Дискретные и непрерывные случайные величины

Ситуационные задачи по математике

Для студентов специальности 030302.65 Клиническая психология

Линейная алгебра

1. Даны множества , выполнить над ними следующие операции: А В, А , А/В, В/А, А В

2. Даны множества А = районы города Красноярска ={Центральный, Кировский, Советский, Октябрьский, Железнодорожный, Ленинский} В = районы правого берега города Красноярска = {Кировский, Ленинский, Свердловский} выполнить над ними следующие операции: А В, А , А/В, В/А, А В

3. Даны множества А = районы города Красноярска ={Центральный, Кировский, Советский, Октябрьский, Железнодорожный, Ленинский, Свердловский} В = районы левого берега города Красноярска = {Центральный, Октябрьский, Железнодорожный, Советский} выполнить над ними следующие операции: А В, А , А/В, В/А, А В

4. Даны множества , выполнить над ними следующие операции: А В, А , А/В, В/А,

5. Используя логическую операцию конъюнкция, составить истинное высказывание.

6. Используя логическую операцию дизъюнкция, составить истинное высказывание.

7. Используя логическую операцию конъюнкция, составить ложное высказывание.

8. Используя логическую операцию импликация, составить истинное высказывание.

9. Решить систему уравнений

 

10. Решить систему уравнений

11. Решить систему уравнений методами Гаусса и Крамера.

 

 

 

12. Решить систему уравнений

 

13. Найти длину вектора Х = (1,2,3)

14. Найти длину вектора Х = (1,-2,6)

15. Найти длину вектора Х = (-4,-2,1)

16. Найти длину вектора Х = (3,2,3)

17. Найти Х1+2Х2, если Х1=(2,-3,7), а Х2=(3,1,-4)

18. Найти Х1+2Х2, если Х1=(2,-3,7), а Х2=(3,1,-4)

19. Найти Х1*Х2, если Х1=(2,-3,7), а Х2=(3,1,-4)

20. Найти 2Х1-2Х2, если Х1=(2,-3,7), а Х2=(3,1,-4)

21. Транспонировать матрицу

22. Транспонировать матрицу

23. Транспонировать матрицу

24. Транспонировать матрицу

25. Найти определитель матрицы

26. Найти определитель матрицы

27. Найти определитель матрицы

 

Основы дифференциального и интегрального исчисления

1. Найти производную следующих функций: y= cos2x; y=3x ln x.

2. Найти производную следующих функций: у= 2х – tg x; у= sin2x.

3. Найти производную следующих функций: у= ln3x; y= .

4. Найти производную следующих функций: y= ; y= .

5. Найти производную следующих функций: y= 5x + 3x3sinx; y= (2х-3)(х+х5).

6. Найти производную следующих функций: y= ; y= .

7. Найти дифференциалы следующих функций: y= ; y=

8. Найти дифференциалы следующих функций: y= ; y= 53x .

9. Найти дифференциалы следующих функций: y= ; y= .

10. Найти дифференциалы следующих функций: y= 25x y= .

11. Найти интегралы ; .

12. Вычислить интегралы ; .

13. Найти интегралы (1+2x)x2dx; x2Sin3x3dx.

14. Найти интегралы ; tgxdx.

15. Найти интегралы ; dx.

16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2х2—1; у=0; х=2; х=4.

17. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=5х; у=0; х=0,5; х=2.

18. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х3; у=0; х=0; х=3.

19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х2; у=8 – х2.

20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х2; у=1 – х2.

Теория вероятностей

1. На столе находятся 15 ампул с новокаином, 25 – с пенициллином и 10 – с лидокаином. Найти вероятность того, что наугад выбранная ампула окажется ампулой с пенициллином.

2. Одновременно подбрасывается 2 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет герб.

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна четному числу.

5. Из 10000 упаковок некоторого препарата, выпущенных фармацевтической фирмой за день, случайным образом отобраны 100 упаковок и среди них обнаружены 3 бракованных. Найти среднее значение появления бракованных ампул, выпущенных за день.

6. 500 студентов первого курса сдавали экзамен по биологии. Среди 50 наугад выбранных студентов оказались 10 студентов, сдавших экзамен на "отлично". Каково среднее число студентов – отличников?

7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Произведено 3 выстрела. Какова вероятность, что будет 3 промаха.

8. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9.

9. Вероятность того, что в течение часа будет бесперебойно работать первый прибор – 0,8, второй прибор – 0,7, третий прибор – 0,6. Какова вероятность, что в течение часа а) откажет хотя бы один прибор, б) откажут два прибора?

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Произведено 3 выстрела. Какова вероятность, что будет: а) 2 попадания; б) 2 промаха; в) хотя бы одно попадание?

11. В первой урне 10 белых и 5 черных шаров. Во второй – 8 белых и 4 черных шаров. Из каждой урны вынимаются по шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара будут черными; б) из первой урны будет вынут белый шар, а из второй – черный; в) хотя бы один из вынутых шаров белый.

12. В семье трое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика или девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье а)два мальчика и одна девочка, б)все девочки.

13. Сколько нужно иметь детей, чтобы вероятность рождения хотя бы одного мальчика была больше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки–0,5).

14. В группе туристов 20% детей, из них 12%–девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность, что это: а) девочка, б) мальчик?

15. В санатории 30%–мужчины и 70%–женщины. Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем у женщин. Какова вероятность, что наугад выбранный пациент–сердечник?

16. Партия лекарственных препаратов изготовлена тремя фирмами, причем первая изготовила 25% всей продукции, вторая –35%, а третья – 40%. В продукции первой фирмы брак составляет 5%, второй –4%, и третьей –2%. Случайно выбранная упаковка оказалась бракованной. Какова вероятность, что это продукция второй фирмы?

17. На сельскохозяйственные работы повезли 100 студентов лечебного факультета и 50 – факультета клинической психологии. Среди «лечебников» 30 добровольцы. Среди психологов – 25. Найти вероятность того, что произвольно выбранный студент окажется добровольцем.

18. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «хорошие» билеты.

19. В коробке находятся 3 ампулы с порошкообразным лекарством и 3 ампулы с растворителем. Найти вероятность того, что последовательно будут взяты ампулы сначала с лекарством, потом с растворителем.

20. Пациенту требуется переливание крови. Среди восьми доноров 5 женщин и трое мужчин. Вероятность того, что «нужная» кровь будет взята у женщины-донора – 0,30, у мужчины – 0,25. Найти вероятность того, что кровь случайно взятого донора окажется «нужной».

 

Дискретные и непрерывные случайные величины

1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi 1,1 1,4 1,7 2,0 2,3
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi 1,5 2,5
pi 0,1 0,2 0,3 0,4

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

3. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi -2 -1
pi 0,1 0,2 0,4 0,3

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

4. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi 0,1 0,4 0,7 1,0 1,3
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

5. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi
pi 0,2 0,3 0,3 0,2

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

6. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi 2,1 2,5 2,7 2,9 3,0
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

7. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi
pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi 0,6 0,7 0,9 1,3 1,6
pi 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

9. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi
pi 0,2 0,1 0,1 0,4 0,2

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

10. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

хi
pi 0,1 0,2 0,2 0,5

Найти числовые характеристики и построить полигон распределения.

 

11. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а)значение с; б)функцию плотности распределения вероятностей f(х); в) числовые характеристики случайной величины Х. Построить график функции f(х).

12. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а)значение с; б) числовые характеристики случайной величины Х; в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0;1). Построить график функции F(х).

 

 

13. Задана функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а) значение k; б)функцию распределения вероятностей F(х); в)числовые характеристики случайной величины Х. Построить график функции F(х).

14. Задана функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а) функцию распределения вероятностей F(х); б) числовые характеристики случайной величины Х; в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;2). Построить график функции f(х).

 

15. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а)значения а и b, б)функцию плотности распределения вероятностей f(х), в)числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения). Построить график функции F(х).

 

16. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а)функцию плотности распределения вероятностей f(х), б)числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения), в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1;3). Построить график функции f(х).

17. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

 

Найти: а)функцию плотности распределения вероятностей f(х), б)числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения). Построить график функций f(х).

 

18. Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти: а) числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения), б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-1;0). Построить график функции F(х).

 

19. Плотность вероятности задана законом:

Найти: а) значение a; б)функцию распределения вероятностей F(х); в)числовые характеристики случайной величины Х. Построить график функции F(х).

20. Плотность вероятности задана законом:

Найти: а) функцию распределения вероятностей F(х); б) числовые характеристики случайной величины Х; в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (05;1). Построить график функции f(х).