N зарядтан тратын электрлік жйені электр рісіні кернеулік векторыны аыны табайы.

Электр рісіні суперпозиция принципі бойынша:

немесе

N заряд жйесіні тйы бет арылы электр рісіні кернеулік векторыны аыны осы бет амтитын зарядтарды алгебралы осындысына тура пропорционал.

54-СРА

Гаусс теоремасы. Электростатикалы рісті есептеу дістері.Гаусс теоремасын р текті ріс кернеулігі шін орыс математигі М.В.Остроградский орытып шыарды. Заряд клемдік тыыздыы r болатын тйыталан бетті ішінде здіксіз таралса, яни r=dq/dV, онда V клем ішінде зарядты шамасы:Sq_i=òr dV. Бдан Гаусс теоремасы Ф= (9.18) болып шыады. Енді Гаусс

теоремасын вакуумдаы кейбір электро-

+s -s статикалы рістер шін жазайы.

1.Біркелкі зарядталан шексіз жазыты

рісі шін E=s/2e₀(9.19).

2. ртекті зарядталан екі шексіз парал-

лель жазытытар рісі шін (28-сурет):

E=0 E=s/e₀E=0 E=s/e₀(9.20)- жазытытар аралыындаы

орыты кернеулік, ал жазыты сыртында

кернеулік нольге те.

55-СРА

Электрстатикалы рістерді асиеттері

1. Электрстатикалы рісте заряд орын ауыстыранда орындалатын жмыс. Нктелік зарядыны рісінде екінші нктелік заряд 1-ші нктеден 2-ші нктеге айсыбір траекториямен озалсын (12.1-сурет).

12.1-сурет. Электр рісіні жмысы

Орындалатын элементар жмыс , боландытан, болады. зарядын 1-ші нктеден 2-ші нктеге дейін орын ауыстыранда орындалатын жмыс:

, (12.1)

мндаы мен - зарядынан озалушы орналасан бастапы жне соы нктелерге дейінгі ашытытар. Осыан сйкес (11.1) тедігінен электростатикалы рісте жмыс зарядты жріп ткен жолыны траекториясына байланысты емес екендігін жне тек ана 1-ші мен 2-ші нктелерді орнымен аныталатынын круге болады. Олай болса, бл электрстатикалы ріс потенциалды, электрлік кштер консервативті болады деген сз. Егер бірнеше нктелік зарядтарды рісінде озалатын болса, оан суперпозиция принципі бойынша, кші сер еткендіктен, атарылатын жмыс р кш жмыстарыны алгебралы осындысына те, яни

, (12.2)

бл жердегі мен млшері зарядтан орналасан бастапы жне соы нктелерге дейінгі ашыты. Жоарыдаы (12.2) формуладан туындайтын таы бір орытынды –электрстатикалы рісте зарядты тйы контурды бойымен орын ауыстыру жмысыны нлге тедігі, яни болуы. Егер озалушы зарядты бірлік лшемді заряда те деп алса, онда (12.2) тедіктен:

немесе . (12.3)

Бл интеграл электрстатикалы рісті кернеулік векторыны тйы контур бойымен циркуляциясы деп аталады.

векторыны циркуляциясы теоремасынан бірнеше маызды орытындылар шыаруа болады:

1) электрстатикалы ріс кернеулігіні кш сызытары тйы болуы ммкін емес

Шындыында да, егер векторыны андай да бір сызыы тйы болса, онда осы сызы бойымен векторыны циркуляциясын алса (12.3)

теориямен арама-айшылыа келуші едік.

2) 12.2-суретте крсетілген трдегі электрстатикалы рісті болуы ммкін емес.

12.2-сурет.Электрстатикалы рісті кш сызытары тйыталан болуы

ммкін емес

Егерде 12.2-суретте крсетілген зік-зік сызытара векторыны циркуляциясы теоремасын олданса, онда ол нлден ерекше болады, ал ол теоремаа арама-айшы келеді.

56-СРА

Электрстатикалы ріс потенциалы. Потенциалды рістегі консервативтік кштер жмысы потенциалды энергияны кемуі нтижесінде орындалатынын ескере отырып, (12.1) тедеуін былай жазуа болады:

. (12.4)

Демек, зарядыны заряды рісіндегі потенциалды энергиясын:

(12.5)

деп алуа болады. Бл формуладаы С-тратысын потенциалды энергияны шексіздіктегі мні нлге те болуы шартынан табуа болады. Осыан сйкес зарядыны рісіндегі потенциалды энергиясы:

, (12.6)

не екінші жаынан соы формуланы -ді рісінде орналасан зарядыны энергиясы деп те есептеуге болады. (12.6) рнегінен берілген нктедегі атынасыны -ді млшеріне байланысты емес екені байалады. Сондытан бл атынас - электрстатикалы рісті энергетикалы сипаттамасы бола алады. Оны рісті потенциалы деп атайды:

. (12.7)

Бл формуладан, электрстатикалы рісті берілген нктесіндегі потенциалы - сол нктеде орналасан бірлік лшемдегі о зарядты потенциалды энергиясына те деген орытынды шыады. Келтірілген (12.6) жне (12.7) рнектерінен нктелік зарядты потенциалы

(12.8)

екені шыады. Зарядты рісті бір нктесінен оны екінші нктесіне дейін орын ауыстыранда орындалатын жмысты (12.8) тедігін ескере отырып, тмендегідей трде жазуа болады:

. (12.9)

Бдан кретініміз, орындалатын жмыс орын ауыстырушы зарядты млшері мен электрстатикалы рісті заряд орналасатын бастапы жне соы нктелеріні потенциалдар айырымыны кбейтіндісіне те болады екен. Егер рісті бір ана заряд емес, бірнеше зарядтар райтын болса, онда (12.9) формуласы бойынша, осы рісте орналасан -ді потенциалды энергиясы

, (12.10)

бдан нктедегі ізделініп отыран потенциал

(12.11)

болады. Жоарыдаы (12.10) тедігімен салыстыранда, (12.11) рнегінен зарядтар системасыны берілген нктедегі потенциалы - ол рістегі рбір заряд потенциалдарыны алгебралы осындысына те болатындыы байалады. Егер зарядтарды берілген клемдегі тыыздыы болса, онда (12.11) тедігін тмендегідей трде жазуа болады:

. (12.12)

Бл интеграл зарядтар орналасан кеістікті толы амтиды. Егер зарядтар берілген бір бетте беттік тыыздыпен орналасса, онда:

, (12.13)

мндаы - зарядты беттік тыыздыы; - беттік аудан -ті элементі

12.3-сурет. Эквипотенциалды беттер.

57-СРА

Кернеулік векторы мен потенциал арасындаы байланыс. заряды туызатын электр рісінде -ші заряды осіні бойымен ашытыа орын ауыстыранда орындалатын жмыс болсын. Екіншіден, бл жмыс болады. Оларды о жатарын теестіргенде:

. (12.14)

Дл осылай жне стерін арастыра отырып, векторыны тмендегідей рнегіне келеміз

, (12.15)

мндаы - , , – координат осьтері бойымен баытталан бірлік векторлар.

Градиент туралы анытамадан:

немесе , (12.16)

мндаы - Гамильтон операторы (набла операторы). (12.16) бойынша - кернеулік теріс табамен алынан потенциалды градиентіне те болады.

Электрстатикалы рісті графиктік трде кш сызытары арылы ана емес эквипотенциалды беттер арылы да кескіндеуге болады. Эквипотенциалды беттер деп барлы нктелеріні потенциалдары бірдей беттерді айтады. Егер рісті нктелік заряд тудырса, онда формуласына сйкес эквипотенциалды беттер сфера трінде болады (12.3-суретті ара). Нктелік зарядты кш сызытары радиус бойымен баатталандыын айтанбыз, яни эквипотенциалды беттер мен кш сызытары зара ортогональ болып келеді. Суретте кш сызытары зік-зік сызытармен жргізілген. Эквипотенциалды беттерді жиілеуі (оюлануы) потенциалды мніні згеруіне сйкес келеді. Зарядтан алыстаан сайын эквипотенциалды беттер сирей береді. Эквипотенциалды беттерді баытын біле отырып кш сызытарын жргізуге болады немесе керісінше.

12.3-сурет. Эквипотенциалды беттер.

58-СРА