Гюйгенс-Штейнер теоремасы.

Сана денесі болып кез келген дене алына алады. Абсолют атты деп кез келген нктелеріні арасындаы ашыты згеріссіз болатын денені айтады.

О нктесіне арасты (3.1 сурет) материялы нктеге сер етуші кш моменті мына вектор болып табылады

. (3.1)

деп материялы нктеге сер етуші барлы кштерді те серлісін айтады. Бастапы деп абылданып алынан айсыбір материялы нктені О нктесіне арасты орналасу жадайы радиус-векторымен сипатталады.

О нктесіне арасты материялы нктені импульс моменті мына вектор

. (3.2)

Уаыт бойынша импульс моментін дифференциалдау (3.2) арылы моменттер тедеуін аламыз:

.

Материялы нктелер жйесіні импульсі деп жйені раушы материялы нктелер импульстеріні осындысын айтады:

, (3.3)

мнда - i индексімен белгіленген материялы нктені импульсі, n – жйедегі нктелер саны.

Материялы нктелер жйесіні бастапы деп абылданып алынан О нктесіне арасты импульс моменті деп О нктесіне арасты материалы нктелер жйесін раушыларыны импульс моменттеріні осындысын айтады:

, (3.4)

мнда – i индексімен белгіленген материялы нкте импульсыны моменті.

О нктесіне арасты материалы нктелер жйесіне сер етуші кш моменті деп, О нктесіне арасты жйе нктелеріне тсірілген кш моменттеріні осындысын айтады:

. (3.5)

(3.5)-гі кші i нктесіне тсірілген ішкі кштерді оса аландаы толы кш болып табылады:

,

мнда – сырты кш, ал – ішкі кштер.

Уаыт бойынша (3.3)-ті дифференциялдау арылы материялы нктелер жйесіні тедеуін аламыз:

, , (3.6)

мнда . (3.7)

шамасы сырты кштер осындысына те, йткені, (3.7) осындысында барлы ішкі кштер зара ысарады.

Уаыт бойынша (3.4)-ті дифференциалдаса, материялы нктелер жйесі шін моменттер тедеуін аламыз:

, = . (3.8)

Естеріізге салайы, – сырты кштер моменті.

атты дене ара ашытыы траты болатын материялы нктелер жйесі ретінде арастырыла алады. Сондытан, материялы нктелер жйесі тралы пайымдаулар мен тедеулер атты денелер шін де олданылады. (3.6) жне (3.8) тедеулері, осы жерде таы да жазып крсете кетейік:

, = ,

жалпы аланда тйы жйе болып саналмайды. Алайда, олар атты дене шін тйы тедеулер жйесі болып табылады.

озалмайтын ске арасты атты денені айналмалы озалысы динамикасыны тедеуі. Радиусі r_i шебер бойымен массасы m_i материялы нктені айналуы кезіндегі оны айналу сіне проекцияланан импульсыны моменті L_i=m_iv_ir_i -ге те. Сызыты жылдамды v_i=wr_i, сондытан L_i=m_ir_i²w, мнда w – брышты жылдамды. Егер, О сін айнала материялы нктелер жйесі айналып тратын болса, онда . Бдан шыатыны

(3.9)

мнда , ал w траты шама ретінде осындыны табасыны алдына шыарылан.

Материялы нктелер массаларыны оларды айналу сіне дейінгі ашытытарыны квадратына кбейтіндісіні осындысына те J шамасы осы ске арасты жйе инерциясыны моменті деп аталады. Егер масса здіксіз таралан жадайда осынды табасы интеграл табасымен алмастырылады, онда инерция моменті мынадай трде жазылады:

(3.10)

Денені инерция моменті – ілгерілемелі озалыс кезіндегі массаа тедес физикалы шама; ол денені формасына, млшеріне, массасына жне оны дене ішінде таралуына, сонымен оса айналу сін тадауа туелді, ол айналмалы озалыс кезіндегі денені инерттілігін сипаттайды.

Айналмалы озалысты динамикасыны негізгі заын (3.10)-ді ескере отырып айналу осіне проекциясында былай жазуа болады:

, (3.11)

мнда М – сырты кштерді осынды моментіні айналу сіне проекциясы.

озалмайтын сті айнала атты денені айналуыны жекелеген жадайында (3.11) тедеу мына трге згереді:

(3.12)

немесе

,

мнда – брышты деу.

рбір денеде денені озалыста не тыныштыта боланына арамастан массасы болатындыы сияты, ол денені айналуда ма, немесе тыныштыта транына арамастан, кез келген ске арасты белгілі бір инерция моменті болады.

Гюйгенс – Штейнер теоремасын пайдаланса, анарлым жеілденер еді: еркін ске арасты J инерция моменті – млім ске параллель жне дене массасыны центрінен туші ске арасты J_c инерция моменті мен денені m массасыны стер аралы а ашытыы квадратыны кбейтінділерін осандаы шамаа те:

.