Символический метод расчета цепей синусоидального тока
Сущность метода состоит в том, что для упрощения расчета цепей синусоидального тока переходят от уравнений для мгновенных значений, являющихся по сути интегро-дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям в комплексной форме. Расчет цепи удобнее вести для комплексных действующих величин синусоидальных токов и напряжений.
Для схемы (рис. 1) c входным напряжением 
заданы следующие параметры:
r1 = 4,5 Ом; r2 = 5 Ом; r3 = 2,7 Ом; x1 = 3 Ом;
x2 = 1,5 Ом; x3 = 4,5 Ом; x4 = 3,5 Ом;
U = 14,76 В; jU = 54,4°.
Рис. 1
Для заданной схемы определить токи в ветвях, падения напряжений на каждом элементе цепи, рассчитать баланс активных и реактивных мощностей и построить в масштабе векторно-топографическую диаграмму.
Порядок расчета:
1. Определяем комплексные сопротивления каждой ветви
Ом,
Ом,
Ом.
2. Определяем комплексное сопротивление разветвленного участка Zac: 
3. Определяем комплексное сопротивление всей цепи Z:
Z =Z1 + Zac = 4,5 + j3 + 3,29 – j1,13 = 7,79 + j1,87 = 7,95e j13,6 Ом.
4. Записываем напряжение источника в комплексной форме U и определяем ток I1 в неразветвленной части цепи:
A.
5. Определяем напряжение на разветвленном участке «ас»:
Uac= I1×Zac= 
×3,48e -j19° =6,46e j21,8° =(6+ j2,4) В.
6. Определяем токи в остальных ветвях:
A;
A.
7. Мгновенное значение тока i3 по его комплексному действующему значению I3 =1,23e j80,8 А.
Комплексная амплитуда тока Im3 = 
= 
×1,23e j80,8 B,
А.
8. Комплексную мощность всей цепи определяем как 
= P ± jQ,
где U =14,76e j54,4 В, I1 =1,85e -j40,8 А, 
=14.76e j54,4 ×1,85e -j40,8 =27,3e j13,6 = (26,5+ j6,4)ВА.
9. По закону сохранения энергии активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей всех n активных сопротивлений, входящих в цепь: 
=4,5×1,852+5×1,22+2,7×1,232=26,52 Вт.
10. По закону сохранения энергии реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме мощностей всех m реактивных сопротивлений, входящих в цепь (Xk>0, если сопротивление индуктивное и Xk<0, если емкостное): 
=3×1,852+(3,5-1,5)×1,22+(-4,5)×1,232= 6,43 ВAp.
Баланс активных и реактивных мощностей сходится:
P = 26,5 26,52Вт; Q = 6,4 6,43 ВAp.
11. Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма цепи, в которой каждой точке электрической схемы соответствует точка на топографической диаграмме (рис. 2).
Это достигается тем, что векторы напряжений на отдельных элемента х схемы строятся в той последовательности, в которой они расположены в схеме (обходим схему в направлении тока).
Для построения топографической диаграммы определяем напряжения на всех элементах цепи.
Ur1 = I1 R1 = 1,85 × 4,5 = 8,34 В Ur3 = I3 r3 = 1,23 × 2,7 = 3,32 В
UX1 = I1 X1 = 1,85 × 3 = 5,55 В UX3 = I3 X3 = 1,23 × 4,5 =5,54 В
Ur2 = I2 R2 = 1,2 ×5 = 6 В I1 = 1,85 А
UX2 = I2 X2 = 1,2 × 1,5 = 1,8 В I2 = 1,2 А
UX4 = I2 X4 = 1,2 ×3,5 = 4,2 В I3 = 1,23 А.
12. Выбираем масштабы по току и напряжению I = 0,25 А/см, U = 1 В/см. Построение топографической диаграммы начинаем с разветвленного участка цепи, а именно ее второй ветви, содержащей большее число элементов. Из т. «а», отложив в произвольном направлении ток I2, строим векторы 
X2, r2, X4, ориентируя их соответствующим образом относительно тока I2. Векторная сумма этих трех напряжений даст величину вектора ас. Аналогичным образом строим напряжение ас по току третьей ветви I3. Совместим эти две диаграммы с помощью циркуля и линейки (по общему для них вектору ас).
Отсюда определим положение векторов тока I2 и I3 относительно друг друга. Определяем ток в неразветвленной цепи по уравнению 
1= 2+ 3. Затем из т. «c», ориентируя вектора напряжений X1 и r1 относительно вектора тока 
1, строим вектор напряжения ab, равный в масштабе величине приложенного напряжения:
U = ab×u = 14,9 см×1В/см=14,9 В14,76 В.
Построенную топографическую диаграмму помещаем на комплексную плоскость, отложив под углом –u = -54,4° от вектора приложенного напряжения источника положительную ось вещественных чисел (при –u<0 – угол откладываем по часовой стрелке, при ->0 - против). Если величины углов между векторами токов и положительной осью вещественных чисел равны соответственно аргументам комплексных действующих значений токов I1, I2 , и I3, то расчет цепи и построение топографической диаграммы верны.
Рис. 2