VII. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Программа курса высшей математики для технарей

В третьем семестре.

I. Общая схема построения интегралов.

1. Задачи приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверх­ностных интегралов.

2. Двойной и тройной интегралы, их свойства.

3. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов, их
свойства, примеры вычисления.

4. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их
свойства, примеры вычисления.

II. Числовые и функциональные ряды

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости. Действия с рядами.

2. Методы исследования сходимости рядов.

3. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Приме­-
нение степенных рядов в приближенных вычислениях.

III. Теория вероятностей

1. Предмет теории вероятностей.

2. Классификация событий. Пространство элементарных событий.

Алгебра событий.

3. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон

устойчивости относительных частот.

4. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие
об аксиоматическом построении теории вероятностей.

5. Методы исчисления вероятностей.

6. Схема Бернулли.

7. Дискретные случайные величины Ряд распределения. Функция

распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия
дискретной случайной величины.

8. Непрерывные случайные величины Функция распределения,

плотность распределения, их взаимосвязь и свойства Математическое
ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

9. Нормальное распределение, его свойства.

10. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы

Бернулли и Чебышева, Центральная предельная теорема.

 

  1. В двойном интеграле расставить пределы того и другого порядка интегрирования по области Д, ограниченной следующими линиями:

 

1. прямыми x =0; x =1; y =1 и окружностью

2. прямыми x =0; x =1 и окружностью

3. прямыми x =1; x =2; y =1 и окружностью

4. прямыми x =0; y= -1; x =1 и окружностью

5. прямыми x =0; y =1; x =2 и окружностью

6. прямыми x =0; y = x и окружностью

7. прямыми y = -x; x =0 и окружностью

8. прямыми x =0; x =1; y =2 и окружностью

9. прямыми x = -1; x =0; y =2 и окружностью

10. прямыми y =2; y = x и окружностью

11. прямыми x =4; y =4 и параболами

12. и

13. ; и

14. ;

15. ; ;

16. ;

17. ; ;

18.

19. ; ;

20. ;

21. ;

22. ; ;

23. ;

24.

25. ; ;

26. ;

27. ;

28. ;

29.

30.

 

 

II. С помощью тройного интеграла вычислить объём тела ограниченного следующими поверхностями:

1.

2.

3.

4.

III. Исследовать на сходимость числовые ряды:

IV. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости:

V. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

VI. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

VII. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Вариант№1

1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй - 30% и третий - 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допус­кает 0,1% нестандартных деталей, второй - 0,2%, третий - 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартнойдетали.

2. В специализированную больницу поступает в среднем 60% больных с заболева­нием К, 30% больных с заболеванием L, 10% с заболеванием М. Вероятность пол­ного излечения болезни К равна 0,7, для болезней L и М эти вероятности равны 0.8 и 0,9. Найти вероятность того, что наугад выбранный больной, поступившийв боль­ницу, будет выписан здоровым.

3. Пусть в условиях предыдущейзадачи больной, поступившийв больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Вариант№2

1. Имеются два набора деталей. Вероятностьтого, что деталь первого набора бра­кована, равна 0,01, а второго - 0,02. Найти вероятность того, что взятая наудачу де­таль из наудачу взятого набора доброкачественная.

2. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0.3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии.

3. Пусть в условиях предыдущейзадачи от индикатора получен сигнал. Найти ве­роятность того, что индикатор принадлежит к первому типу.

Вариант№3

1. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй 5 бе­лых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

2. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92, а на втором -0,8, Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали на­ходятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет высшего качества.

3. Пусть в условиях предыдущейзадачи наудачу взятая деталь оказалась высшего качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

Вариант№4

1. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностями соответственно Р1= 0,2; Р2 = 0,3; Р3= 0,5 равными. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором -0,03, на третьем - 0,05. Найти вероятность того, что поступившее в цех изделие по­сле обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие, после обра­ботки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалосьна третьем станке?

3. В ящике имеются 5 деталей, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад деталь оказалась набракованной. Найти вероятность того, что 3 детали в ящике набракованные,а 2 бракованные, если предположить, что до опыта все гипо­тезы равновозможные.

Вариант№5

1. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями Р1 = 0,6 и Р2 = 0,4 . Вероятности того, что лампа проработает заданное число ча­сов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи лампа проработала заданное число часов. Какова вероятность того, что она принадлежит к первой партии?

3. В ящике имеются 4 детали, среди которых могут быть и бракованные. Вынутая наугад деталь оказалась набракованной. Определить вероятность того, что все детали в ящике набракованные. (Предполагается,что до опыта все гипотезы равно возможны).

Вариант №6

1. В первой коробке 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 дета­лей, из них 7 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой короб­ки, стандартна.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи деталь, извлеченная из первой коробки, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что из второй коробки переложена в первую стандартная деталь.

3. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров, Вероятность того, что деталь попадет к перво­му контролеру, равна 0.6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь бу­дет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Найти вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной.

Вариант№7

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стан­дартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора нестандартна.

2. Пусть в условиях предыдущейзадачи взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она принадлежала первому набору?

3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 20%, второй 30% и третий 50% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допус­кает 0,2% брака деталей, второй -0.3%, третий - 0,5%. Нейти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартна.

Вариант №8

1. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Станки первого тип производят 0,94 деталей отличного качества, второго - 0,9 и третьего - 0,85. Все произведенные в цехе за смену детали в не рассортированном виде сложе­ны на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется от­личного качества, если станков первого типа 5 штук, второго - 3 штуки, третьего - 2
штуки и производительность всех одинакова.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу деталь оказалась отличного качества. Наши вероятность того, что она была произведена не станке первого типа.

3. Имеются три одинаковых по виду ящика, В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Вариант №9

1. В ящик, содержащий две детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи извлечена стандартная деталь. Найти ве­роятность того, что первоначально в ящике была одна стандартная и одна нестан­дартна деталь.

3. По линии связи передаются два сигнала А и В соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 часть сигналов А. искажается и принимается как В -сигналы, а 1/8 часть переданных В -сигналов принимается как А -сигналы.Найти ве­роятность того, что на. приемном пункте появится А - сигнал.

Вариант №10

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационнуюнорму для лыжника равна 0,9, для велосипедиста -0,8 и доя бегуна - 0,6. Наши вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационнуюнорму.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это был велосипедист.

3. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой 3 белых и 2 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и перекла­дывают во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти ве­роятность того, что этот шар будет белым.

Вариант №11

1. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй 6. из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей групп попадут в сборнуюинститута соответственно равна0,9; 0,7; и 0,6. Паши вероятность того, что студент, выбранный наудачу, в итоге со­ревнований попадет в сборную.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. Найти вероятность того, что это был студент первой группы.

3. В первом ящике содержатся 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них также одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и пе­реложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Вариант №12

1. Возле бензоколонки, стоящей на шоссе, проезжает в среднем 80% грузовых и 20% легковых автомашин. Вероятность того, что будет заправляться грузовая маши­на, равна 0,05,. для легковой эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

2. В телевизионном ателье имеются 4 кинескопа различных типов. Вероятность то­го, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равна 0,8;0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит га­рантийный срок.

3. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что это был кинескоп 1-го типа.

Вариант №13

1. В первой коробке содержатся 15 деталей, из них 12 стандартных, во второй ко­робке 10 деталей, из них 8 стандартных. Из первой коробки наудачу взята деталь и переложена во вторую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из второй коробки, будет стандартной.

2. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностью соответственно равной 0,2; 0,3 и 0,5. При обра­ботке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке - 0,03 и на третьем -0,05. Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие после обра­ботки оказалось бракованным.

3. Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие после обра­ботки оказалось доброкачественным.Найти вероятность того, что изделие обраба­тывалось на первом станке.

Вариант №14

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора бра­кованная, равна 0,01, а второго 0,02. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора доброкачественная.

2. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью 0,2; 0,5 и 0,3. Вероятность того, что лампа проработает опре­деленное количество часов, для .этих партий равна соответственно 0,8; 0,6 и 0,9. Най­ти вероятность того, что выбранная наудачу лампа проработаетопределенное коли­чество часов.

3. Пусть в условиях предыдущей задачи радиолампа, выбранная наудачу, прорабо­тала определенное число часов. Найти вероятность того, что радиолампа принадле­жала к первой партии.

Вариант №15

1. В первом ящике содержатся 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30 деталей, из них 27 стандартных: в третьем -10 деталей, из них 9 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стан­дартная.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи наудачу извлеченная деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она извлечена из первого ящика?

3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Веро­ятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором - 0,03. Производительностьпервого автомата вдвое больше второго. Найти вероят­ность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна.

Вариант №16

1. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и две ко­робки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № I стандартна, равна 0,8, а завода № 2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи сборщик извлек стандартную деталь. Ка­кова вероятность того, что она изготовлена заводом №1?

3. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй -10, из третьей 6 студентов, Вероятность того, что ото­бранный студент из первой, второй, третьей групп попадет в сборную института, равна соответственно 0,5,0,4 и 0,2. Наудачу выбранный участник соревнования по­пал в сборную. Какова вероятность того, что он из первой группы?

Вариант №17

1. В группе легкоатлетов8 барьеристов, 12 бегунов на длинные дистанции и 10 прыгунов с шестом. Вероятностьвыполнить квалификационнуюнорму доя барьери­ста равна 0,9. для бегуна - 0,5 и для прыгуна с шестом - 0,6. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационнуюнорму.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи выбранный наудачу спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что это прыгун с шестом.

3. Среда поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,3% и с четвертого - 0,5%. Производительностиих относятся как 4; 3; 2; I соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом станке.

Вариант №18

1. Имеются три набора деталей. Вероятностьтого, что деталь первого набора стан­дартна, равна - 0,9, второго - 0,75, третьего - 0,6. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из наудачу взятого набора стандартна.

2. Имеются две урны с шарами. В первой урне 4 белых и 6 черных, во второй 3 бе­лых и 2 черных шара. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3. Пусть в условиях предыдущей задачи из второй урны извлечен белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

Вариант №19

1. Пластмассовые болванки изготовляются на трех прессах. Первый пресс производит 50% всех болванок, второй - 30% и третий - 20%. При .этом из болванок с первого пресса в среднем 0,03 нестандартных, из болванок со второго пресса в среднем 0,02 нестандартных, и из болванок с третьего пресса - 0,01 нестандартных. Какова вероятность того, что взятая наудачу болванка соответствует стандарту?

2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наудачу болванка оказалась стан­дартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом прессе?

3. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке - 10 радиоламп, из них 8 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Вариант №20

1. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых первый произво­дит деталей в четыре раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске пер­вого станка 0,02, а в выпуске второго - 0,01. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется годной для сборки.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятая наугад деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

3. В первой урне находятся 2 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и I черный. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти ве­роятность того, что шар, наудачу извлеченныйиз второй урны, будет белым.

Вариант №21

1. Некоторое изделие может поступить доя обработки в случайном порядке на один из двух станков с вероятностями 0,6 и 0,4. При обработке на первом станке ве­роятность брака равна 0,02, на втором станке - 0,03, Найти вероятность того, что поступившее в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.

2. Пусть в условиях предыдущейзадачи поступившее в цех изделие после обра­ботки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Найти вероятность того, что оно обрабатывалось на втором станке.

3. В двух урнах находятся шары белого и черного цвета. В первой урне - 5 белых и 3 черных, во второй - 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из второй урны, будет белого цвета.

Вариант №22

1. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стан­дартна, равна 0,95, а второго - 0,85. Найти вероятность того, что взятая наудачу де­таль из наудачу взятого набора стандартна.

2. Пусть в условиях предыдущейзадачи извлечена нестандартная деталь? Найти вероятность того, что она извлечена из первого набора.

3. Имеются 5 винтовок, из которых две с оптическим прицелом. Вероятностьпопа­дания в цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Вариант №23

1. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нор­мальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода из строя прибора за время Т в нормальном режиме равна 0,1. в ненормальном - 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время Т.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи прибор вышел из строя за время Т. Найти вероятность того, что он работал в нормальном режиме.

3. Имеются три одинаковые урны. В первой 5 белых и 3 черных, во второй 3 белых и I черный, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Вариант№24

1. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет" 60% всех изделий, второй - 40%. Вероятность безотказной работы за время Т прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,9, вторым - 0,8. Опреде­лить вероятность безотказной работы взятого наудачу прибора, поступившего на производство.

2. Пусть в условиях предыдущей задачи взятый наудачу прибор проработал безот­казно время Т. Какова вероятность того, что этот прибор изготовлен первым заводом;

3. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из двух касс. Вероят­ность обращения в каждую кассу зависит от их местоположения и равна соответственно 0,7 и 0,3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,8, для второй - 0,4. Найти вероятность того, что, выбрав наудачу кассу, пассажир приобретет билет.

Вариант№25

1. Производится стрельба по цели. Цельсостоит из трех частей, площади которых равны . S1,S2,S3(S1+S2+S3=S) . Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в пер­вую часть цель поражается с вероятностью Р1, во вторую часть – Р2, а третью – Р3. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.

2. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандарт­ных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция их составляет соответственно 50, 30 и 20 процентов всех лампочек, поставляемых в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

3. Пусть в условиях предыдущей задачи электролампочка, приобретенная в мага­зине данного района, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе.