Балансовая модель Леонтьева

Теория общего экономического равновесия исследует, какими должны быть пропорции и каков механизм их установления и поддержания в экономической системе для нормального протекания процесса воспроизводства. Основные макроэкономические пропорции – народнохозяйственные, внутриотраслевые и территориальные. Их развернутое описание содержит система балансов народного хозяйства, разработка которой явилась в свое время большим достижением советской экономической науки. Наиболее общие, укрупненные народнохозяйственные пропорции описываются балансами производства, потребления и накопления совокупного общественного продукта; производства, распределения, перераспределения и использования национального дохода; трудовых ресурсов; основных элементов государственного богатства (основных фондов, оборотных средств).

За общими народнохозяйственными пропорциями стоят более конкретные межотраслевые пропорции, которые отражаются межотраслевыми балансами. Межотраслевые балансы различают по характеру отражаемых связей, по степени детализации, по используемым измерителям и т.п. Частные внутриотраслевые пропорции фиксируются материальными балансами отдельных видов продукции. Территориальные пропорции общественного производства описываются системой региональных балансов. С точки зрения широты и комплексности отражения процесса общественного воспроизводства наиболее интересен межотраслевой баланс общественного продукта.

Предположим, что национальное хозяйство (страны в целом или региона) имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выступает как производящая и как потребляющая. Например, сельское хозяйство, производя определенную продукцию – зерно, овощи, фрукты, продукты животноводства и т. п., выступает как производящая отрасль. Но для производства своей продукции ему необходима электроэнергия, машины (комбайны, трактора и т. д.). Поэтому оно является и потребляющей отраслью.

Введем обозначения:

- годовой валовой выпуск продукции i–й отрасли;

- объем продукции i–й отрасли, использованной при производстве продукции j–й отрасли;

- объем конечной продукции i–й отрасли (продукции, предназначенной для потребителей).

Будем считать, что эти величины даны в стоимостном выражении.

Все эти данные можно записать в виде таблицы межотраслевого баланса.

Производство	Потребление	валовая продукция	конечная продукция
		…	j	…	n
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
i			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n			…		…

Валовую продукцию каждой отрасли можно представить как сумму распределений продукции отрасли по всем отраслям материального производства и конечной продукции отрасли:

или можно короче:

Данные уравнения называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства.

Таблица межотраслевого баланса позволяет изучать структуру потоков ресурсов, однако для понимания функционирования экономики, в частности эффекта распространения (мультипликации), необходимо построить таблицы коэффициентов прямых и полных затрат.

Коэффициентами прямых материальных затрат называются отношения объема продукции i–й отрасли, использованной в j–й отрасли, к общему объему продукции j–й потребляющей отрасли:

Откуда имеем

После подстановки этих выражений в систему она принимает вид:

или

Полученная система уравнений называется системой уравнений межотраслевого баланса. Она отражает экономические и технологические связи между производящими и потребляющими отраслями.

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме. Для этого введем обозначения:

, , .

Получим

,

или

.

Можно показать, что квадратная матрица неособенная, а поэтому она имеет обратную матрицу, которую обозначим . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим:

.

Это есть решение уравнений межотраслевого баланса в матричной форме. Обозначая матрицу

,

приходим к следующей записи решения межотраслевого баланса

.

Коэффициенты матрицы B показывают, сколько нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы была произведена единица конечной продукции j-й отрасли. Они называются коэффициентами полных затрат. Матрица B называется матрицей полных затрат. Можно доказать, что если матрица A удовлетворяет некоторым условиям, которые обычно выполняются в задачах межотраслевого баланса, то справедливо равенство

правая часть которого – матрица, представленная в виде суммы неограниченного числа матриц. Поэтому каждый элемент ее является суммой сходящегося числового ряда, составленного как сумма соответствующих элементов матриц и т.д. Чтобы вычислить приближенно элементы матрицы полных затрат, достаточно взять сумму первых k членов ряда. Этот метод вычисления обратной матрицы называется методом последовательных приближений или итерационным методом.

Пример. Пусть экономика условно разделена только на три отрасли, межотраслевой баланс которых с указанием коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции приведен в таблице:

По этим данным рассчитать валовую продукцию каждой отрасли и межотраслевые поставки, определив матрицу полных затрат итерационным методом, ограничившись четырьмя членами разложения.

Решение. В условии задачи

; .

Матрица полных затрат приближенно равна

.

Пользуясь полученной матрицей полных затрат, вычислим объемы валовой продукции рассматриваемых отраслей при , и как произведение матрицы полных затрат на матрицу-столбец готовой продукции:

.

Межотраслевые поставки:

; ; ;

; ; ;

; ; .