Электронная библиотека научной литературы по гуманитарным
дисциплинамwww.vusnet.ru\biblio
Мы приглашаем Вас активно пользоваться Эл. библиотекой РГИУ. В Вашем распоряжении более 4000 полновесных текстов книг и статей, более 70 словарей. Любую книгу библиотеки вы можете свободно скачать и сохранить у себя на ПК.
Об учебном портале РГИУ.www.vusnet.ru
Если вы хотите получить первое или второе высшее образование, мы рекомендуем поступить учиться в РГИУ. Вы получите хорошее образование, гос.диплом аккредитованного Московский вуза, сэкономите временя и деньги.
Обучение проходит в Интернете, где Вам доступны учебники, специально подготовленные для чтения на ПК и тесты. К каждому учебнику прилагаются: хрестоматия, библиография, Интернет-ресурсы, специальные статьи, словари. Инвалидам скидка - 20%.
В учебном Портале РГИУ имеется 100 общеобразовательных и профессиональных курсов. Они в вашем распоряжении. www.vusnet.ru
Если у Вас возникли вопросы, постараемся на них ответить. Если есть пожелания – непременно сообщите.
Пожалуйста, пишите на: elena@vusnet.ru, anna@vusnet.ru Или звоните: (905) 7211213 (Елена).
МАТЕМАТИКА
ВЫБОРОВ
Mathematical World
Volume 22
The Mathematics of
Voting and Elections:
A Hands-On Approach
 |
Jonathan K. Hodge
Richard E. Klima
НЕЗАВИСИМЫЙ ИНСТИТУТ ВЫБОРОВ
Ричард Э.Клима, Джонатан КХодж
МАТЕМАТИКА
ВЫБОРОВ
Перевод с английского Н.А.Шиховой
Москва
Издательство МЦМНО
2007
УДК 342.8+5I9-I
ББК 66.з(2Рос)68+22.17б
К49
Клима Р. Э., Ходж Дж. К.
К49 Математика выборов. — М.: МЦНМО, 2007. — 224 с.
ISBN 978-5-94057-317-3
Вопрос о том, являются ли те или иные выборы демократичными, соот-
ветствуют ли результаты выборов воле народа, имеет много разных аспектов. В
книге американских преподавателей Дж. К. Ходжа и Р. Э. Клима в научной фор-
ме, живо и наглядно обсуждаются проблемы математической теории выборов
и референдумов.
Книга написана в форме учебника и рассчитана прежде всего на студентов.
Для ее понимания вполне достаточно школьных знаний по математике. Книга
предназначена для политологов, социологов и юристов.
ББК 66.з(2Рос}68+22.176
This work was originally published in English by the American Mathematical Society
under the title The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach,
©2005, American Mathematical Society. The present
translation was created under authority of the American Mathematical Society
and is published by permission.
Ричард Э.Клима, Джонатан К.Ходж
МАТЕМАТИКА ВЫБОРОВ
Перевод с английского Шиховой К А.
Редактор Маруфов Т. Б.
Подписано в печать 22.10.2007 г. Формат 60 х 90 Vi6- Бумага офсетная № I.
Печать офсетная. Печ. л. 14. Тираж 3000 экз. Заказ № 414-07
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., и. Тел. (495)-241-74-8з«
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. и. Тел. (495) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
ISBN 0-8218-3798-2 (англ.) © American Mathematical Society, 2005
ISBN 978-5-94057-3I7-3 © МЦНМО, 2007.
Оглавление
Предисловие к русскому изданию 8
Благодарности и
Предисловие 13
Глава i. Чем так хорошо правило большинства? 16
Мэр Стикивилля........................................................................ ........ 16
Анонимность, нейтральность и монотонность............................... 18
Правило большинства и теорема Мэя.......................................... ....... 20
Системы с квотой...................................................................... 21
Вернемся к теореме Мэя........................................................... ........ 25
Ответы на вопросы.................................................................... ........ 27
Глава 2. Перо, Нейдер и другие затруднения 30
Метод относительного большинства........................................... 31
Правило Борда.......................................................................... 33
Порядки предпочтения............................................................. ....... 34
Вернемся к Борда..................................................................... ........ 37
Снова теорема Мэя.................................................................... 39
Вопросы для дальнейшей работы................................................ 41
Ответы на вопросы.................................................................... 46
Глава 3. Снова в бой 50
Победители и проигравшие по Кондорсё..................................... ........ 52
Последовательное попарное голосование................................... 56
Система единственного передаваемого голоса............................ ........ 61
11 од водя итоги........................................................................ ........ 65
Иопросы для дальнейшего изучения........................................... 66
Ответы на вопросы.................................................................... ....... 69
Глава 4. Неполадки с демократией 71
I! ('зависимость от посторонних альтернатив............................... ........ 72
fa рема Эрроу........................................................................... 77
Что такое избирательная система? ..................................... 78
Условия Эрроу.................................................................... 8о
Кульминация...................................................................... 82
Условие единогласия Парето..................................................... ....... 84
Оглавление
Вопросы для дальнейшей работы................................................ 86
Ответы на вопросы..................................................................... 89
Глава 5. Объяснение невозможного 91
Доказательство теоремы Эрроу.................................................. ........ 92
Возможные решения................................................................. 101
Ослабление условия Парето................................................ ....... 101
Одобрительное голосование................................................ ...... 103
Интенсивность попарной независимости............................... ....... юб
Заключительные замечания....................................................... 108
Вопросы для дальнейшей работы................................................ ...... 109
Ответы на вопросы..................................................................... ш
Глава 6. Один человек—один голос? 115
Избирательные системы с весом................................................ ....... 117
Диктаторы, пустышки и право вето.............................................. 119
Устойчивость к мене.................................................................. ...... 121
Устойчивость к сделке............................................................... 125
Вопросы для дальнейшей работы................................................ ...... 127
Ответы на вопросы.................................................................... ...... 130
Глава 7. Вычисление коррупции 132
Индекс влиятельности Банцафа.................................................. ...... 133
Индекс влиятельности Шепли—Шубика...................................... ...... 136
Влиятельность Банцафа в Психозии............................................ ...... 141
Поток комбинаторики............................................................... ...... 142
Влиятельность Шепли—Шубика в Психозии................................ ...... 145
Вопросы для дальнейшей работы................................................ ...... 147
Ответы на вопросы.................................................................... ...... 150
Глава 8. Испытание коллегии 155
Коллегия выборщиков............................................................... ...... 156
Правило «победитель получает все»........................................... ...... 158
Немного истории....................................................................... 160
Влияние в коллегии выборщиков................................................ .... 162*
Колеблющиеся голоса и искаженные результаты......................... ...... 165
Альтернативы коллегии выборщиков ........................................ 169
Вопросы для дальнейшей работы................................................ 171
Ответы на вопросы.................................................................... I741
Глава 9. Проблемы с прямой демократией 175
Еще больше проблем................................................................. 177
Проблема сепарабельности........................................................ 179:
Оглавление j
Бинарные матрицы предпочтений............................................... ...... 181
Проверка сепарабельности ....................................................... 182
Метод i. Симметрия............................................................ 182
Метод 2. Объединения и пересечения.................................. 184
Некоторые возможные решения................................................ ...... 186
Решение № i. Избегайте несепарабельных предпочтений . 186
Решение №2. Голосование за список.................................... 188
Решение №3. Последовательное голосование....................... 189
Решение №4. Бюллетени с условиями.................................. ....... 191
Решение №5 еще предстоит найти....................................... 192
Вопросы для дальнейшей работы . *............................................ ...... 192
Ответы на вопросы..................................................................... 194
Глава to. Пропорциональное (анти)представительство 196
Палата представителей США...................................................... 197
Метод распределения Гамильтона.............................................. ...... 199
Метод распределения Джефферсона.......................................... ..... 202
Метод распределения Уэбстера.................................................. 208
Три парадокса распределения.................................................... ..... 209
Метод распределения Хилла...................................................... 212
Другие теоремы невозможности................................................. ...... 214
Заключительные замечания....................................................... 216
Вопросы для дальнейшей работы............................................... ...... 216
Ответы на вопросы................. . ................................................. 220
Список литературы 222
Предисловие к русскому изданию
Выборы —это непременный атрибут демократического государ-
ства. Выборы проходят в большинстве стран мира, и в каждой стране
у них есть свои особенности, связанные с опытом и традициями
народа этой страны, с системой государственной власти и политиче-
ским режимом. Ученые и политики, журналисты и простые граждане
спорят о том, являются ли те или иные выборы демократичными,
соответствуют ли результаты выборов воле народа.
Этот вопрос имеет много разных аспектов. Необходимо прини-
мать во внимание и наличие конкуренции, и доступность информа-
ции о кандидатах, и свободу волеизъявления, и честность подсчета
голосов —все те аспекты, которые обсуждают юристы, политологи
и социологи. Однако есть у выборов еще одна сторона, которая изу-
чается прежде всего математиками. Ее обычно принято называть
избирательной системой (в узком смысле этого понятия).
Избирательная система (в узком смысле) — это совокупность пра-
вовых норм, определяющих, каким образом итоги голосования из-
бирателей трансформируются в результаты выборов. Эти нормы свя-
заны не только с правилом определения победителя или победите-
лей. Выбор избирательной системы начинается раньше —с решения
вопросов, какими будут избирательные округа, каков будет изби-
рательный бюллетень и какие отметки смогут проставлять в нем
граждане. Но в конечном итоге все сводится к одной задаче — опреде-
лить, как голоса избирателей превращаются в мандаты избираемых
народом лиц.
Эти проблемы обсуждаются математиками и политиками с XVIII ве-
ка, когда выборы только начинали становиться универсальным спосо-
бом формирования органов власти. Свой вклад в их решение внесли
такие выдающиеся люди, как Ж. А. Кондорсе, А. Гамильтон, Т. Джеф-
ферсон и другие. Уже в XX веке за вклад в теорию выборов американ-
ский математик Кеннет Дж.Эрроу был удостоен Нобелевской премии
по экономике.
В нашей стране математическая теория выборов долгие деся-
тилетия была не востребована. В условиях, когда в избирательный
бюллетень включался всего один кандидат, за которого голосовали
99,9% избирателей, все эти математические премудрости были ни
к чему. Однако мы уже 18 лет живем в условиях альтернативных
выборов, а интерес к математической теории выборов пока явно
недостаточен.
Студенты, обучающиеся на юристов и политологов, получают ми-
нимальную и зачастую искаженную информацию о современных из-
бирательных системах и практически ничего не узнают о проблемах,
связанных с порядком определения результатов выборов. Соответ-
ственно все эти проблемы остаются малопонятны и тем, кто пишет
и принимает избирательные законы. Наиболее ярким примером мо-
жет служить принятие в ряде российских регионов в ноябре-декабре
:>оо6 г. законов, предусматривающих использование для распреде-
ления мандатов между списками так называемого метода делителей
Империали.
Литературы по данным вопросам на русском языке крайне мало.
Давно стала библиографической редкостью вышедшая в 1958 г. заме-
ча гельная книга Э.Лейкман и Д.Д.Ламберта «Исследование мажори-
тарной и пропорциональной избирательных систем». В 1997 г. в жур-
нале ПОЛИС был напечатан отрывок из книги Р.Таагеперы и М. С. Шу-
|| а. Тогда же, в 90-х годах, вышли две популярные книги: одна из
и их (Ф.Т.Алескеров, П. Ортешук «Выборы. Голосование. Партии») бы-
т\ ц.чписана отечественным автором в соавторстве с американцем,
ц угая (О. Н. Каюнов «Незримая логика избирательных законов») —
российским специалистом. Можно также отметить нашу недавно вы-
ш • плую книгу «Пропорциональная избирательная система в России:
ИСТория, современное состояние, перспективы» (авторы —А. В. Иван-
ченко, А. В. Кынев, А. Е. Любарев), однако в ней данным аспектам уде-
кчю лишь небольшое внимание.
Поэтому следует приветствовать появление книги, в которой в
11 ого научной форме, но при этом живо и наглядно обсуждаются
п| | лемы математической теории выборов (а заодно и референду-
ма). Данная книга позволит всем, кто ее изучит, значительно лучше
ЙОнять, что стоит за такими, казалось бы, простыми понятиями, как
правило большинства или пропорциональное распределение, какие
При лтом возникают сложности и парадоксы. Возможно, многие, про-
читав данную книгу, впервые задумаются о том, насколько непросто
• •смдать систему выборов, адекватно отражающую волю избирателей.
Книга американских преподавателей Дж. К. Ходжа и Р. Э. Клима
И и 111сана в форме учебника и предназначена для студентов. Она рас-
I чи гана на людей, неплохо владеющих математикой, но для ее усвое-
иполне достаточно хорошей школьной подготовки по этому пред-
мету Можно надеяться, что таких немало среди студентов, изучаю-
Ц;их социологию и политологию, хочется верить, что есть такие и сре-
4и будущих юристов.
Книга в изобилии содержит задачи, предназначенные для само-
стоятельной работы обучающихся. Правда, авторы постарались, что-
бы задачи эти были интересны американским студентам. Вероятно,
Преподавателям, которые будут использовать данный учебник, при-
дется находить задачи, которые могли бы в большей степени заинте-
ресовать российского студента.
Есть и другие проблемы, связанные с американским происхожде-
нием книги. Например, гл. го посвящена методам пропорционального
распределения. В США эти методы имеют отношение главным обра-
зом к проблеме распределения между штатами мест в палате пред-
ставителей. В Европе же и в России аналогичные методы используют-
ся в первую очередь как важная составная часть пропорциональной
Избирательной системы—для распределения мандатов между парти-
ями по итогам голосования. Методы в основном те же, однако при
этом используется иная терминология, да и алгоритмы реализации
этих методов заметно различаются. Поэтому материал гл. го трудно
без соответствующей подготовки адаптировать к тем проблемам, ко-
торые возникают на российских выборах.
В целом книга посвящена наиболее общим проблемам, поэтому
в ней нельзя искать ответы на все вопросы, возникающие по поводу
той или иной избирательной системы. Однако она заставляет думать,
учит глубже вникать в те положения, которые внешне кажутся про-
стыми и понятными, — и в этом ее главная ценность.
Надеемся, что книга эта будет востребована и преподавателями,
и студентами, и теми политиками, которые стремятся более осмыс-
ленно подходить к проблеме выборов. Надеемся также, что данное
издание не станет последним, посвященным математической теории
выборов, а напротив, стимулирует создание отечественных книг в
этой области.
Иванченко А.В.,
доктор юридических наук,
заслуженный юрист Российской Федерации
Музыкантский А.И.,
кандидат технических наук, профессор
Любарев А.Е.,
кандидат юридических наук
Благодарности
От Джона
Этот проект никогда бы не воплотился в жизнь без поддержки
I одобрения моих друзей, семьи и товарищей по работе.
Я особенно благодарен Джиму Брэдли за то, что он познакомил
меня с областью теории выборов, а также Арту Уайту и Алену Швенку
за то, что они помогли обратить мой интерес к математике в нечто
большее, чем просто хобби.
Еще я благодарен моим коллегам в Университете Гранд-Велли
ш их личную и профессиональную поддержку в течение послед-
них нескольких лет. Они во многом научили меня, что значит быть
хорошим преподавателем и хорошим математиком. Принадлежать
к такому выдающемуся коллективу преподавателей и специалистов —
большая удача.
Писать книгу—тяжелый труд, но у меня был замечательный со-
автор, и это сделало задачу не такой уж непреодолимой. Я искренне
ценю творческий дар Рика, его трудоспособность и то что, он так кста-
ти компенсировал мою полною некомпетентность в вопросах спорта.
Я благодарен судьбе за чудесную семью, замечательных друзей, моих
братьев и сестер во Христе, которые поддерживали меня и одновре-
менно были требовательны ко мне. Я испытываю огромное чувство
благодарности к моей жене, которая подарила мне больше, чем любой
муж вправе ожидать. Мелисса, ты—любовь моей жизни, и я с радо-
стью смотрю в будущее, думая, что нас ждет еще много хорошего.
И наконец, эта книга никогда бы не появилась на свет, если бы
Господь не устроил это. Хотя Он так добр, что позволил мне приписать
себе эти идеи, на самом деле они Его, а не мои. Поэтому я надеюсь,
что могу прославить Его с помощью этой книги и всего того, к чему
она приведет.
От Рика
Я бы хотел высказать особую благодарность Джону за то, что он
отвел мне такую значительную роль в работе над этой книгой. Для
Джона интерес к теории голосования и выборов —и профессиональ-
ная необходимость, и хобби. А для меня это в основном развлечение.
Поэтому вначале я согласился отредактировать книгу и предоставить
Джону некоторую историческую и биографическую информацию, а
также вопросы для дальнейшего изучения для его книги. Но вышло
так, что я сделал гораздо больше, чем мы оба вначале планировали —
написал полностью первые версии двух глав и очень много поработал
с остальными. Поэтому книжка оказалась нашей общей, а не только
его (и, по крайней мере бы для этих двух глав, мы почувствовали роль
партнера в проекте). Тем не менее, любая книга как идея зарождается
в голове только одного человека, и с моей стороны было бы упущени-
ем не сказать, что для этой книги таким человеком был Джон.
От Джона и Рика
Мы хотим адресовать особую благодарность «Educational Advance-
ment Foundation^ Университету Гранд-Велли и Апполачскому универ-
ситету за щедрую поддержку проекта, в результате которого появи-
лась эта книга. Мы хотим поблагодарить также Гарри Лукаса-млад-
шего за его проницательность и великодушие; Грега Фоли за то, что
познакомил нас; а также Стива Шликера, Билла Болдри и Кэтрин Фре-
рикс за то, что рассмотрели нашу заявку на грант и предложили свою
поддержку.
Мы особенно благодарны Сергею Гельфанду и Американскому
Математическому Обществу за воодушевляющую поддержку наших
усилий и за то, что процедура опубликования прошла гладко. Здесь же
мы хотим поблагодарить Элен Беккер, Мэтти Боулкниса и Джераль-
да Клима за то, что они прочитали рукопись и сделали множество
полезных замечаний и предложений.
И наконец, летом 2004 г. нам доставила большое удовольствие ра-
бота с тремя выдающимися помощниками из числа студентов: Май-
ком Чейни, Питом Швельером и Дейвом Уилсом. Их способность
проникать в суть вещей и умение видеть все в перспективе были
бесценны, и мы не можем представить, чтобы книга была написана
без них. Мы просто обязаны дать дружеский совет каждому работо-
дателю: возьмите их на работу прежде чем это сделает кто-нибудь
другой! Это толковые, работоспособные ребята, а находиться с ними
рядом — сплошное удовольствие. Нам повезло, что они включились
в этот проект и мы желаем им всего самого лучшего в их будущих
начинаниях.
Предисловие
В минувшее десятилетие или около того темы из обществен-
ных наук постепенно проложили себе путь в многочисленные мате-
матические публикации —и на уровне среднего образования, и на
университетском уровне. В колледжах эти темы часто преподают
н рамках курса «Математика для гуманитариев», предназначенного
для тех, кто не специализируется в математике. В высшей школе
их используют в качестве упражнений в математическом модели-
звании и решении задач. Такой подход вполне отвечает стандарт-
ным требованиям Национального совета учителей математики (The
National Council of Teachers of Mathematics, NCTM), предъявляемым
к умению рассуждать, доказывать, передавать и представлять инфор-
мацию и работать совместно. Некоторые колледжи и университеты
теперь даже предлагают целые семестровые курсы, посвященные ма-
тематике в политике и общественном выборе. Недавно Университет
Гранд-Велли ввел такой курс в число изучаемых дисциплин, и эта
I нига была написана в ответ на потребности этого курса.
Этот университетский курс под названием «Математика голо-
сования и выборов» предназначен для студентов последних двух
курсов с самой разной математической подготовкой. Его можно рас-
< ммтривать как часть общеобразовательной программы студентов,
и единственное требование к уровню математической подготовки —
полный курс базовой университетской программы по математике,
п который входят алгебра в объеме колледжа, математика для гума-
нитариев, вводный курс статистики, логика (изучаемая на факультете
философии) и даже программирование на Visual Basic. При этом ауди-
юрия курса оказалась очень разнородной. Когда мы только начали
читать этот курс, на него приходили студенты самых разных специ-
ализаций, включая бухгалтерский учет, бизнес, компьютерные тех-
нологии, экономику, инженерное дело, английский язык, географию,
Ш торию, математику, философию и политологию (и все это в группе
it | 17 человек!). В то же время аналогичный курс, но для слушателей,
и основном специализировавшихся на математике, был прочитан в
Лппалачский университет.
Мы думаем, что эта книга полезна в обеих ситуациях. Студенты
i более высокой математической подготовкой, в отличие от тех, кто
не специализируется в математике, будут подходить к этой теме с
другой точки зрения. Более того, преподаватель может менять свой
подход и цели, чтобы соответствовать потребностям обеих групп.
Мы также верим, что эта книга вполне годится для самостоятельного
изучения, в основном благодаря своему практическому, основанному
на решении задач, подходу.
С точки зрения педагогики, при создании этой книги нас вдохнов-
ляла наша причастность к наследию проекта Р. Л. Мура. Этот проект
был начат в Университете штата Техас, в Остине, чтобы содействовать
распространению методов «обучения на основе открытий», введен-
ных покойным доктором Р.Л.Муром. Он специализировался в топо-
логии, и стиль его преподавания состоял в том, что студентам пред-
лагалась тщательно проработанная последовательность задач, кото-
рые они решали, а затем обсуждали. Подход, принятый в нашей кни-
ге, следовало бы называть модифицированным методом Мура, более
всего (причем иронически) потому, что Мур никогда не использовал
учебников на занятиях.
Когда мы начали писать эту книгу, мы хотели внести в нее дух ме-
тода Мура, но мы хотели быть уверенными, что текст подойдет и для
не-математиков. Для этого мы постарались писать в непринужденном
стиле, не отпугивая читателя. Кроме того, мы постарались поместить
каждую тему в подходящий исторический контекст и по ходу дела рас-
сказать интересные и увлекательные истории.
Если вы привыкли работать с более традиционными математиче-
скими текстами, вы можете заметить, что некоторые общие их черты
не проявились в нашей книге. Прежде всего, мы не включали никаких
подробных примеров в основной текст. Вместо этого мы ввели вопро-
сы «со звездочкой», полные или частичные ответы к которым приве-
дены в конце каждой главы. Эти вопросы предназначены для того,
чтобы помочь читателю оценить свое понимание основных опреде-
лений и понятий прежде, чем перейти к более трудному материалу.
Таким образом, эти вопросы со звездочкой играют ту же роль, что
и примеры в других текстах, но происходит это таким образом, чтобы
заставить читателя активнее работать над новыми понятиями.
Мы не включали однотипных задач на отработку определенных
навыков, а вместо этого сосредоточились на вопросах, которые тре-
буют глубокого анализа и умения критически мыслить. Собственно
говоря, мы используем эти вопросы не для того, чтобы просто допол-
нить материал книги, но чтобы существенно развить его. Поэтому со-
вершенно необходимо, чтобы читатель трудился над книгой с каран-
дашом в руках и тщательно прорабатывал каждый вопрос основного
материала, прежде чем двигаться дальше. Единственное исключение
из этого правила — вопросы для дальнейшего изучения, приведенные
в конце каждой главы. Мы рекомендуем проработать их, но, строго
говоря, это не обязательно.
Сложно охватить весь материал этой книги в односеместровом
курсе по теории голосования. Правда, некоторые главы и разделы
можно опустить без потери цельности. А именно:
• Главы 1—4 вводят основания математической теории голосования
вплоть до теоремы Эрроу, и их нужно изучать по порядку. Тем
не менее, доказательство теоремы Мэя (оно начинается на с. 22)
можно пропустить, и это не вызовет трудностей в дальнейшем.
• В главе 5 читатель проводит доказательство теоремы Эрроу, а за-
тем там обсуждаются три возможных варианта разрешения труд-
ностей, вскрытых в этой теореме. Вся эта глава может быть пропу-
щена, хотя было бы неплохо проработать хотя бы раздел по одоб-
рительному голосованию (он начинается на с. 103).
• Главы 6 и 7 связаны друг с другом, и их следует изучать по поряд-
ку. Они лишь немного опираются на материал первых четырех
глав.
• Главы 8, 9 и ю по существу не зависят от остального текста и друг
от друга; их можно изучать в любом порядке или опустить. В гла-
ве 8 в небольшой степени используется терминология глав 6 и 7
(в особенности в отношении коалиций и индексов влияния), но
для понимания достаточно лишь поверхностного ознакомления
с этими идеями.
И наконец, хотя эта книга предназначена для использования в
курсе теории голосования для студентов старших курсов, мы думаем,
что она может быть частично использована и для стандартного курса
математики для гуманитариев или как дополнение к существующей
программе последних курсов. Более того, хотя наш собственный под-
ход к преподаванию по этой книге включает коллективную работу,
доклады студентов, обсуждения, дебаты, а не чтение лекций в каком
(1Ы то ни было виде, мы призываем преподавателей экспериментиро-
вать и с другими методами и формами работы. Мы надеемся, что эта
книга послужит полезной отправной точкой, какими бы ни были ва-
ши цели в преподавании, и что вы не постесняетесь обратиться к нам,
если у вас есть какие-либо комментарии, вопросы и предложения.
Джон Ходж
hodgejoOgsvu.edu
Рик Клима
KlimareOappstate.edu
ГЛАВА Q
Чем так хорошо правило
большинства?
Центральные вопросы
• Какие системы могут быть использованы для определения победителя на
выборах с двумя кандидатами? Каковы сильные и слабые стороны каждой
из этих систем?
• Какие критерии могут быть использованы для оценки избирательных си-
стем в выборах с двумя кандидатами?
• Что особенного или уникального в правиле большинства? Какая теорема
доказывает эту уникальность?
• Что такое избирательная система с квотой? Как избирательные системы
с квотой связаны с правилом большинства и его уникальными чертами?
Мэр Стикивилля
Вопрос-разминка i.i. Пришло время гражданам Стикивилля вы-
бирать нового мэра. На должность баллотируются два кандидата:
Майк Довелл и Лаура Штуцман. Какой метод следует использовать
для определения победителя в выборах?
Не показался ли вам этот вопрос-разминка слишком легким? А от-
вет на него — слишком очевидным? Если так, то, возможно, вам стоит
рассмотреть мое предложение о том, как определять победителя в вы-
борах.
У меня в Стикивилле есть друг, его зовут Стэн. Я предлагаю, что-
бы для определения результата выборов проголосовали все граждане;
это вполне справедливо. Но я думаю, что после того, как голосование
окончилось, победителем должен быть признан тот кандидат, за ко-
торого проголосовал Стэн, вне зависимости от того, как голосовали
остальные.
Вопрос 1.2*. Предположим, что все ioi гражданин Стикивилля
пришли на избирательные участки в день выборов. Если юо из них
проголосовали за Довелла, а Стэн проголосовал за Штуцман (свою
подругу), то кто победит на выборах согласно методу, описанному
в предыдущем параграфе?
Ваш ответ на этот вопрос, вероятно, убедил вас в том, что предло-
женный мною метод определения победителя в выборах мэра в Сти-
кивилле вовсе не справедлив. В конце концов он совпадает с дикта-
турой, которая не очень демократична по определению. Как вы мог-
ли заметить, основной недостаток диктатуры состоит в том, что отно-
сительно нее нельзя считать всех избирателей равными. Вы согласны
с тем, что мой метод выделяет Стэна (диктатора) довольно особен-
ным образом?
Позвольте мне предложить еще один вариант: Довелл побеждает,
независимо от того, как голосуют граждане (включая Стэна).
Вопрос 1.3*. Можно ли считать всех избирателей равными отно-
сительно метода «Довелл побеждает»? Объясните ваш ответ.
Несмотря на то, как вы ответили на последний вопрос, вам,
возможно, не покажется, что этот второй метод хоть чем-либо лучше
предыдущего. Собственно говоря, предложенный мною метод (когда
Довелла объявляют победителем вне зависимости от того, как голо-
совали избиратели) носит довольно неприятное для слуха название
правило навязанного выбора. В правиле навязанного выбора результат
полностью предрешен еще до того, как выборы прошли. В отличие от
диктатуры, когда учитывается хотя бы голос диктатора, в правиле на-
вязанного выбора не играют роли ничьи голоса. Поскольку результат
известен заранее, правило подвержено другому недостатку, нежели
диктатура — относительно него не равны кандидаты. Мало сказать,
что у Довелла есть преимущество в описанных выше выборах —он
просто не может проиграть, даже если все проголосуют за Штуцман.
| * Вопросы со звездочкой предназначены для того, чтобы помочь оценить, насколь- ко вы разобрались в основных понятиях и определениях, прежде чем вы перейдете к более сложному материалу. Частичные или полные ответы на эти вопросы приведе- ны в конце каждой главы, мы предлагаем вам использовать эти ответы для контроля вашей работы. *2 лист, Матем. выборов |
Позвольте мне предложить еще одну схему для определения по-
бедителя на выборах мэра Стикивилля: каждый избиратель опускает
бюллетень за того кандидата, которого он хочет видеть победителем
в выборах. Затем подсчитываются голоса за каждого из кандидатов,
и тот из них, кто набрал наименьшее число голосов, будет объявлен
победителем. (Неудивительно, что этот метод назьш | правилом
меньшинства.)
Вопрос 1.4*. Предположим теперь, что опять всг к я гражданин
Стикивилля пришли на избирательные участки, при этом юо чело-
век проголосовали за Довелла и i (Стэн) — за Штуцм.ш. Кто победит
согласно правилу меньшинства?
Вопрос 1.5*. Предположим, что Стэн убедил 50 из юо голосовав-
ших за Довелла изменить свое мнение и проголосовать за Штуцман.
Кто победит согласно правилу меньшинства в этом случае?
Вопрос 1.6*. Равны ли все избиратели относительно этого пра-
вила? Равны ли все кандидаты относительно этого правила? Объяс-
ните ваш ответ.
Вопрос 1.7. Повышаются или понижаются шансы кандидата, ес-
ли он получает дополнительные голоса, когда принято правило мень-
шинства? Объясните ваш ответ.
Анонимность, нейтральность и монотонность
В предыдущем разделе мы рассмотрели три различных метода
определения победителя на выборах мэра в Стикивилле. Такие мето-
ды обычно называют избирательными системами. При этом важно
заметить, что эта терминология относится не только к способу, по
которому подаются голоса на отдельно взятых выборах, но также
к способу, по которому определяется победитель на выборах исходя
из набора индивидуальных бюллетеней.
Один из способов оценить справедливость данной избирательной
системы—указать некоторые желаемые свойства, которыми, по на-
шему мнению, должна обладать система, а затем выяснить, обладает
ли она в действительности этими свойствами. Напомним, что мы де-
лали это для каждой из трех рассмотренных в предыдущем разделе
избирательных систем. На самом деле свойства, которые мы указали,
хорошо известны; для них есть точные названия и определения, кото-
рые мы сейчас приведем.
Определение 1.8.
• Избирательная система называется анонимной, если относитель-
но нее все избиратели равны. Это означает, что если любые два
избирателя обменяются бюллетенями, исход выборов останется
прежним.
• Избирательная система называется нейтральной, если относи-
тельно нее оба кандидата равны. Это означает, что если каждый
избиратель изменит свой выбор в пользу другого кандидата, ре-
зультат выборов изменится соответственно — победивший канди-
дат проиграет, а проигравший кандидат победит. (А в случае
равного распределения голосов изменение выбора каждого из-
бирателя никак не повлияет на исход выборов.)
• Избирательная система называется монотонной, если победив-
ший кандидат не сможет проиграть, получив дополнительные
голоса (и не потеряв уже имеющиеся), а проигравший кандидат
не сможет победить, потеряв голоса (и не получив новые).
Вопрос 1.9*. Предположим, трое детей, Зоэ, Эмма и Каден, хо-
тят решить, кто из их родителей — Паоло или Карина—должен плани-
|ювать ближайший семейный отпуск. Чтобы принять такое решение,
они договорились провести выборы согласно избирательной системе,
придуманной их другом Кларком (который, кстати, в прошлый раз
ко время семейного отпуска ездил в Диснейленд). В таблице i.i пере-
числены три из возможных комбинаций голосов Зоэ, Эммы и Кадена,
а также исход выборов, который предусмотрен избирательной систе-
мой Кларка для каждой комбинации. (В таблице П означает голос за
Паоло, а К—за Карину.)
Таблица i.i
Результаты голосования согласно избирательной системе Кларка
| Зоэ | Эмма | Каден | Победитель |
| П | К | К | П |
| П | П | К | К |
| К | К | П | К |
(а) Каким из трех свойств, перечисленных в определении 1.8, об-
ладает избирательная система Кларка? Объясните ваш ответ.
(б) Эквивалентна ли избирательная система Кларка какой-нибудь
из трех рассмотренных нами избирательных систем? Почему?
Вопрос i.io*. Предположим, вы хотите привести пример, ко-
торый убедит вашего друга, что некоторая избирательная система
не анонимна. Какими особенностями, в соответствии с определени-
ем 1.8, должен обладать ваш пример?
Вопрос i.ii. Используйте ваш ответ на вопрос i.io, чтобы четко
объяснить, почему диктатура не анонимна.
Вопрос i.i2. Четко объясните, почему диктатура нейтральна и
монотонна.
Вопрос 1.13. Каким из трех свойств, перечне кчшмх в определе-
нии 1.8, удовлетворяет правило навязанного выбора? Каким не удо-
влетворяет? Приведите убедительные доводы, подтверждающие ва-
ши ответы.
Вопрос 1.14. Каким из трех свойств, перечисли нш IX в определе-
нии 1.8, удовлетворяет правило меньшинства? Каким не удовлетворя-
ет? Приведите убедительные доводы, подтверждающие ваши ответы.
Вопрос 1.15. Систематизируйте свойства всех трех избиратель-
ных систем, которые мы рассмотрели к этому моменту, заполнив сле-
дующую таблицу:
| Анонимность | Нейтральность | Монотонность | |
| Диктатура | Нет | Да | Да |
| Правило навязанного выбора | |||
| Правило меньшинства |
Правило большинства и теорема Мэя
К этому времени у вас могло возникнуть ощущение, что мы уже
достаточно долго кружим около главной темы. В некотором смысле,
вы правы. Мы до сих пор не только не нашли совершенной избира-
тельной системы для выборов мэра в Стикивилле, но даже не рассмот-
рели самого очевидного решения.
Если только вы не хотели показаться оригиналом, ваш ответ на
вопрос-разминку i.i был приблизительно таким: каждый из граждан
Стикивилля должен отдать голос либо за Довелла, либо за Штуцман.
После этого нужно подсчитать голоса за каждого из кандидатов, и тот
из них, кто получил наибольшее число голосов, должен быть объяв-
лен победителем. Если вы особенно проницательны, вы, возможно,
добавили замечание о том, как разрешается вопрос в случае равного
распределения голосов. Пока нас это не будет беспокоить. Мы просто
примем соглашение, что если голоса распределятся поровну, то будет
применена отдельная дополнительная процедура.
Как бы то ни было, избирательная система, описанная в преды-
дущем абзаце, известна как правило большинства. Кажется очевид-
ным, что правило большинства гораздо более разумно, чем любая из
рассмотренных нами систем. А как обстоят дела с тремя желаемыми
условиями, которые мы обсудили — анонимностью, нейтральностью
и монотонностью? Оказывается, правило большинства удовлетворяет
им всем!
Вопрос i.i6. Запишите ясное и точное объяснение, почему пра-
вило большинства анонимно, нейтрально и монотонно.
Итак, в конце концов мы нашли избирательную систему, исполь-
зование которой кажется вполне допустимым, по крайней мере, она
удовлетворяет разумно определенным стандартам. Теперь возникает
тественный вопрос: существуют ли другие (кроме правила боль-
шинства) избирательные системы для выборов с двумя кандидата-
ми, которые также удовлетворяют этим стандартам? Оказывается,
н 1952 г. математик Кеннет Мэй ответил на этот вопрос в статье,
содержащей следующую теорему:
Теорема Мэя. В случае выборов, в которых участвуют два кан-
дидата и нечетное число избирателей, правило большинства —един-
ственная избирательная система, которая анонимна, нейтральна,
монотонна и не допускает возможности равного распределения го-
лосов.
Вопрос 1.17. Почему в случае выборов с двумя кандидатами осо-
бенно важно, чтобы избирательная система не допускала возможно-
сти равного распределения голосов?
На самом деле теорема Мэя — простое следствие другой теоремы,
| носящейся к системам с квотами, которые мы рассмотрим ниже.
Системы с квотой
Определение 1.18. Избирательная система называется систе-
мой с квотой, если существует некоторое число q, называемое кво-
той, такое, что кандидат может быть объявлен победителем в выбо-
рах, если и только если он(а) получает по меньшей мере q голосов.
Следует сделать несколько замечаний.
• В математике выражение «если и только если» имеет специаль-
ный смысл. В приведенном выше определении оно означает, что
- если кандидат получит не менее q голосов, то он будет объявлен
победителем в выборах;
- если кандидат не получит не менее q голосов, то он не будет
объявлен победителем в выборах.
• Когда для выборов с двумя кандидатами принята система с кво-
той, может случиться так, что на выборах окажутся два победи-
теля (если оба кандидата достигли квоты) или два проигравших
(если ни один из кандидатов не достиг квоты). В любом из этих
случаев должна быть применена отдельная процедура.
• Важно заметить, что в системе с квотой сама 119га может зави-
сеть от числа проголосовавших избирав \ci\. Например, в шта-
те Флорида любое предложение ввести новые налоги или пошли-
ны должно быть одобрено двумя трет м | овавших. Та-
ким образом, если 900 граждан Флориды принят участие в голо-
совании по этому предложению, то для того, чтобИ оно было при-
нято, требуется боо «Да»; значит, квота системы будет равна боо.
Но если проголосовали 900000 граждан Флориды, то квота систе-
мы будет равна боо ооо, а не боо.
Вопрос 1.19*. Предположим, что граждан** гикивилля решили
использовать систему с квотой для выборов hohoi о мэра Каким будет
результат выборов в каждом из следующих сценариев?
(а) Квота = 51; Довелл получил 51 голос, а Штуцман — 50.
(б) Квота = 40; Довелл получил 51 голос, а Штуцман —50.
(в) Квота = 6о; Довелл получил 51 голос, а Штуцман —50.
(г) Квота = ioi; Довелл получил юо голосов, а Штуцман — i.
(д) Квота = о; другой информации нет.
Вопрос 1.20*. Можно ли назвать избирательную систему Кларка
из вопроса 1.9 системой с квотой? Объясните ваш ответ.
Вопрос i.2i. Какие из четырех рассмотренных нами избиратель-
ных систем (диктатура, правило навязанного выбора, правило мень-
шинства, правило большинства) являются системами с квотой? При-
ведите убедительные доводы, подтверждающие ваш ответ для каждой
системы.
Теперь мы готовы рассмотреть следующую теорему, из которой
вытекает теорема Мэя.
Теорема 1.22. Если избирательная система на выборах с двумя
кандидатами анонимна, нейтральна и монотонна, то это система
с квотой.
Доказывать утверждение вроде теоремы 1.22 —все равно, что рас-
путывать детективную историю. Наш подозреваемый, неизвестная
избирательная система, которую мы обозначим V, оставил за собой
улики, которые позволят нам сделать заключение, что вне всяких
сомнений, У—действительно система с квотой. Первые три улики
состоят в том, что V анонимна, нейтральна и монотонна. Кроме
того, нам известно, что для любой комбинации голосов в выборах с
двумя кандидатами V должна позволять нам точно определить, какой
кандидат (или кандидаты) побеждает. (Собственно говоря, для этого
п предназначена избирательная система.) Помня об этом, все, что мы
| жны сделать, — задать V нужные вопросы. Ответы на них помогут
определить величину, которая может служить квотой для V. Как
i ко мы найдем эту потенциальную квоту, скажем, q, нам останется
только убедиться, что V—не просто произвольная избирательная сис-
тема, а на самом деле система с квотой, равной q.
Следующий вопрос относится к тому, какую информацию мож-
но попытаться извлечь из V, и как использовать эту информацию для
ЯЛ ккания возможной квоты системы V.
Вопрос 1.23. Предположим, что для выборов с двумя кандидата-
ми, Джен и Брайаном, вам известно следующее о системе V. (Пусть
Джоэль и Грейс—двое из многих избирателей, принявших участие
и выборах.)
• Рели никто не проголосовал за Джен, то согласно V Джен не будет
выбрана победителем.
• ВС in только Джоэль проголосовал за Джен, то согласно V Джен не
(>\<)ст выбрана победителем.
• I «л и Джоэль и Грейс проголосовали за Джен, то согласно V Джен
6v<Vm выбрана победителем.
Используя только эту информацию и тот факт, что V анонимна,
I ральна и монотонна, можете ли вы заключить, что V — система
с квотой? Если это так, то чему может быть равна квота? Приведи-
ie убедительные доводы, чтобы подтвердить ваш ответ. Будьте гото-
клзать точно, в каком месте ваших рассуждений вы использова-
| чдое из свойств анонимности, нейтральности и монотонности.
казка. Возможно, вы захотите вернуться и внимательно перечи-
III определение 1.18.)
Вопрос 1.23 показывает, что как только мы извлекли необходимую
информацию, V начинает сильно напоминать систему с квотой. Ко-
|ю же, в этом вопросе вся нужная информация была нам препод-
1HI блюдечке с голубой каемочкой. Мы не можем ожидать, что
• \ м настолько удачливы всегда, но, как мы уже заметили, мы мо-
• I 1ити всю нужную информацию, просто задавая V правильные
вопросы.
Вопрос 1.24*. Рассмотрим выборы, в которых участвуют два
| in \\\ *лта, А и В, и п избирателей, которых мы обозначим r19 v2, v3,...
1,, (Ламетьте, что п обозначает некоторое произвольное число
и »оирл гелей.) Предположим, что мы задали V следующую последова-
и Him* ть вопросов относительно выборов:
• Если никто не проголосует за кандидата А, будет ли он объявлен
победителем?
• Если только Vj проголосует за кандидата > \%г ш он объявлен
победителем?
• Если Vj и v2 проголосуют за кандид п а \ у\< i in он объявлен
победителем?
• Если v2 и v3 проголосуют за кандидата /\, оудг i ли он объявлен
победителем?
• Если v2, v3,..., vn_j и vn проголосуют за кандидата Л, будет ли он
объявлен победителем?
Объясните, как можно использовать и мы системы V на эти во-
просы, чтобы определить величину, которая может служить квотой
для V. Можно ли определить эту возможную квоту, не задавая всех
этих вопросов? Почему?
Вопрос 1.25*. Предположим, что метод, предложенный в вопро-
се 1.24, был использован для того, чтобы определить возможную
квоту, скажем, q, для V. Объясните четко, почему каждое из следу-
ющих утверждений должно быть истинным В ваших ответах должен
использоваться тот факт, что V анонимна, нейтральна и монотонна.
(а) Если ровно q избирателей (неважно, кто именно) проголосу-
ют за кандидата А, то согласно системе V он будет объявлен победи-
телем.
(б) Если больше q избирателей (неважно, кто именно) проголосу-
ют за кандидата А, то согласно системе V он будет объявлен победи-
телем.
(в) Если ровно q — i избирателей (неважно, кто именно) прого-
лосуют за кандидата А, то согласно системе V он не будет объявлен
победителем.
(г) Если меньше q — i избирателей (неважно, кто именно) прого-
лосуют за кандидата Л, то согласно системе V он не будет объявлен
победителем.
(д) Все перечисленные выше заключения применимы и к канди-
дату В.
Вопрос 1.26. Используйте ваши отвеуы на вопросы 1.24 и 1.25,
чтобы четко объяснить, почему теорема 1.22 справедлива. Другими
словами, объясните, почему в выборах с двумя кандидатами любая
анонимная, нейтральная и монотонная избирательная система долж-
на быть системой с квотой
Вернемся к теореме Мэя
Теперь, когда мы понимаем, в чем смысл теоремы 1.22 и почему
Ьна верна, мы можем, наконец, приступить к теореме Мэя. Напом-
дам, что в теореме 1.22 утверждается, что в выборах с двумя кандида-
тами любая анонимная, нейтральная и монотонная система должна
Гбыть системой с квотой. (Кстати, нетрудно видеть, что обратное к это-
му утверждению тоже верно; т. е. любая система с квотой в действи-
тельности анонимна, нейтральна и монотонна.) Теорема Мэя говорит
нам, что если мы дополнительно предположим, что число избирате-
лей нечетно и что ничейный исход недопустим, то система не толь-
ко должна быть системой с квотой, но даже должна совпадать с пра-
вилом большинства. Таким образом, мы докажем теорему Мэя, если
убедимся, что для выборов с двумя кандидатами и нечетным числом
избирателей правило большинства — это единственная система, кото-
рая исключает ничейный результат.
Вопрос 1.27*. Предположим, что в выборах с двумя кандидатами
и п избирателями используется правило большинства (система с кво-
той). Опишите, как найти квоту в этом случае. (Подсказка. Этот во-
прос гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Вы уже очень мно-
го знаете о правиле большинства, так что используйте вашу интуи-
цию и не забывайте, что квота должна быть целым числом.)
Теперь мы докажем, что для нечетного числа избирателей един-
ственная система с квотой, исключающая ничейный результат — это
система с квотой, которую вы нашли в вопросе 1.27.
Вопрос 1.28*. Предположим, что на выборах с двумя кандидата-
ми используется система с квотой q. Пусть а и Ъ обозначают число
голосов, набранных двумя кандидатами АиВ соответственно.
(а) Как а и Ъ должны соотноситься с q, чтобы выборы кончились
ничейным результатом?
(б) Как а и Ъ должны соотноситься с q, чтобы выборы не кончи-
лись ничейным результатом?
Вопрос 1.29. (а) Предположим, что на выборах с двумя кандида-
тами и п избирателями используется система с квотой q.
(б) Предположим, что q больше, чем квота, которую вы нашли для
правила большинства в вопросе 1.27. Приведите пример, который по-
казывает, что в таком случае выборы допускают ничейный результат.
(в) Повторение пункта (а), только на этот раз в предположении,
что q меньше квоты для правила большинства.
(г) Предположим, что п четно и что q в тчиости равно квоте, ко-
торую вы нашли для правила большинства и шоы] ЮО I т. Приведите
пример, который показывает, что в таком случае имборм допускают
ничейный результат.
(д) Предположим, что п нечетно и чю <; i тмтм m равно квоте
для правила большинства. Объясните, почему а таком случае выборы
не могут окончиться ничьей.
Вопрос 1.30. Подведите итог всему и»\ч< нн<>м\ и пом разделе,
написав четкое объяснение того, как теорема 1.22 влечет теорему
Мэя. То есть объясните, как теорема Mjh \ • • i и » теоремы 1.22.
Вопрос 1.31. (а) Существует ли систем* с квотой для выборов
с двумя кандидатами, которая исключает возможность ничейного
исхода, когда избирателей—четное число.
(б) Объясните, почему предположение <> и .м, Ч и > «тело избирате-
лей нечетно, — существенная часть теоремы М ж.
Вопросы для дальнейшем! раГюты
Вопрос 1.32. Мы хотели бы, чтобы иаоира пильные системы удо-
влетворяли некоторым желательным условиям, и в :>той главе мы их
обсуждали. Придумайте еще какое-нибудь желательное условие, ко-
торое мы не обсуждали, и объясните, почему вы считаете, что будет
хорошо, если избирательная система будет ему удовлетворять.
Вопрос 1.33. Пастор церкви Long Winds прочитал однажды осо-
бенно длинную проповедь, после чего паства поставила на голосова-
ние вопрос о его отзыве. Если две трети голосующих проголосуют за
отзыв, то пастора понизят до дворника, а дворника повысят до пас-
тора. В противном случае пастор по-прежнему будет проповедовать,
а дворник —мести двор.
(а) Объясните, почему процедуру подведения итогов такого голо-
сования можно рассматривать как систему с квотой в соответствии
с определением, данным в этой главе.
(б) Предположим, что супруги Грег и Гейл, не сговариваясь, про-
голосовали в церкви по-разному, причем Грег голосовал за отзыв пас-
тора, а Гейл — против. Когда они узнали об этом, Грег сказал Гейл: «Ну
и ладно, я думаю, наши голоса взаимоуничтожаются!» Прав ли Грег,
или все-таки противоположные голоса его самого и его жены могут
повлиять на результат? Приведите убедительный довод или пример,
подтверждающий ваш ответ.
Ответы на вопросы 27
Вопрос 1.34. Напишите краткую биографию Кеннета Мэя и вклю-
чите в нее его основные достижения и в теории избирательных си-
стем и за ее пределами.
Вопрос 1.35. Если в выборах президента Соединенных Штатов
участвуют только два кандидата, то определяет ли правило большин-
ства победителя на выборах? Объясните ваш ответ.
Вопрос 1.36. Если в выборах президента Соединенных Штатов
участвуют только два кандидата, то определяет ли правило большин-
ства победителя на выборах в Мичигане? А в Небраске? Объясните
ваш ответ.
Вопрос 1.37. Исследуйте результаты выборов президента США в
1876 г. Напишите отчет о ваших изысканиях и объясните, как эти ре-
зультаты соотносятся с нашим исследованием правила большинства.
Вопрос 1.38. (а) Если бы конгресс США проводил голосование
• целью преодолеть вето президента, то определяло ли бы правило
большинства, закончится эта попытка успехом или нет? Объясните
ваш ответ
(б) Если бы конгресс США проводил голосование с целью преодо-
леть вето президента, то определяла ли бы система с квотой, закон-
чится эта попытка успехом или нет? Если да, чему была бы равна кво-
та системы?
Вопрос 1.39. Найдите журнал, газету или сайт в Интернете, где
описаны выборы с двумя кандидатами (но не выборы президента
США), в которых победитель определяется по правилу большинства.
Запишите подробный отчет о ваших изысканиях.
Вопрос 1.40. Найдите журнал, газету или сайт в Интернете, где
описаны выборы с двумя кандидатами (но не выборы президента
США), в которых победитель не определяется по правилу болыиин-
тва. Запишите подробный отчет о ваших изысканиях.
Вопрос 1.41. Исследуйте процесс избрания папы в римской ка-
толической церкви. Кто кандидаты? Кто голосует? Избирают ли папу
по правилу большинства? Запишите подробный отчет о ваших изыс-
каниях.
Ответы на вопросы
1.2. Поскольку учитывается лишь голос Стэна, победит Штуцман.
1.3. Относительно метода «Довелл побеждает» все избиратели
равны, поскольку в нем не учитываются ничьи голоса.
1.4. Штуцман победит, поскол! 1 р » и мгш.ше голосов,
чем Довелл.
1-9- (а) Ни одно из трех условий и< >! н гпор*я 1 с*. Первые две
строки табл. i.i показывают, что система 1 1 Ч»» И монотонна; пер-
вая и третья — что она не анонимна, а ш »• — • н не ней-
тральна.
(б) Система Кларка не эквивалента дш 1 а 1 ур« н<м к- 1ьку ни про
Зоэ, ни про Эмму, ни про Кадена не п \ i • i и т , что иеход выборов
всегда совпадает с их мнением. Кроме гог< • , она н» •книвалентна пра-
вилу навязанного выбора, поскольку дли pa i омоинаций голосов
победитель не всегда одинаковый. И наконец, Система Кларка не эк-
вивалентна правилу меньшинства, поею па п '| г й троке Паоло
набирает меньше голосов, чем Карен, однако пег равно проигрывает.
i.io. В вашем примере должны быть прщдстаамш две комбина-
ции голосов, которые отличаются друг • п др; • i» м, что поме-
нялись местами индивидуальные гол i I не и 11, но тем не
менее приводят к различным результатам вь I | *
1.15. Таблица может быть заполнена гаким обрааом:
| Анонимность | Петра панн*п. | М нотонность | |
| Диктатура | Нет | Да | Да |
| Правило навязанного выбора | Да | I lar | Да |
| Правило меньшинства | Да | Да | Нет |
1.19. (а) Довелл победит (а Штуцман проиграет), поскольку толь-
ко Довелл наберет голосов не меньше, чем квота.
(б) Между Довелл ом и Штуцман будет ничья, поскольку оба они
наберут больше голосов, чем квота, и оба будут объявлены победите-
лями.
(в) Между Довеллом и Штуцман будет ничья, поскольку оба они
наберут меньше голосов, чем квота, и оба будут объявлены проиграв-
шими.
(г) Между Довеллом и Штуцман будет ничья, поскольку оба они
наберут меньше голосов, чем квота, и оба будут объявлены проиграв-
шими.
(д) Между Довеллом и Штуцман будет ничья, поскольку вне зави-
симости от того, сколько голосов они наберут, оба они достигнут или
даже превысят квоту, а значит, будут объявлены победителями.
Ответы на вопросы
i.20. Избирательная система Кларка не может быть системой
с квотой. Есть только 4 возможности для квоты: о, i, 2 и з. Если
бы квота была равна о или i, то в соответствии с табл. i.i, все три
комбинации голосов приводили бы к ничьей. Если бы квота была
равна 2, то Карина бы побеждала (а Паоло проигрывал) в первой
строке, а Паоло побеждал (и Карина проигрывала) во второй строке.
Если же квота была бы равна з, то ни одна комбинация не определяла
бы победителя.
1.24. Первый вопрос, на который V отвечает «да», будет соответ-
ствовать квоте системы. Например, если V отвечает «да» на первый
вопрос, то квота будет равна о, и избирательная система всегда будет
приводить к ничьей, когда оба кандидата признаются победителями.
Но если V отвечает «нет» на первый вопрос и «да» на второй, то квота
пудет равна i. Если V отвечает «нет» на все вопросы, то квотой мо-
жет быть любое число больше п. В этом случае система всегда будет
приводить к ничьей, когда никто не признан победителем.
1.25. В ответах на пункты (а) и (в) должна быть использована ано-
нимность, в ответах на пункты (б) и (г) — монотонность, в ответе на
пункт (д) — нейтральность.
1.27. Если п четно, то квота для правила большинства равна
(n/2) + i. Если п нечетно, то квоту можно определить, вычислив п/2
и округлив до ближайшего большего целого числа.
1.28. (а) Для того, чтобы выборы окончились ничьей, либо и а
и Ъ должны быть больше или равны q, либо и а, и Ъ должны быть
меньше q.
(б) Для того, чтобы выборы не окончились ничьей, одно из чи-
сел а и Ъ должно быть больше или равно q, а другое — меньше q.
Глава ©
Перо, Нейдер и другие затруднения
Центральные вопросы
• В чем состоит правило относительного большинства для определения по-
бедителя в выборах? Чем оно отличается от правила большинства?
• Что представляет собой правило Борда? Как оно определено и когда обыч-
но используется?
• В чем состоит критерий большинства? Удовлетворяет ли ему относитель-
ное большинство? А правило Борда?
• Как связаны относительное большинство и правило Борда с теоремой
Мэя?
Вопрос-разминка 2.1. Итог голосования в штате Флорида во
время выборов президента США в 2000 г. приведен в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Выборы президента США во Флориде в 2000 г.
| Кандидат | Число голосов |
| Джордж Буш Ал Гор Ральф Нейдер Другие кандидаты | 2 912 790 2912253 97488 40 579 |
(а) Набрал ли кто-нибудь из кандидатов большинство (т. е. боль-
ше половины) голосов на этих выборах?