Измерения в кавантовой механике

Формулы

Разница- они по разному преобразуются при преобразовании системы координатгоду

Возможны замены первого на второй при помощи метрического тензора

6)Гравитационное поле в релативисткой и не релативистской механике

В 1916 Энштэйн распостранил релативистские идеи на случай движения частиц в гравитациооных полях. В нерелативистской механике гравитационные поля обладают основным свойством: Все тела независимо от их массы движутся в них при заданном начальном условии одинаковым образом. (Законы свободного падения) Формулы

Гравитационное поле в релативистской механике формулы

Пространство и время в галилеевой системе назвается плоским

В связи с произведением с о законы природы должны записыватся в виде любой четырехмерной координатной плоскости в ко-вариантном виде. По этой причине мы должны изучить криволинейные координаты(формулы)

 

7)Принцип эквивалентности Эйнштейна. Свойства движения в неинерциальных системах отсчета те же что и в инерциальных при наличии гравитационного поля. Это утверждение носит название принцип эквивалентности

Для доказательства этого принципа Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент. Пусть тела находятся в лифте, который бесконечно удалён от гравитирующих тел и двигается с ускорением. Тогда на все тела, находящиеся в лифте действует сила инерции , а тела под действием этих сил будут давить на опору или подвес. То есть тела будут обладать весом.

Если лифт не движется, а висит над какой-то гравитирующей массой в однородном поле, то все тела также будут обладать весом. Находясь в лифте, невозможно отличить эти две силы. Поэтому все механические явления будут в обоих лифтах происходить одинаково. Эйнштейн обобщил это положение на все физические явления

Метрический тензор или метрика — это симметричное тензорное поле ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д. Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей :

А для любых векторных полей, скалярное произведение вычисляется по формуле

,

где — представление векторных полей в локальных координатах.

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах:

  • Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.

9) Ковариантное дифференцирование повышает ранг тензора на единицу. [2]

Ковариантное дифференцирование пригодно для любой системы координат и имеет тензорный характер. Поэтому, выражая какую-либо векторную операцию через ковариантные производные, получим выражение, справедливое в любой системе координат. [3]

Вопрос такой. Насколько приемлемо с точки зрения большой науки вводить для прикладных целей понятие связности следующим образом.

-- гладкое многообразие. -- пространство гладких тензорных полей типа на .

Опр. Говорят, что на задана операция ковариантного дифференцирования, если каждому вектору сопоставлена операция обладающая следующими свойствами

1)
2) где -- функция на ;
3) , где -- производная Ли

Если на многообразии задана локальная система координат с базисными векторами то можно определить ,
ввести сиволы Крисоффеля и получить формулу . Дальше можно написать уравнение параллельного переноса векторного поля вдоль кривой.

Для того что бы продолжить операцию ковариантного дифференцирования на произвольные тензорные поля добавим еще два правила Лейбница.
Пусть тогда

4)
5)

Формула 4) позволяет распространить операцию ковариантного дифференцирования на ковекторы: И тогда по формуле 5) ковариантное дифференцирование определено для тезоров любого типа.
В частности, сопоставляя 5) и 3) найдем .

 

10) Частица в грав. Поле.
В 1906 г. Эйнштейн показал, что все иннерц системы эквивалентны. – все получило название теории отн-ти. В 1916 Эйнштейн распространил релятивистские идеи на случай движения части в грав полях. Грав поле обладает основным св-вом , а именно все тела независимо от их массы движутся в них при одинаковых нач. условиях одинак образом. Пример: законы своб падения одинаковы для всех тел независимо от их масс. Это св-во грав полей дает возможность установить аналогию между движ тел в грав поле и движ тел, нах в прос-ве свободном от всяких полей , но рассматриваемых с точки зрения неинерц системы.(формулы)

11)


12) Для доказательства этого принципа Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент. Пусть тела находятся в лифте, который бесконечно удалён от гравитирующих тел и двигается с ускорением. Тогда на все тела, находящиеся в лифте действует сила инерции , а тела под действием этих сил будут давить на опору или подвес. То есть тела будут обладать весом.

Если лифт не движется, а висит над какой-то гравитирующей массой в однородном поле, то все тела также будут обладать весом. Находясь в лифте, невозможно отличить эти две силы. Поэтому все механические явления будут в обоих лифтах происходить одинаково. Эйнштейн обобщил это положение на все физические явления

15) Квантовая физика. Уравнение Шредингера.

Квант впервые прозвучало в работе Макса Планка. Новая постоянная [h]-размерность действий, измеряется Дж/с. h=6,63*10-24Дж/c. В следующий раз прозвучало в работе Эйнштейна в объяснении фотоэффекта.

h=mv2/2+Aвых.

h=h/2

х1,р1-координаты вектора в пространстве подходящей размерности

Е-частица, обладает энергией, которую можно разбить на Ек и Еп

Е=Ек+Vx=V2/2+Vх

hv-минимальная порция энергии, которую может нести фотон

Гейзенберг-создатель аппарата квантовой механики(волной механики)

Уравнение Шредингера

Зависимое от времени уравнение (общий случай)

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера для частицы, движущейся в потенциальном поле, описываемом потенциалом :

 

Измерения в кавантовой механике

При изменении значений какой либо физической величины представленной какой либо оператором Результатом будет одно из значений оператора

1) Поскольку все измеряемы величины вещественны то соответствующие им операторы должны иметь собственное значение

2) Поскольку результаты классических измерений описываются уравнениями классической физики постольку должна быть связь между квантовыми и классическими измерениями. Эта связь выражается теоремами Эренфеста. согласно этой теореме классические уравнения получаются для величин которые являются усредненными значениями квантовых величин

Уравнение Ньютона , градиент

Операция усреднения

Комплексное сопряжение

Средние квантовые механические величины совместимы так как операторы соответствующих величин Эрнитовы

1) Ортогональность

2) Полнота разложение по любым наборам функции, свойство любого эрнитого операнда проекции

В квантовой механике наблюдательность играет гораздо большую роль чем в классической механике. Наблюдая систему находящуюся в состоянии волновой функции например пытаясь определить ее энергию мы всегда получим одно из собственных значений оператора системы

Гильбертовое пространство

Результатом измерения энергии произвольного состояния будет значение проекции на один из базисных векторов вероятности системы

Система Энергии равна

 

Динамика системы не подвергаемая измерению описывается уравнением Шредингера

Это детерминированное уравнение

 

Где U-Это Эволюция( поведение системы в результате изменения). Детерминированная система эволюционирует

Поляризация фотона

Состояние поляризированного фотона задается единичным вектором направление которого выражается линейной организацией

 

После измерения невозможноиопределить каким было первоначальное изменение

ки.

17)Принцип неопределённости Гейзенберга (или Гайзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механик Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.[* 2]

Согласно принципу неопределённостей у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)[* 3]. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата - или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата) не реализуется.

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки), ни определённым значением импульса (учитывая его направление![* 4]).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть непосредственное прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье[* 5].

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временное положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что , то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей[* 6] наших приборов или органов чувств.

18)Пространство Состояний и бракетово обозначения

Braket (скобка)

Ket- векторами обозначаются квантовые столбцы для описания квантовых состояний

Bra-

Скалярное произведение

Внешнее произведение

 

Квантовый бит называемый кубит это вектор единичной длины в двумерном пространстве в котором зашифрован некоторый базис или может ыть фотон

Бит может состоять из 0 или 1 А кубит в любой последовательности

В измерении квантовой информации мы получаем один бит

19) Квантовый бит называемый кубит это вектор единичной длины в двумерном пространстве в котором зашифрован некоторый базис или может быть фотон

Бит может состоять из 0 или 1 А кубит в любой последовательности

В измерении квантовой информации мы получаем один бит. Существуют системы с открытым ключом или системы с закрытым ключом

Ключ- это секретная программа шифрования. В качестве ключа можно использовать определенное количество битов Х=101100 Р=111000111 С-зашифрованный ключ.

Доказал что существуют стойкие цифры у которых в качестве ключа берется последовательное число единиц.

Чтобы начать передачу секретного ключа А (алиса) посылает бобу последовательность итов кодируя каждый бит в квантовое состояние фатонов используя для этого случайным образом единый из 2 базисов. Боб измеряет состояние фатонов выберая лдин из двух базисов алиса и боб посылает друг другу по открытому каналу базисы они используют, получив эту информацию они выбрасывают не нужные биты и состовляют последовательность используемых как ключ.

Ева измеряет состояние фатонов и отправляет бобу свои 50% используемых базисов. Боб получает фатоны от евы и обнаруживают что у него неправильно, у него всего 25% фатонов, как только он это обнаружит он отправляет Алиса сообщение что влечет предельные меры, у евы тоже 25% ключа.

20) Множество кубитов

Отличие классических систем от квантовых заключается в том, что для классических систем можно получить описание. Это приводит к тому, что множество квантовых состояний больше классических состояний

Рассмотрим как увеличивается размерность квантовых и классических систем

Пусть:

Она определяется декатовым произведением вектора пространства

Размерность ложной системы определяется тензорным произведением

Состоянием в котором не могут разлагаться на различные состояния называют запутанным состоянием . Именно они обеспечивают экспонциальный рост. Экспронцеальный рост возможностей квантовых компьютеров .Невозможность моделирования квантовых систем на классических компьютерах. Парадокс ЭПР

Они рассмотрели источники, которые создавал две запутанные частицы называемые ЭПР парой и отсылают по каждой из частиц А и В находятся на большом расстоянии друг от друга. А отправил свою частицу и обнаружил состояние 0. Это означает , что общее состояние будет 0,0 и В тоже будет 0

Этот парадокс позволил выразить Эйнштейну отношение квантовой теории. Частицы не могут проносить информацию.