ІІ. Функції багатьох змінних
I. Інтеграли
1. Означення первісної функції.
Функція 
називається первісною функції 
на інтервалі 
, якщо для будь-кого 
виконується рівність
2. Властивість первісних функції.
Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де C довільна стала
3. Означення невизначеного інтегралу.
Множина всіх первісних функцій 
для називається невизначеним інтегралом від функції і позначається символом 
4. Властивості невизначеного інтегралу.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Формула заміни змінної у невизначеному інтегралі.
6. Табличні інтеграли.
7. Означення інтегральної суми.
Сума вигляду 
називається інтегральною сумоюфункції 
на відрізку 
8. Геометричний зміст інтегральної суми.
Нехай функція f(x) для всіх значень аргументу xÎ[a,b] є додатною. Тоді інтегральна сума представляє собою сумарну площу прямокутників S1,…,Si,…,Sn. Визначений інтеграл у цьому випадку дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими y=0, x=a, x=b та y=f(x).
9. Визначений інтеграл (означення).
Якщо інтегральна сума 
має границю, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка 
на частинні відрізки, ні від вибору точок в них, то вона називається визначеним інтеграломвід функції 
на відрізку і позначається 
.
10. Чим відрізняються невизначений і визначений інтеграли.
Невизначений інтеграл – множина функцій, а визначений – число яке отримується в границі інтегральної суми
11. Геометричний зміст визначеного інтегралу.
де S- площа фігури, обмеженої графіком функції y = f(x) і прямими х = а, х = b і y = 0.
12. Властивості визначеного інтегралу.
1. 
2. 
3. 
4. 
13. Теорема про середнє.
Якщо функція 
неперервна на відрізку 
, то існує точка 
така, що
.
14. Інтеграл зі змінною верхньою межею.
15. Достатня умова інтегровності функції.
Якщо функція неперервна на відрізку , то визначений інтеграл 
існує.Відзначимо, що неперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості.
16. Властивості інтегралу зі змінною верхньою межею.
Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.
17. Теорема Ньютона – Лейбніца.
Якщо функція неперервна на відрізку і 
— яка-небудь її первісна, то має місце формула
.
18. Формула інтегрування частинами.
19. Заміна змінної у визначеному інтегралі.
20. Означення раціонального дробу.
раціональним дробом називається функція, рівна відношенню двох многочленів, тобто 
21. Інтегрування раціональних дробів.
1.Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу;
2.Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;
3.Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.
22. Інтегрування деяких видів ірраціональностей.
1. 
2. 
3. 
23. Геометричне застосування визначеного інтегралу (площі фігур).
1. площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» за вісь абсцис ( 
), 
2. криволінійна трапеція розташована «нижче» осі 
, 
.
3. криволінійна трапеція обмежена кривою заданою параметрично прямими 
, 
і віссю 
, 
24. Обєм тіла обертання.
25. Економічний зміст визначеного інтегралу.
Якщо f(t) – продуктивність праці в момент t, то 
= 
– обсяг продукції, яка випускається за проміжок часу [0; T].
26. Розподіл доходів (крива Лоренца).
 |
27. Невласні інтеграли.
скінченну границю 
, називають невласним інтеграломі позначають 
.
28. Невласні інтеграли з нескінченими межами.
29. Невласні інтеграли з необмеженими функціями.
30. Інтегрування тригонометричних функцій.
Розглянемо òR(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл òR(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії òR*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.
ІІ. Функції багатьох змінних
1. Функція багатьох змінних.
Відповідність 
, яка кожній парі чисел ставить у відповідність одне і лише одне число, називається функцією багатьох змінних, визначеною на множині 
із значеннями в 
, і записується у вигляді 
2. Лінійна функція багатьох змінних.
Функція в якій Z= a1x1+a2 x2+…+an xn
3. Квадратична функція багатьох змінних.
Z= 
4. Функції корисності.
U= u(x1,x2,….xn) – показує залежність корисності u від набору товарів Х
5. Виробничі функції.
Z= f(x1,x2,….xn) – обсяг випуску залежить від кількості факторів виробництва
6. Графік функції двох змінних.
функцію двох змінних можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат
7. Лінія рівня функції двох змінних.
Лінією рівня функції від двох змінних 
називається множина точок площин xOy таких, що 
8. Лінія рівня виробничої функції.
F(x,y) = c – кожна точка цієї кривої показує таку комбінацію факторів виробництва х за яких випуск є незмінним
9. Лінія рівня функції корисності.
U= u(x,y) – набір товарів від споживання яких споживальник отримує одинакову корисність
10. Лінія рівня функції витрат.
С= аx+by, c= wxx+wyy – такі комбінації ресурсів х та у за яких витрати одинакові.
11. Лінія рівня функції прибутку.
П = p*f(x,y) – комбінація ресурсів за яких прибуток буде одинаковий
12. Границя функції двох змінних.
називається границею функції при 
при 
,якщо для будь-якого 
існує таке 
, що для всіх 
і 
задовольняють нерівність 
виконується нерівність 
.
13. Неперервність функції.
Функція називається неперервною в точці 
, якщо вона:
а) визначена в цій точці і деякому її околі;
б) має границю 
;
в) ця границя рівна значенню функції 
в точці 
, тобто
або 
.
14. Диференціал функції.
Диференціалом функції f (x) у точці x0 звуть головну, лінійну щодо дельтаХ частину приросту диференційовної функції f (x)
15. Диференційовність функції в точці.
Функція 
називається диференційовною в точці 
, якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді 
16. Достатня умова диференційовності функції.
Якщо функція має неперервні частинні похідні 
і 
в точці , то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою 
17. Похідна за напрямком.
Похідною функцію f(x,y,z) по напряму l в точці М0 називається границя 
18. Властивості похідної за напрямом.
Лінійність, Тотожність Лейбніца, Розкладання повної варіації за частинними похідним,
19. Означення градієнта функції.
Градієнт функції це міра зростання величини на одиницю довжини
20. Частинні похідні другого порядку функції двох змінних.
Функції від 
називаються частинними похідними другого порядку, якщо вони позначаються таким чином:
21. Матриця Гессе функції двох змінних.
22. Матриця Гессе функції трьох змінних.
23. Властивості мішаних похідних.
Мішана похідна f_(yx) існує в двомірному околі точки (x, y) і неперервна в цій точці як функція двох змінних
24. Локальні екстремуми функції двох змінних.
25. Необхідна умова екстремуму функції двох змінних.
Якщо в точці 
диференційовна функція 
має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: 
, 
.
26. Означення критичних точок.
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками.
27. Достатня умова екстремуму функції двох змінних.
Нехай в стаціонарній точці деякого її околу функція 
має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці 
значення 
, 
28. Задача максимізації прибутку.
це максимізація різниці між валовим доходом і валовими витратами
29. Означення граничної точки множини.
це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.
30. Замкнуті і опуклі множини.
31. Найбільше і найменше значення функції.
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області 
. Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого 
і найменшого 
значень. Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області
32. Означення опуклої функції.
функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності 
при всіх [0, 1].
33. Означення ввігнутої функції.
протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною
Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.
34. Умовний екстремум функції багатьох змінних.
Умовним екстремумом функції двох змінних 
називають її екстремум при умові, що точки беруться на заданій кривій. Якщо із рівняння кривої можна, наприклад, виразити 
, то задача про знаходження умовного екстремуму зводиться до дослідження на екстремум функції однієї змінної 
.
35. Функція Лагранжа.
L(x,y,) = f(x,y) – *g(x,y)
36. Необхідна умова умовного екстремуму.
, 
, 
, 
,
37. Достатня умова умовного екстремуму.
d1 (x10,x20,…..xn0)= 0 dm(x10,x20,…..xn0)=0
38. Задача максимізації корисності.
щоб отримати максимум корисності від споживання заданого набору благ за обмежений період часу, потрібно кожне з них спожити в таких кількостях, при яких гранична корисність усіх споживаних благ дорівнює одній, і тій же величині.