 года прибыль составит не менее 52 млн рублей при

то есть при p 8, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 8.

Ответ: p = 8.

18. Найдите все значения при каждом из которых график функции

пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
Решение.

Рассмотрим вспомогательную функцию График функции пересекает ось абсцисс в трёх или более точках, если уравнение имеет более двух различных корней.

Если или то и

Если то и

График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение имеет более двух корней только если Соответствующие значения функции равны:

Ответ:

19. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение.

а) Если последовательность состоит из двух членов, и (в произвольном порядке), то Уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252.в) Приведём пример последовательности из 549 членов: Сумма её членов равна

Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем Получили противоречие.

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Вариант 4

13Решите уравнение:

Решение.

Левая часть уравнения имеет смысл при Поэтому множитель положителен. Рассмотрим два случая.

Первый случай: тогда

Второй случай: тогда

Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения.

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и Решение.

Пусть и — середины ребер и соответственно. — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.