Раздел 4. Функции нескольких переменных и дифференциальные уравнения.

Функции нескольких переменных.Функции двух переменных, их геометрическое изображение, линии уровня. Окрестность точки на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости.Непрерывность функции двух переменных. Частное и полное приращение функции.

Непрерывность функции в точке и в области. Частные производные первого порядка. Геометрический смысл частных производных первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции двух переменных. Теорема о представлении полного дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости значения производной от порядка дифференцирования. Признак полного дифференциала. Экстремум функции двух переменных, точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Критические точки. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум.Применение частных производных в экономике.

Дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение, его порядок. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения, интегральная кривая. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, нормальная форма. Задача Коши, начальные условия. Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема о представлении общего решения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общие понятия. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение. Линейно зависимые решения. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения в экономике.

Вопросы и задачи для самостоятельной работы 1. Пусть даны два множества: Найти . 2. Даны два множества: . Какое из них является подмножеством другого? 3. Из сегмента[-3, 5] удален интервал (-3, 5). Что осталось? 4. Какова наибольшая окрестность нуля, содержащаяся в промежутке [-6, 5]? 5.Указать на числовой оси множества, заданные неравенствами: . 6. Какие значения удовлетворяют одновременно неравенствам ? 7. Дана функция . Найти . 8. Дана функция . Доказать, что 9. Построить график функции   10. Найти область определения функций: 11. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными: .

12. Пользуясь определением предела числовой последовательности на языке

« », доказать, что последовательность - бесконечно

малая. Каково должно быть N, если ?

13. Является ли последовательность сходящейся?

14. Какие из точек x = - 2, x = 3, x = 5, x = 5,2 являются

предельными точками множества ?

15. Является ли функция бесконечно малой

при ?

16. Определить существует ли предел следующих функций:

при ;

при .

17.Непрерывна ли функция на [-2,2]?

18. Почему можно утверждать, что функция

непрерывна на множестве R?

19. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют

следующие функции:

,

.

20. Доопределить функцию в точке х=0 таким образом,

чтобы она стала непрерывной в этой точке.

21. Найти точки разрыва функции . Построить график этой

функции.

22.Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также

разрывная функция? Проверить это на примере .

23. Пользуясь определением производной, найти производные

следующих функций:

a. ;

b. ;

c. .

24. На параболе есть такая точка, в которой касательная наклонена к положительному направлению оси ОХ под углом 60⁰. Найти эту точку. Составить уравнение касательной.

25. Найти дифференциалы следующих функций:

d. ,

e. ,

f. .

26. Найти приближенно значение функций:

g. при х = 3,015;

h. при х = 1,001.

27. На сколько уменьшится величина степени 3⁴, если основание

уменьшится на 0,0063?

28.Показать, что функция не является дифференцируемой

в точке х = 0.

29. Убедиться, что , но он не может быть вычислен

с помощью правила Лопиталя. Почему?

30. В формуле Лагранжа о конечном приращении функции

определить значение с: на отрезке [0,2].

31. Можно ли на отрезке [-1,1] применить к функции

теорему Роля; теорему Лагранжа?

32. Доказать тождество при .

33. Может ли значение функции в точке локального максимума

быть меньше значения функции в точке локального минимума?

34. Может ли монотонная функция иметь экстремум?

35. Может ли функция иметь экстремум в точке, в которой она

имеет перегиб?

36. Может ли иметь асимптоты и какие график ограниченной

функции?

37. Может ли иметь асимптоты и какие график функции, заданной

на ограниченном промежутке?

38. При каких значениях a и b точка (1;3) является точкой

перегиба графика функции ?

39. Исследовать сходимость знакопостоянных рядов:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

40. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) ;

j) .

41. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

.

42.Определить порядок дифференциального уравнения:

а) ;

b) ;

c) .

43.Найти дифференциальное уравнение, для которого функция

является общим решением.

44. Найти дифференциальное уравнение , для которого функция является общим решением.

45. Найти дифференциальное уравнение , для которого функция является общим решением.

46. Дано общее решение дифференциального уравнения.

. Найти частные решения в случае:

а) ;

b) ;

c) .

47. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

а) ;

b) ;

c) .

48. Решить неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

49. Решить задачу Коши:

a) (0,0);

b) (1,5);

c) ( ,1);

d) (0,1);

e) (-1,1;

f) ( ,1).

50. Показать, что заданная функция является решением (общим решением) дифференциального уравнения:

a) : .

b) : .

51. Является ли функция общим решением дифференциального уравнения?

a) : ;

b) : ;

c) : .