Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия консервативной механической системы сохраняется во времени. Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может никуда исчезнуть. Для замкнутой системы физических тел, например, справедливо равенство Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2,

где Ek1, Ep1 — кинетическая и потенциальная энергии системы какого-либо взаимодействия, Ek2, Ep2 — соответствующие энергии после.

Закон сохранения энергии — это интегральный закон. Это значит, что он складывается из действия дифференциальных законов и является свойством их совокупного действия.

Полная механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергии тела, остается постоянной, если действуют только силы упругости и тяготения и отсутствуют силы трения.

22. Механическая система будет находиться в равновесии, если на неё не будет действовать сила. Это условие необходимое, но не достаточное, так как система может при этом находиться в равномерном и прямолинейном движении.

система будет находиться в состоянии равновесия, если

Возвращаясь к рисунку заметим, что при x = x1 и x = x2.

Точка x = x1 соответствует состоянию устойчивого равновесия (потенциальный барьер), тогда как точка x = x2 - состоянию неустойчивого равновесия (потенциальная яма).Таким образом, достаточным условием равновесия является равенство минимуму значения U (это справедливо не только для механической системы, но, например, и для атома).

23. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не работает. Применим закон сохранения механической энергии для расчета скорости тел при абсолютно упругом ударе – ударе, при котором не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии. На рисунке изображены два шара m₁ и m₂.

Скорости шаров , поэтому, хотя скорости и направлены в одну сторону, все равно будет удар. Систему можно считать замкнутой. Кроме того, при абсолютно упругом ударе она консервативна.

Обозначим и как скорость шаров после их столкновения.

В данном случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и законом сохранения импульса (в проекциях на ось x):

Решив эту систему уравнений относительно и , получим

Таким образом, скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми по величине и по направлению.

24. Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку. Стенку можно рассматривать как неподвижный шар с ₂ = 0, массой .

Разделим числитель и знаменатель на m₂ и пренебрежем m₁/m₂ , тогда

,

.

Так, шар m₁ изменит направление скорости на противоположное.

25. Рассмотрим твердое тело, как некую систему (рис. 6.1), состоящую из n точек (m₁, m₂, ..., m_n); – радиус-вектор i-й точки, проведенный из точки О – центра неподвижной инерциальной системы отсчета.
Введем обозначения: – внешняя сила, действующая на i-ю точку, – сила действия со стороны k-й точки на i-ю.

Рис. 6.1

Запишем основное уравнение динамики для точки (см. п. 3.6):

Умножим обе части этого уравнения векторно на :

Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда

Векторное произведение вектора точки на её импульс называется моментом импульса (количества движения) этой точки относительно точки О.

.

(6.1.1)

Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Векторное произведение , проведенного в точку приложения силы, на эту силу, называется моментом силы :

.

(6.1.2)

Обозначим L_i – плечо силы F_i, (рис. 6.3).
Учитывая тригонометрическое тождество, получаем

.

(6.1.3)

Здесь сумма производных равна производной суммы:

где – момент импульса системы, – результирующий момент всех внешних сил относительно точки О.
Так как

, то

Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки.

.

(6.1.5)

Момент импульса системы является основной динамической характеристикой вращающегося тела.

Моментом импульса L материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса mv:

L=[r,mv],

где m - масса материальной точки; v – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении.

Вектор L направлен так же, как и вектор угловой скорости , т.е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта

Для замкнутой системы тел закон сохранения момента импульса формулируется так: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Момент силы- векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение: где — сила, действующая на частицу, а -радиус-вектор частицы.

27.

	Рис. 6.5

Получим уравнение динамики для некоторой точки m_i этого тела, находящегося на расстоянии R_i от оси вращения. При этом помним, что и направлены всегда вдоль оси вращения z, поэтому

или .

Поскольку у всех точек разная, введем вектор угловой скорости , причем . Тогда .
Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения m_i и R_i останутся неизменными. Тогда

Обозначим I_i – момент инерции точки находящейся на расстоянии R от оси вращения:

.

(6.2.1)

Момент инерции тела служит мерой инертности во вращательном движении.
В общем случае тело состоит из огромного количества точек, и все они находятся на разных расстояниях от оси вращения. Момент инерции такого тела равен:

.

(6.2.2)

Как видно, момент инерции I – величина скалярная.
Просуммировав (6.2.1) по всем i-м точкам, получим или

.

(6.2.3)

Это основное уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. (Сравним: – основное уравнение динамики поступательного движения тела).
Для момента импульса тела, вращающегося вокруг оси z, имеем:

, , .

(6.2.4)

(Сравним: – для поступательного движения).
При этом помним, что и - динамические характеристики вращательного движения, направленные всегда вдоль оси вращения. Причем определяется направлением вращения, как и , а направление зависит от того, ускоряется или замедляется вращение.

28. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси. При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Теорема Штейнера:Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно некоторой оси.

29. Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

где J - момент инерции тела относительно оси вращения. В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью Ф вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

30. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

отсюда или .

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

31. Неинерциальная система отсчёта — система отсчёта, к которой не применим первый закон Ньютона — «закон инерции», говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью. Для согласования сил и ускорений в неинерциальной системе отсчёта, перечень действующих на тела сил можно дополнить силами инерции. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением или поворачивающаяся относительно инерциальной, является неинерциальной. законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчетах. Относительно всех инерциальных систем данное тело обладает одинаковым ускорением w. Поскольку любая не инерциальная система отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, ускорение тела в неинерциальной системе отсчета w' будет отлично от w. Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной системах символом а:

(31.1)

Если неинерциальная система движется относительно инерциальной поступательно, то а совпадает ускорением неинерциальной системы отсчета. При вращательном движении различные точки неинерциальной системы имеют неодинаковое ускорение. В этом случае нельзя трактовать как ускорение, с которым неинерциальная система движется относительно инерциальной.

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна. Тогда согласно второму закону Ньютона

Ускорение же относительно неинерциальной системы отсчета можно в соответствии с (31.1) представить в виде:

Таким образом, даже если результирующая всех сил, приложенных к телу, будет равна нулю, тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорением —а, т. е. так, как если бы на него действовала сила, равная —ma.

Следовательно, при описания движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями динамики, справедливыми только для инерциальных систем, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции f_in, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета:

(31.2)

Тогда уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид:

		(31.3)
32. сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами и пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:   33. Законы Кеплера : 1) Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния). — большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно, эллипс превращается в окружность. 2) Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу. 3)Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников. , где и — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и — длины больших полуосей их орбит. Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где — масса Солнца, а и — массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды. 34. Первая космическая скорость (круговая скорость) — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту. Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения — так как g = GM/R², то Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует). Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Земли. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с. Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболы относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается в эллипс. Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение: Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке (например, на поверхности небесного тела): Третья космическая скорость — минимальная скорость, которую необходимо придать находящемуся вблизи поверхности Земли телу, чтобы оно могло преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы. Для расчёта третьей космической скорости можно воспользоваться следующей формулой[2]: где v3 — третья космическая скорость, а v1 и v2 — первая для Солнца и вторая для планеты космические скорости соответственно. Четвёртая космическая скорость — минимально необходимая скорость тела, позволяющая преодолеть притяжение галактики в данной точке. Численно равна квадратному корню из гравитационного потенциала в данной точке галактики (если выбрать гравитационный потенциал равным нулю на бесконечности). Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек галактики, а зависит от координаты. По оценкам, в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра Галактики, но и от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное — скрытая масса. Вне диска Галактики распределение масс приблизительно сферически симметрично, как следует из измерений скоростей шаровых скоплений и других объектов сферической подсистемы.