Непрерывность функции в точке.

Функция y=f(x) называется непрерывной в т. Х0,если предел при х->x0 f(x)=f(x0).

Данное определение эквивалентно выполнению следующих 3 условий

Величина -скачок функции.

29.Непрерывность функции на отрезке.Свойства функций непрервных на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ,а в точке х=bнепрерывна слева(т.е.

(Теорема Вейерштрасса)

Теорема (Больцано-Коши)

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

30.Приращение Функции и аргумента функции в данной точке.Понятие производной функции,её геометрический и механический смысл.Уравнение касательной и нормали к графику функции.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х - х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается х. Таким образом, х = х - х₀, откуда следует, что х = х₀ + х.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х) – f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению х, и обозначается f, т. е. по определению

f = f (х₀+ х) – f(x_0), откуда f (х₀ + х) = f(x₀) + f.

1)х1,х2

2)

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

31.Основные правила дифференцирования.Производные некоторых элементарных функций(их нахождение на основе определения).Таблица производных.

Понятие дифференцируемости ф-ии в данной точке.Связь между дифференируемостью и непрерывностью ф-ии в точке.

Функция y=f(x)-называется дифференцируемой в т х0,если приращение этой ф-ии в т. Х0 может быть представлено ввиде:

А-некоторое число(ф-ия),независящее от

Теорема 1. Для того,чтобы ф-ия у=f(x) являлась дифференцируемой в данной т.х0 необходимо и достаточно,чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство:= (докажем необходимость)

Пусть ф-ия у=f(x)-дифференцируема в т. х0,тогда её приращение в этой точке можно записать ввиде:

Пусть тогда

(

Пусть ф-ия имеет производную в т. х0,т.е. или

По теореме о связи ф-ии,имеющей предел с её пределом и б.м.ф можем записать:

=

Теорема 2.

Если ф-ия у=f(x) дифференцируема в данной т.х0,то она и непрерывна в этой точке.

Замечание!Утверждение обратное теореме 2 неверно,т.е. из непрерывности ф-ии в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.