Озалмайтын оське атысты атты денені айналмалы озалыс динамикасыны негізгі тедеуі. Штейнер формуласы.

атты денені айналуын кинематикалы сипаттауы шін брышты шамаларды олданан тиімді:

- брышты орын ауыстыру

- брышты жылдамды

- брышты деу

Бл формулалардаы брыштар радианмен лшенеді. атты денені озалмайтын ось бойымен айналдыранда, оны барлы нктелері бірдей брышты жылдамдыпен жне брышты деумен озалады. Айналуды о баыты ретінде саат жрісіні кері баытын алады.

атты денені массасы m элементіні орын ауыстыруларды аз шамасында векторыны модулі келесі рнектен табылады:

s = r,

мндаы r – радиус-векторыны модулі (1.23.1-сурет). Бдан сызыты жне брышты жылдамдытарды модульдеріні арасындаы байланыс:

= r,жне сызыты жне брышты деулерді арасындаы байланыс:a = a = r.шыады.

жне векторлары радиусы r болатын шеберге жанама бойымен баытталады. Денелерді шебер бойымен озалысы кезінде нормаль жне центрге тартыш деу болатынын еске тсіру ажет. Оларды модульдері:

Айналан денені кішкентай m_i бліктерге блейік. Айналу осіне дейінгі ара ашытыты r_i деп, сызыты жылдамдытарды модульдерін _i арылы белгілейік. Онда айналан денені кинетикалы энергиясын:

трінде жазуа болады.

физикалы шамасы айналан денені айналу осіні бойында лестірілуіне туелсіз. Ол берілген оське атысты инерция моменті деп аталады.

m 0 кезде бл осынды интеграла айналады. СИ-дегі инерция моментіні лшем бірлігі – кг м². Сонымен, озалмайтын ось бойымен айналан атты денені кинетикалы энергиясын:

трінде жазуа болады. Бл формула ілгерілемелі озалан денені кинетикалы энергиясыны формуласына сас, біра мнда массаны орнында инерция моменті, ал сызыты жылдамдыты орнында – брышты жылдамды олданылады.

Айналмалы озалысты динамикасында инерция моменті, ілгерінді озалыс динамикасындаы массаны ролін атарады. Біра мнда бір айырмашылы бар. Егер масса – бл денені озалысынан туелсіз ішкі асиеті болса, инерция моменті – ол дене ай осьті айналанына байланысты болады. р трлі айналу осьтері шін бір денені инерция моменттері р трлі болады.

Кптеген есептерде атты денені айналу осі оны массалар центрі арылы тетін жадай арастырылады. Жйені арапайым жадайы шін массалары m₁ и m₂ блшектерді x_C, y_C массалар центріні орналасуы келесі формулалармен аныталады:

Векторлы формада бл атынас:

трінде жазылады. Дл осы сияты, массалар центріні радиус-векторы:

рнегімен аныталады.

Ттас дене шін шін жазылан формулада осындылар интегралдармен ауыстырылады. Біртекті ауырлы рісінде массалар центрі ауырлы центрімен беттесетінін кру иын емес. Сондытан, пішіні крделі денені массалар центрін анытау шін, денені бірнеше нктеден лшеп, аспа бойынша вертикаль сызытарды белгілеу ажет.

Біртекті ауырлы рісіндегі ауырлы кшіні те серлі кші денені массалар центріне салынады. Егер дене массалар центрі арылы ілінсе, онда ол тепе-тедікті бейтарап жадайында орналасады. атты денені кез келген озалысын екі озалысты осындысы трінде рнектеуге болады: жылдамдыы денені массалар центріне те ілгерілемелі озалыс жне массалар центрі арылы тетін ось бойындаы озалыс. Мысал ретінде – горизонтпен сыранаусыз домалаан допты келтіруге болады (1.23.4-сурет). Допты айналуы кезінде, оны нктелері сурет жазытыына параллель жазытытарда озалады. Мндай озалысты жазы озалыс деп атайды. Жазы озалыс кезінде атты денені кинетикалы энергиясы ілгерілемелі озалысты энергиясы мен массалар центрі арылы тетін жне денені барлы нктелері озалатын жазытытара перпендикуляр болатын оське атысты айналмалы кинетикалы энергиясыны осындысына те болады.

мндаы m – денені толы массасы , I_C – массалар центрі арылы тетін оське атысты денені инерция моменті.

Механикада массалар центріні жылжуы туралы теорема длелденеді: сырты кштерді серінен кез келген денені немес серлескен денелерді жйесіні массалар центрі бкіл жйені массасы шоырланан материалды нкте сияты озалады.

Осы тжырымны иллюстрациясы болып 1.23.5-сурет табылады, мнда денені ауырлы кшті серінен озалуы суреттелген. Массалар центрі параболалы траектория бойымен материалды нкте сияты озалады, ал баса нктелер зге крделі траекториялар бойымен озалады. Егер атты дене озалмайтын осьті бойымен айналса, онда оны инерция моментін I массалар центрі арылы тетін жне біріншісіне параллель болатын оське атысты I_C инерция моменті арылы рнектеуге болады.

Координаттар басы О жне массалар центрі С нктесінде орналасан XY координатты жйені арастырайы. Айналу осьтеріні бірі массалар центрі С арылы тсін, ал екіншісі – координаттар басынан dашытыында орналасан Р нктесі арылы тсін. Осьтерді екеуі де сурет жазытыына перпендикуляр. m_i – атты денені массасыны кішкентай элементі болсын. Инерция моментіні анытамасы бойынша:

 

I_Pшін рнекті:

трінде жазуа болады. Координаттар басы С массалар центрімен беттесетіндіктен, соы екі мше 0-ге айналады. Бл массалар центріні анытамасынан шыады. Сондытан:

IP = IC + md2,

мндаы m – денені толы массасы. Бл нтижені Штейнер теоремасы (айналу осін параллель кшіру туралы теорема) деп атайды.

Ньютонны екінші заы атты денені озалмайтын оське атысты айналуы ші жалпылануы ммкін. Массаны кез келген кішкентай m_i элементін бліп алайы. Оан сырты жне ішкі кштер сер етеді. Те серлі кш . Оны екі раушыа: жанама раушы жне радиал раушы жіктеуге болады. Радиал раушы a_n центрге тартыш деуді тудырады.

кшіні жанама жне радиал раушылары

жанама раулы m_i массасыны тангенциал деуін тудырады. Скаляр трде жазылан Ньютон заы:

m_ia_i = F_i = F_i sin или m_ir_i = F_i sin ,

береді. Мндаы:

- атты денені барлы нктелеріні брышты деуі. Егер жоарыда жазылан тедеуді екі жаын да r_i-ге кбейтсе, онда

аламыз, мндаы l_i – кш иіні , M_i – кшіні моменті.

Енді дл осындай атынастарды айналмалы атты денені барлы m_i массасыны элементтері шін жазып, сол жне о жатарып осындылау ажет. Бдан:

О жаында тран атты денені р трлі нктелеріне сер ететін кш моменттеріні осындысы – барлы сырты жне ішкі кш моменттеріні осындысынан трады:

Бл – атты денені айналмалы озалысы динамикасыны негізгі тедеуі. брышты деуі жне M кш моменті бл тедеуде алгебралы шамалар болып табылады. детте о баыт ратінде саат жрісіні кері баытын алады.

Жоарыда жазылан тедеуді векторлы формасы да болады.

шамалары айналу осіні бойымен баытталан векторлар ретінде аныталады. Ілгерілемелі озалысты оыан кезде, денені импульсі ымы енгізіледі. Дл осылайша, айналмалы озалысты зерттегенде импульс моменті ымы енгізіледі