Ма т е р и а л ь н ы е уравн е н и я

Ток сме щ е н и я

delta ro/delta t + div j = 0

div j = 0 - если поле стационарно.

Теорема о циркуляции:

rot H = 4 pi/c j

дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому можно получить, что j = 0, но это верно только в случае стационарных токов. То есть, теорему о циркуляции на нестационарные токи обобщать нельзя. Так как в левой части стоит ротор, дивергенция которого равна нулю, в правой части должен стоять вектор, при стационарных полях переходящий в j.

div D = 4 pi ro, продифференцируем это соотношение по времени, получим:

delta ro/ delta t - 1/ (4 pi) div (delta D/delta t) = 0

j_см = 1/(4 pi) (delta D/delta t) - ток смещения. j + j_см - полный ток.

rot H = 4 pi/c (j + j_см)

Но вообще это соотношение проверяется опытным путём.

При м е р ы расч ё т а

Пусть в неограниченную однородную среду помещён маталлический шар, которому сообщён электрический заряд Q. Если среда проводящая, то появятся электрические токи, текущие в радиальных направлениях. Они будут возбуждать магнитное поле. Они будут возбуждать магнитное поле. При попытке указать его направление возникает следующая трудность. Вектор B не может иметь радиальной соствляющей. Если бы такая составляющая была, то она была бы направлена либо в центр, либо из центра, и так же она была бы направлена в любой точке сферы с центром в центре шара и содержащей точку, в которой поле B имеет радиальную составляющую. Тогда поток этого вектора через эту сферу был бы отличен от нуля, что противоречит условию, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно, вектор В должен быть перпендикулярен радиусу, что тоже невозможно, так как все направления, перпендикулярные радиусу, совершенно равноправны. Значит, Н и В везде равны нулю, но тогда равен нулю и ток j, что вообще противоречит происходящему в примере.

Для устранения этого противоречия предположим, что магнитные поля возбуждаются чем-

то ещё кроме токов проводимости. То есть, добавим к току ток смещения, который найдём из условия

I + I_см = 0

I_см = dQ/dt

По закону Кулона

Q = r^2 D

Дифференцируя это выражение и разделив его на площадь сферы, получим:

j_см = 1/(4 pi) (delta D/delta t)

Это совпадает с показанным выше.

Пере м е н н о е эле к т р и ч е с к о е пол е и его м аг ни т н о е дейст ви еТоки смещения существуют только там, где меняется электрическое поле. Поэтому физический смысл гипотезы Максвелла о токах смещения состоит в том, что переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Надо сказать, что изменение электрического поля порождает магнитное поле даже в вакууме, где нет никаких зарядов.

С ис т е м а ура вн е н и й Ма ксв е л л а в инт е г р а л ь н о й фор м е

1) sumo(L) H dl = 4pi/c sum(S) (j + 1/4pi dD/dt) dS,

2) sumo(L) E dl = -1/c sum(S) dB/dt dS,

3) sumo(S) (D dS) = 4pi sum ro dV,

4) sum(S) (B dS) = 0.

Источниками эл. поля могут быть либо эл. заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные поля могут возбуждаться движущимися эл. зарядами или переменными эл. полями.

В случае постоянных полей система распадается на две:

1) rot E = 0, div D = 4pi ro. 2) rot H = 4pi/c j, div B = 0.

Гра ни ч н ы е условия

Граничным условиям должно удовлетворять э/м поле на границе двух сред:

1) D_2n - D_1n = 4pi sigma;

2) B_1n = B_2n;

3) E_1t = E_2t;

4) [n H_2] - [n H_1] = 4pi/c*i,

где sigma - поверхностная плотность эл. зарядов, i - поверхностная плотность тока проводимости на границе раздела. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла.

Ма т е р и а л ь н ы е уравн е н и я

В скалярной форме уравнений Максвелла 8, а величин 16:

3*(E, D, B, H, j) и ro. Остальные 8 уравнений характеризуют свойства среды и называются материальными. В случае слабых э/м полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и времени, для изотропных неферромагнитных

и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения: D =

eE, B=muH, j=lE. epsilon, mu, lambda - диэл. и магн.

проницаемость и электропроводность.

 

3 4 .Сис т е м а ура вн е н и й Ма ксв е л л а в диф. форм е 1) rot H = 4pi/c j + 1/c dD/dt; 2) rot E = -1/c dB/dt; 3) div D = 4pi ro; 4) div B = 0. Источниками эл. поля могут быть либо эл. заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные поля могут возбуждаться движущимися эл. зарядами или переменными эл. полями. В случае постоянных полей система распадается на две: 1) rot E = 0, div D = 4pi ro. 2) rot H = 4pi/c j, div B = 0. Гра ни ч н ы е условия Граничным условиям должно удовлетворять э/м поле на границе двух сред: 1) D_2n - D_1n = 4pi sigma; 2) B_1n = B_2n; 3) E_1t = E_2t; 4) [n H_2] - [n H_1] = 4pi/c*i, где sigma - поверхностная плотность эл. зарядов, i - поверхностная плотность тока проводимости на границе раздела. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла. Ма т е р и а л ь н ы е уравн е н и я В скалярной форме уравнений Максвелла 8, а величин 16: 3*(E, D, B, H, j) и ro. Остальные 8 уравнений характеризуют свойства среды и называются материальными. В случае слабых э/м полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и времени, для изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения: D = eE, B=muH, j=lE. epsilon, mu, lambda - диэл. и магн. проницаемость и электропроводность.

35 .В о л н о в о е урав н е н и е как сле д с т в и е урав не н и й Максв е л л а Пусть волна бежит без поглощения (jE = lE^2=0 => l=0 - диэлектрик). Допустим, что эл. зарядов нет. Ур. Максвелла: rot H = D'/c, rot E = -B'/c, div D = 0, div B = 0. Если все величины зависят только от x и t, то dH_z/dx = -1/c dD_y/dt, dH_y/dx = 1/c dD_z/dt, dE_y/dx = -1/c dB_z/dt, dE_z/dx = 1/c dB_y/dt, dD_x/dx = dD_x/dt = dB_x/dx = dB_x/dt = 0. D_x, B_x не зависят от x и t, могут быть отброшены. D = eE, B = mH; dH/dx = -e/c dE/dt, dE_dx = -m/c dH/dt. E||OY, H||OZ. d2E/dx2 - 1/v^2*d2E/dt2 = 0, d2H/dx2 - 1/v^2*d2H/dt2 = 0, где v = c/sqrt(em). E и H удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению => возмущение состоит из плоских волн вдоль X со скоростью v. Плоск и е эле к т р о м а г н и т н ы е вол н ы в одно р о д н о й сре д е . Скорост ь расп рос т р а н е н и я . Связь пол е й В и Е в плос ко й эле к т р о м а г н и т н о й волн е . Поп ер е ч н о с т ь эле к т р о м а г н и т н ы х вол н. Из уравнений Максвелла следует существование э/м волн. Они распространяются в пространстве с определенной скоростью, которую можно находить. Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскую плоскость в среде (e, m - проницаемости), совпадающую с XY. Поле нормально к плоскости и равно E = 2pi sigma/e. При движении вдоль оси Х нормальная составляющая не поменяется (можно добавить неподвижную плоскость, заряженную противоположно), а магнитное поле и поперечная составляющая эл. поля появятся! В случае поверхностного тока на плоскости магнитное поле параллельно Y: при z>0 течет в положительную сторону Y и наоборот. Эл. поле будет параллельно Y. Если остановить плоскость, э/м возмущения (волны) будут распространяться в обе стороны от нее. Возьмем два контура - OAMN и OQPA (OA||Z, ON||X, OQ||Y, AM=1). Запишем ур.Максвелла: sum(OAMN) E dl = -1/c dФ_м/dt, sum(OQPA) H dl = 1/c dФ_эл/dt, E = E_x = -1/c dФ_м dt, H = H_y = -1/c dФ_эл/dt. За время dt потоки изменятся на dФ_м = -vB dt, dФ_эл = -vD dt => dФ_м/dt = -vB, dФ_эл/dt = -vD => E = v/c * B, H = v/c * D. Векторно E = -1/c [vB], H = 1/c [vD]. Если применить уравнения D = eE, B = mH, получим E = v/c*mH, H = v/c*eE => v = c/sqrt(em). В вакууме e=m=1, v=c, т.е. электродинамическая постоянная равна скорости света в вакууме.

36 . Монох ро м а т и ч е с к а я гар м о н и ч е с к а я плоска я волн а Пусть волна бежит без поглощения (jE = lE^2=0 => l=0 - диэлектрик). Допустим, что эл. зарядов нет. Ур. Максвелла: rot H = D'/c, rot E = -B'/c, div D = 0, div B = 0. Если все величины зависят только от x и t, то dH_z/dx = -1/c dD_y/dt, dH_y/dx = 1/c dD_z/dt, dE_y/dx = -1/c dB_z/dt, dE_z/dx = 1/c dB_y/dt, dD_x/dx = dD_x/dt = dB_x/dx = dB_x/dt = 0. D_x, B_x не зависят от x и t, могут быть отброшены. D = eE, B = mH; dH/dx = -e/c dE/dt, dE_dx = -m/c dH/dt. E||OY, H||OZ. d2E/dx2 - 1/v^2*d2E/dt2 = 0, d2H/dx2 - 1/v^2*d2H/dt2 = 0, где v = c/sqrt(em). E и H удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению => возмущение состоит из плоских волн вдоль X со скоростью v. Возьмем волну, распространяющуюся в положительном направлении X: E = f(x-vt), H=g(x- vt). Тогда dE/dt = -vf', dH/dx = g', g'=ev/c*f'; g=ev/c*f, H=v/c*D, анал. E = v/c*B, или векторно H=1/c [vD], E = -1/c [vB]. (E, B, v) образуют правовинтовую систему. Монохроматическая волна: E = E0 cos w(t-x/v), H = H0 cos w(t-x/v); k:=w/v - волновое число, E = E0 cos (wt-kx), H=H0 cos(wt-kx). Длина волны l = 2pi/k=2piv/w=v/nu. Волновой фронт wt-kx=const; N - нормаль, x = (Nr) => kx=(kr), k=kN - волновой вектор; E = E0 cos(wt-kr), H = H0 cos(wt-kr); E = E0 exp(i(wt-kr)), H=H0 e(i(wt-kr)). Стояч и е эле к т р о м а г н и т н ы е волн ы Пусть в натянутом шнуре слева направо распространяется поперечная синусоидальная волна s1=a cos(wt-kx). s2 = a cos(wt+kx) - отраженная волна. s = s1+s2 = 2a cos kx cos wt - стоячая волна. сcos kx = 0 -узлы смещения. cos kx = max - пучности смещения. Рассмтояние между соседними узлами/пучностями delta x = lambda/2. Стоячая волна в ограниченном шнуре возможна не при всех частотах: l = n lambda/2. Для эм волн E_y = E0 cos(wt-/+ kx), H_z = H0 cos(wt-/+kx). Стоячая волна E_x = 2E0 cos kx cos wt, H_y = 2H0 sin kx sin wt. В узлах вектор Пойнтинга = 0 => движение энергии ограничено колебаниями между узлом эл. поля и пучностью магн. поля. Отра ж е н и е эле кт р о м а г н и т н о й волн ы от плос ко й пове рх н ос т и ид еа л ь н ог о провод н и к а Рассмотрим волну, падающую на идеально проводящую границу металла. (Здесь и далее E и H берутся с усреднением по времени.) Направление меняется на противоположное => E_r = -E, H_r = H_r, в среде 2H. Появляется ток i || E. По т. о циркуляции 2H = 4pi i/c, i=cH/2pi, давление P = 1/c*iH_внеш = 1/2pi*H^2 с усреднением по времени. Также E=H => P = 1/2pi*EH = 1/4pi * (E^2+H^2) = 2w, w - ср. плотность эм энергии падающей волны. В случае наклонного падения волны появится разрыв не только танг. составляющей H, но и норм. сост. E, на поверхности возникнут заряды. Давление в этом случае имеет двойное происхождение.

3 7 . Волнов о д ы Пусть плоская электромагнитная волна падает на поверхность идеального проводника: вектор k лежит в плоскости (у, z), ось у перпендикулярна плоской поверхности проводника, а ось z параллельна поверхности, т. е. плоская поверхность проводника — плоскость (x, z). Будем полагать, что падающая волна линейно поляризована, причем вектор Е перпендикулярен плоскости (у, z), т. е. имеет только х-компоненту и, следовательно, параллелен поверхности проводника. Уравнение падающей волны имеет вид Е_1х = a cos(wt - k_y y-k_z z); k_x =0; k_y=ksin al, k_z=kcos al. Вновь полагаем, что наряду с волной Е_1х возникает отраженная волна Е'_1х = a' cos(wt - k'_y y-k'_z z), причем ее амплитуда, направление распространения и начальная фаза должны быть выбраны так, чтобы выполнялось граничное условие — равенство нулю тангенциальной компоненты вектора Е в суммарной волне на поверхности (при у = 0). Легко видеть, что это условие выполняется, если амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны (а' = а), угол падения равен углу отражения (аl = аl'), а колебания Е'_1х на поверхности (при у = 0) противофазны с колебаниями (E_1x (fi=pi)), т. е. Е'_1х = a cos(wt + k_y y-k_z +pi), а вектор k' отраженной волны имеет компоненты k'_y = — ky, k'_z=k_z, поэтому аргумент косинуса содержит слагаемое +k_y y вместо слагаемого -k_y y в падающей волне. Действительно, суммарная волна над проводящей стенкой имеет вид: Е_х(у, z, t) = — 2a sin(k_y y) sin(wt — k_z z). На проводящей поверхности (при у = 0): E_x(0,z,t)=0, т. е. требуемое граничное условие выполняется. Обратим теперь внимание, что если на расстоянии d от проводящий стенки (т. е. при у = d) установить вторую проводящую стенку (параллельно первой), причем выбрать расстояние между стенками d так, чтобы d = у = = npi/k_y, то волна в области между стенками 0 < у < d не изменится, поскольку необходимые граничные условия — равенство нулю тангенциальной компоненты поля на проводящих поверхностях (при у = 0 и у = d), автоматически выполняются. При этом E_x(y,z,t)=2a sin (npi y/d) sin(wt-k_z z), где k_z=sqrt(k^2- (npi/d)^2) = sqrt((w/c)^2-n^2(pi/d)^2).

 

37.2.Итак, между двумя параллельными проводящими стенками, расположенными на расстоянии d друг от друга (коридор между стенками представляет собой простейший волновод) могут распространяться волны такого вида. Каждому значению n отвечает свой тип волны — своя "мода" волновода, разным модам отвечают различные конфигурации поля — различные распределения амплитуды колебаний в фиксированном сечении z = const: A_n(y) = 2a sin(n pi y/d). Каждый тип волны, отвечающий фиксированному значению n, можно рассматривать как суперпозицию плоской волны, падающей на проводящую стенку и волны, отраженной стенкой, т. е. каждый тип волны образован суммой двух плоских волн, волновые векторы которых k и k' составляют угол al_n с осью волновода, причем разным n отвечают различные углы al: sin al_n = npi/(kd) = n lambda0 / (2d), где l0 = 2pi/k = 2pi c/w — длина волны в вакууме. Волновые поверхности перемещаются вдоль оси волновода — оси z, причем фазовая скорость может быть найдена из wt — k_z z = const, откуда v_ф = dz/dt = w/k_z = w/sqrt((w/c)^2-n^2(pi/d)^2) = c/sqrt(1-n^2(l0/2d)^2). Как ясно из этого, фазовая скорость волн в волноводе больше скорости света в вакууме. Расстояние между волновыми поверхностями, на которых фаза колебаний отличается на 2pi (т. е. колебания синфазны) — это длина волны в волново- волноводе, равная l = 2pi/k_z = l0/sqrt(1-n^2(l0/2d)^2) > l0. Итак, длина волны в волноводе больше длины волны той же частоты в вакууме. Наконец, ясно, что если k_z — действительное число, то Е_х(у, z, t) действительно представляет собой бегущую вдоль оси z волну с перемещающимися волновыми поверхностями. Для этого необходимо выполнение неравенства (w/c)^2 >= n^2(pi/d)^2. Таким образом, существует критическая частота w_кр — минимальная частота волны, которая может распространяться (бежать) по волноводу. Эта частота отвечает значению п = 1: w_Kp = pi c/d. Соответствующая длина волны в вакууме l_кр = 2pi с/w_кр = 2d — это максимальное значение длины волны в вакууме, которая может бежать по волноводу. Критическому условию отвечает угол аl — направление пары плоских волн, составляющих моду волновода — равный sin аl = l_кр/(2d) = 1, т. е. а = pi/2 - стоячая волна между стенками.

3 8 . Собс тве н н ы е ко л е б а н и я в объё м н ы х резон а т о р а х Если расстояние между плоскостями L = nl/2 (l — длина волны, а n — целое число), то интерференция волн приводит к образованию стоячей волны. По аналогии с волноводами типы колебаний в О. р. классифицируются по группам в зависимости от того, имеет ли пространственное распределение электромагнитного поля осевые или радиальные (поперечные) компоненты. Колебания типа Н (или ТЕ) имеют осевую компоненту лишь магнитного поля; колебания типа Е (или ТМ) обладают осевой компонентой только электрического цоля. Наконец, у колебаний типа ТЕМ ни электрическое, ни магнитное поля не имеют осевых компонентов. Примером О. р., в котором могут возбуждаться колебания ТЕМ-типа, может служить полость между двумя коаксиальными проводящими цилиндрами, ограниченная с торцов плоскими проводящими стенками, перпендикулярными оси цилиндров. E_x = A1 cos k_x x sin k_y y sin k_z z*exp(iwt); E_y = A2 cos k_y y sin k_x x sin k_z z*exp(iwt); E_z = A3 sin k_x x sin k_y y sin k_z z*exp(iwt); K_x L_x = pi*m; K_y L_y = pi*n; K_z*L_z = pi l. n,m,l - только одно может быть равно нулю. K = sqrt(k_x^2+k_y^2+k_z^2) = wsqrt(2)/c => w^2 = c^2/2*(k_x^2+k_y^2+k_z^2); mu = 1. Потери: P = d^2R/2; Q = 2/d*V/S. d - толщина скин-соля, b = c/sqrt(2pi mu l v), l - проводимость.

39. Двухпроводная линия как пример неквазистационарной цепи. Электромагнитная волна в двухпроводной линии. Скорость волны. Волновое сопротивление Два длинных провода, связь которых с генератором может быть емкостной (каждый провод к клемме через конденсатор) или индуктивной (генератор замкнут на катушку, связанную с другой катушкой, которая замыкает два провода). Расстояние между проводами существенно меньше длины волны, длина проводов - больше длины волны. Получаем неквазистационарную цепь, потом что ток в разных местах одного и того же провода будет разный. q(x) - линейная плотность электрического заряда, V(x) - напряжение между проводами на каком-то расстоянии от генератора. Есть контур ADCB, AD на одном проводе, BC на другом. Длина отрезка dx. За время dt через конец A внутрь рассматриваемого участка втекает заряд I(x)dt, а через конец D вытекает заряд I(x + dx)dt. Избыток входящего электричества над выходящим составит - delta I/delta t dx dt q'dx dt - та же величина, представленная по другому (не забываем, что q - линейная плотность). q' = - delta I/delta x Применим теперь к контуру ADCB уравнение sumo E dl = -1/c Ф' dx, sumo(DC) E dl = V(x + dx) sumo (BA) E dl = -V(x) sumo(DC + BA) E dl = delta V/delta x dx sumo (AD + CB) E dl = RI dx Rdx - суммарное сопротивление элементов проводов AD и CB. delta V/delta x + RI = -1/c Ф В дальнейшем будем полагать сопротивление равным нулю. Используем условие квазистационарности по отношению к поперечным размерам линии. C и L - ёмкость и индуктивность единицы длины линии. q = CV, Ф = LI - определение. delta I/delta x = -C delta V/delta t delta V/delta x = - L/c^2 delta I/delta t Формально эти уравнения тождественны волновым уравнениям (с точностью до переменных... похожи они, в общем), поэтому приходим к выводу, что ток и напряжение распространяются вдоль проводов в виде волны со скоростью v = c/sqrt(LC) В бугещей волне напряжение и ток связаны соотношением V = +- WI W - волновое сопротивление W = 1/c sqrt(L/C) Для тонких цилиндрических проводов радиуса a L = 2m ln(d/a) C = e/2ln(d/a) d - расстояние между проводами. v = c/sqrt(em) скорость распространения совпадает со скоростью распространения волн в свободном пространстве.

4 0 . Пото к энерги и . Векто р Пойнт и нг а . Теоре м а Пойнт и нг а . Ур. Максвелла надо дополнить законом сохранения энергии. Пусть вреда неподвижна, тогда при изменении поля и прохождении тока совершается работа dA_внеш = 1/4pi (E dD + H dB) +(jE)dt; du = 1/4pi (ED' + HB') + (jE), u - плотность всей внутренней энергии. Уравнение учитывает не только джоулево тепло, но и тепло ферром. и диэл. гистерезиса. Используя 1 и 2 диф. ур. Максвелла, получаем E(1/4pi D'+j)+1/4pi*HB' = c/4pi*(E rot H - H rot E). E rot H - H rot E = -div [EH]. S := c/4pi*[EH], du/dt + div S = 0 - теорема Умова- Пойнтинга. Вектор S играет роль плотности потока э/м энергии. d/ dt sum(V) u dV = sumo S_n dF, где V - объем, ограниенный F. Вектор потока энергии - вектор Умова. Для э/м энергии - вектор Пойтнигна. При м е р ы при м е н е н и я 1. Поток энергии в плоской э/м волне. Поток энергии направлен в сторону распространения и равен количеству энергии, переносимому в 1 с через 1 см2. S = vw, плотность энергии w = e/4pi * E^2; sqrt(e) E = sqrt(m)H => w = 1/4pi*sqrt(em) EH; S = vw = c/4pi*EH. 2. Выделение джоулева тепла в проводе. По цилиндрическому проводу радиуса r течет постоянный ток J. Магнитное поле на поверхности провода равно H = 2J/(cr) = 2jpi r/c. E || оси провода. S направлен внутрь провода нормально боковой поверхности. Э/м энергия каким-то раком втекает внутрь провода из окружающего пространства. Площадь равна 2pi rl. К-во поступающей за 1 с энергии равно S*2pi rl = c/4pi*EH*2pi rl = pi r^2 l*jE = V*jE. Это равно выделяющемуся количеству тепла. То есть э/м энергия влетает в провод и превращается в тепло. Пиздец. 3. Зарядка конденсатора. Он плоский! Расчет как в предыдущем примере, только j -> D'/(4pi) - плотность тока смещения. За 1 с втекает V/4pi*(ED'), V - объем конденсатора. dW = V/4pi*(ED') dt = V/4pi (EdD). Если D = eE, то W = V/8pi (ED).

 

4 1 . Давл е н и е изл у ч е н и я Максвеллом теоретически было показано, что эм волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Например, для плоской волны в поле проводимостью l возбуждается ток j = lE => на ед. объема действует сила f = 1/c*[jB] = l/c*[EB], направленная в сторону распространения волны. Если проводимости нет, давления нет. Рассмотрим волну, падающую на идеально проводящую границу металла. (Здесь и далее E и H берутся с усреднением по времени.) Направление меняется на противоположное => E_r = -E, H_r = H_r, в среде 2H. Появляется ток i || E. По т. о циркуляции 2H = 4pi i/c, i=cH/2pi, давление P = 1/c*iH_внеш = 1/2pi*H^2 с усреднением по времени. Также E=H => P = 1/2pi*EH = 1/4pi * (E^2+H^2) = 2w, w - ср. плотность эм энергии падающей волны. В случае наклонного падения волны появится разрыв не только танг. составляющей H, но и норм. сост. E, на поверхности возникнут заряды. Давление в этом случае имеет двойное происхождение. Эле к т р о м а г н и т н ы й имп у л ь с Возьмем цилиндрический кусок волны с высотой h = c. Он упадет на металл за секунду. Металл приобретет импульс I_вещ = P = 1/2pi [EH]. Но закон сохранения импульса! => электромагнитный импульс I_эл = -1/2 I_вещ = 1/4pi [EH]. Разделив на площадь, получим импульс на единицу объема, т.е. среднюю плотность эм умпульса g_эл = 1/(4pi c)*[EH] = 1/c^2*S, S - вектор Пойнтинга. Опыт ы Леб е д е в а Лебедев впервые доказал экспериментально существование светового давления на твердые тела и газы.

42. Излучение электромагнитных волн. Излучение колеблющегося диполя (без вывода). Диаграмма излучения. Зависимость мощности излучения от частоты - закон Релея Диполь Герца. S = sin^2(угол от вектора самого диполя) p" ^2 _(t - r/v) N/(4 pi epsilon v^3 r^2) Излучение характеризуется плотностью потока электромагнитной энергии. Диаграмма - две мятые окружности, касающиеся друг друга, в точке касания находится диполь. Чтобы найти сравнительную плотность потока в этом направлении, надо провести линию до пересечения с окружностью. Если колебания синусоидальные, то p" = w^2 p, то есть, мощность излучения пропорциональна четвёртой степени частоты. Индекс t - r/v символизирует, что возмущение распространяется до точки на расстоянии r с запаздыванием, со скоростью v.

43 .От р а ж е н и е и пре л о м л е н и е эл ек т р о м а г н и т н ы х вол н на плоск о й гр ани ц е дву х диэл е к т р и к о в Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через плоскую границу двух диэлектрических сред I и II (одной из них может, в частности, быть и вакуум). Направление электрического и магнитного векторов соответствует правилу, согласно которому k, E, В образуют правую тройку. Мы использовали в качестве магнитного вектора Н, поскольку именно для него будем писать соответствующее граничное условие. Результаты, которые мы получим, можно переносить и на случай искривленной поверхности раздела. Она лишь должна быть гладкой, а радиус кривизны ее должен многократно превосходить характерный пространственный масштаб электромагнитного поля — длину волны. Таким образом мы опишем действие на электромагнитную волну, в частности, поверхности линзы. Все расчеты линз, тонких и толстых, а также и сложных оптических систем базируются именно на законе преломления. Мы будем пользоваться не понятием луча, принятым в геометрической оптике, а более корректным с точки зрения электродинамики понятием волнового фронта; «лучи» — падающий, отраженный и преломленный, представляют в наших терминах нормали к волновому фронту, направление которых задается вектором k. Пусть показатели преломления сред I и II равны, соответственно, n1, n2 (в вакууме — просто единице). Вопрос, на который целесообразно ответить заранее: правомерно ли разделение постановки задачи именно на эти два случая? Не могут ли возникнуть отраженные либо преломленные волны с поляризацией, ортогональной таковой в падающей волне? Ответ: не могут, и это прямое следствие уравнений Максвелла и граничных условий. В силу линейности задачи, мы можем расщепить решение уравнений Максвелла на два линейно независимых, соответствующих двум различным поляризациям. Выбирая решение с одной из поляризаций — той же, что и у падающей волны, мы оперируем с полями трех волн, что позволяет выполнить граничные условия. При попытке выполнить их для другой поляризации нам опять «не хватит» переменных, т. к. в нашем распоряжении будут только две волны, без падающей, так что единственным возможным решением с такой поляризацией окажется нулевое поле. Разумеется, эти рассуждения находятся в полном соответствии с экспериментальными данными. Для случая а (H вниз, E вперед) E1 = E2 => E_i + E_r = E_d. Для случая б (H вперед, Е вверх) H1 = H2 => H_i + H_r = H_d. Далее для случая б будет аналогично, поэтому рассматриваем а.

43.2.Пусть в какой-то момент времени граничное условие выполнено. Однако оно сразу же нарушится, если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех полей. Это означает, что частота всех трех волн должна быть одинаковой (и действительно, отражение от прозрачной среды и преломление в ней «сохраняют цвет»). Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату х. Из поперечности волн и параллельности векторов Еi, Еr, Еd следует, что все три волновых вектора k_i, k_r, k_d лежат в одной плоскости — плоскости падения. Вдоль оси Ох произведения kr вырождаются в k_x*х. Таким образом, граничное условие при равных частотах сводится к следующему: E_i0*exp(ikx sin f) + E_r0 exp(ikx sin f') = Е_d0 exp(k'x sin psi). Мы учли, что из равенства частот для падающей и отраженной волн следует равенство волновых чисел. Для преломленной волны волновое число k' определяется определяется какой-то формулой. Теперь потребуем, чтобы наше граничное условие выполнялось в любой точке оси Ох. Для этого необходимо, чтобы экспоненциальные множители были тождественно равны друг другу, а значит, равны должны быть их аргументы: k sin f = k sin f' = k(n2/n1) sin psi. Таким образом, f=f'; sin f/sin psi = n = n2/n1. n = sqrt(em). Форм у л ы Фре н е л я . Коэффицие н т ы отра ж е н и я и проз ра ч н о ст и . Пол н ое внутр е н н е е отра ж е н и е . Понят и е о нео д н ор о д н ы х волн а хДля простоты положим на мю (m=1), n1=1, n2=n. E_r0 = rE_i0, E_d0 = tE_i0. Если получается отрицательно, надо сдвинуть на пи. H ~ nE. Для случая а имеем [E_t]=0 =>Ei+Er=Ed; [H_t]=0 => Hi cos f + Hr cos f = -Hd cos psi => -Ei cos f+Er cos fi = -n*Ed cos psi; 1+r=t; (1-r) cos f = t(sin f/sin psi) cos psi => r = sin(fi-psi)/sin(fi+psi); t = 2sin psi cos fi/sin(fi+psi). Для случая б: [Et]=0 => Ei cos fi - Er cos fi = Ed cos psi; [Ht]=0 => Hi+Hr=Hd => Ei+Er=sin fi/ sin psi*Ed. t = sin fi/sin psi*(1+r); cos fi/cos psi*(1-r)=sin fi/sin psi*(1+r). r = tg(fi-psi)/tg(fi+psi); t = 2sin psi cos fi / sin(fi+psi)cos(fi-psi). При нормальном падении - коэф. отражения и прозрачности r0 = (n-1)/(n+1); t0 = 2/(n+1). Полное внутреннее отражение: sin f > n2/n1. Угол Брюст е р а Особый интерес представляет возможность полной поляризации отраженного света при fi+psi=pi/2 — при этом r_|| = 0. Это означает, что в отраженном свете вектор Е строго перпендикулярен плоскости падения. Находим соответствующий угол падения fi_B = arctg n. Этот угол называется углом Брюстера. Заметим, что максимальная поляризация отраженного света не соответствует максимальной поляризации преломленного. Еще отметим следующее обстоятельство. Если диэлектрическая пластинка освещается белым светом, то угол Брюстера будет разным для волн разной частоты.

 

4 4 . Скин- эффе к т В металлах можно пренебречь током смещения. Тогда rot H = 4pi/c*j, rot E = -1/c*B'. j=lE, B=mH => j=c/(4pi m)*rot B; rot j = -l/c*B'. Пусть все величины зависят только от x; j||Y, B||Z. dj/dx = -l/c*B'; j = -c^2/(4pi ml)*d/dx*(l/c*B); D = c^2/(4pi ml) - аналог коэф. диффузии. Допустим, что по плоской поверхности металла начинает течь переменный ток с периодом Т. Через Т/2 его направление изменится, за это врем магнитное поле и ток, в соответствии с формулой L=sqrt(Dt) для диффузии, проникнут внутрь металла на глубину L~=sqrt(DT/2)~=c sqrt(T/(8pi ml))~=c/sqrt(8pi ml nu), nu - частота. Это явление - скин-эффект.

4 5 . Квазис т а ц и о н а р н ы е проц е сс ы . Урав н е н и е га р м о н и ч е с к о г о осци л л я т о р а . Свобод н ы е ко л е б а н и я осци л л я т о р а с за ту х а н и е м Квазистац. процесс - ток везде одинаковый. q"+2yq'+w0^2*q = X(t) - уравнение гармонического осциллятора. q"+2yq'+w0^2*q = 0; введем k: q = kexp(-yt); k" + (w0^2 - y^2)k = 0. Случай 1: w0^2 - y^2 > 0. w^2 := w0^2-y^2; k"+w^2 k = 0. k = a cos (wt+b); q = aexp(-yt)*cos(wt+b) - затухающие колебания. T = 2pi/w - период колебаний (ненастоящий). A = ae^(-yt) - амплитуда. t = 1/y - время затухания. d = ln A1/A2 = yT - логарифмический декремент затухания. N = t/T = 1/yT = 1/d. Q := piN = pi/d - добротность. Случай 2: w0^2-y^2 = 0, q = (a+bt)exp(-yt), апериодический процесс. Случай 3: w0^2-y^2 < 0, k = C1exp(-sqrt(y^2-w0^2)t) +C2exp(+sqrt(y^2-w0^2)t); q = C1exp(-a1t) + C2exp(- a2t); a1 = y+sqrt(y2-w0^2); a2 = y-sqrt(y2-w0^2).

4 6 .Коэффиц и е н т зат у х а н и я , лог а р и ф м и ч е с к и й де к р е м е н т , добр о т н о с т ь ко л е б а т е л ь н о г о кон т у р а . Пре в р а щ е н и я эне рг и и при за ту х а ю щ и х ко л е б а н и я х . Энер г е т и ч е с к и й смыс л добр о т н о с т и w0^2 - y^2 > 0. q = aexp(-yt)*cos(wt+b) - затухающие колебания. T = 2pi/w - период колебаний (ненастоящий). A = ae^(-yt) - амплитуда. t = 1/y - время затухания. d = ln A1/A2 = yT - логарифмический декремент затухания. N = t/T = 1/yT = 1/d. Q := piN = pi/d - добротность. Колебательный контур - система из последовательно соединенных конденсатора, катушки L и проводника с омическим сопротивлением R. Ур. Максвелла sum E_l dl = -dФ/dt. 21 - ЭДС, 34 - конденсатор. sum(13) E dl = sum j"/l*dl = J sum dl/Sl = RJ, где R - омическое сопротивение. sum(32) E dl = V = q/C; sum(21) E dl = -ЭДС; dФ/dt + RJ + q/C = ЭДС. Ф = LI; J = dq/dt; d/dt(L dq/dt) + R dq/dt + q/C = EDS; L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = EDS. Введем обозначения: w0^2 = 1/LC, 2y = R/L, X = EDS/ C, тогда q"+2yq'+w0^2*q = X. w0 - собств. частота, y - коэф. затухания.

47. Вынужденные колебания в линейных системах - гармоническая внешняя ЭДС. Частотная характеристика, амплитудная и фазовая характеристики линейных фильтров. Колебательный контур. Резонанс. Ширина резонансной кривой и её связь с добротностью q" + 2yq' + w_0^2 q = X = X_0 exp(iwt) q = q_0 exp(iwt) q = X exp(iwt) / (w_0^2 - w^2 + 2iwy) Это частное решение описывает вынужденные колебания осциллятора. Есть ещё решение со свободными колебаниями, но они экспоненциально убывают и вскоре затухают. tau = 1/y - время затухания. Зависимость амплитуды от частоты - резонансная кривая. Мощность P = Xq' P = -waX_0 cos wt sin(wt - delta) = waX_0sin delta/2 Когда затухание невелико, положения всех максимумов почти не отличаются друг от друга. w = w_0 a_max = X_0/(2 w_0 y) = w_0 a_0/2y Отношение максимального значения амплитуды к статическому отклонению a_0 называется добротностью. Q = a_max/a_0 = w_0/2y = pi/d d - логарифмический декремент. Пусть w_1 и w_2 - частоты, при которых энергия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме. Тогда (w_1^2 - w_0^2)^2 = 4w_1^2 y^2 (w_2^2 - w_0^2)^2 = 4w_2^2 y^2 Считая |w_1 - w_0| << w_0, |w_2 - w_0| << w_0 delta w = w_2 - w_1 = 2y = w_0/Q delta w - ширина, или полуширина резоннсной кривой. Линейная колебательная система - все производные входят в неё только в первой степени. При изучении общих свойств линейных систем (фильтров) обычно не интересуются их конкретным устройством. Систему изображают в виде блок-схемы. Внешнее воздействие f(t) называется «входным сигналом» фильтра, а искомая зависимость S(t) — выходным сигналом (или откликом) фильтра. Квадратик представляет собой некоторое устройство, преобразующее входной сигнал f(t) в выходной сигнал S(t). Тот факт, что S(t) является откликом на внешнее воздействие f/(t), будем записывать в виде операторного равенства S(t) = L [f/(t)]. (В результате действия некоторого линейного оператора L на входной сигнал f/(t) получаем сигнал на выходе S(t).) Фундаментальное свойство всех линейных систем (независимо от их конкретного устройства) состоит в следующем: результат нескольких одновременных воздействий можно найти, суммируя результаты, к которым приводит каждое отдельное воздействие. Убедимся в этом на примере гармонического осциллятора. Пусть внешняя сила описывается функцией f_1(t). Возникающий при этом процесс колеба- колебаний — функцией S_1 (t). Мы имеем уравнение S_1" + 2 delta S_1' + w_0^2 S_1 = w_0^2 f_1(t) S_2" + 2 delta S_2' + w_0^2 S_2 = w_0^2 f_2(t) f(t) = C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) S(t) = C_1 S_1(t) + C_2 S_2(t) Спектр выхода суммы равен сумме спектров всех входов по отдельности - частотная характеристика. Амплитудная и фазовая характеристики для каждой частоты ищутся по векторным диаграммам.

 

4 8 . Проц е сс ы уст а н о в л е н и я выну ж д е н н ы х ко л е б а н и й Сила X = X0 cos wt; q"+2yq'+w0^2*q = X(t); q"+2yq'+w0^2 q = X0exp(iwt); q = q0exp(iwt) - частное решение. q' = iwq, q" = -w^2*q; q = X0/(w0^2 - w^2+2iwy)*exp(iwt) - вынужденные колебания с частотой внешней силы w. q = X0/(w0^2 - w^2+2iwy)*exp(iwt) + exp(-yt)*(C1 cos w0t + C2 sin w0t). Добавленное общее решение - свободные колебания. За большое время они затухнут, останутся только вынужденные, не зависящие от начальных условий. Найдем вещ. часть. w0^2-w^2+2iwy =: ro exp(ib), где ro,b-вещ. q = X0/ro*exp(i(wt-b)), q = a cos (wt-b); w0^2- w^2 = ro cos b, 2wy = ro sin b, => a = X0/sqrt((w0^2- w^2)^2+4w^2y^2), tg b = 2wy/(w0^2-w^2). Бие ни я Биения - эффект возникновения колебания с меняющейся амплитудой при сложении двух волн, немного отличающихся по частоте: a cos((w0+W)t) + a cos((w0-W)t) = 2a cos Wt cos w0 t. 2W - разность частот. a(t) = 2a cos Wt.

4 9 . Р а с ч ё т цеп е й , сод е р ж а щ и х сопро т и в л е н и я , инд у к т и в н о с т и и ё м ко с т и при га р м о н и ч е с к о м вне ш н е м возд е й с т в и и . Ме т о д комп л е к с н ы х а мп л и т у д . Век т о р н ы е диа г р а м м ы . Резон а нс то ков и резо н а н с на п ря ж е н и йВекторная диаграмма: колеблющаяся величина как вектор, вращающийся вокруг начала координат, значение величины подразумевается равным значению проекции на ось Х. Метод комплексных амплитуд: x = a cos (w0t+b), y = a sin (w0t+b); e^(i fi) = cos fi + i sin fi; z = aexp(i(w0t+b)). Re(z)=x - гармонические колебания. Можно писать x = a exp(i(w0t+b)). A := a exp(ib) - комплексная амплитуда. x = Aexp(iw0t) Пассивным элементам припишем комплексные сопротивления (импеданс): Z_L = iOmegaL; Z_R = R; Z_C = 1/(iOmegaC). Можно применять закон Ома. Предположим, что мы при заданной амплитуде варьируем частоту внешней ЭДС. При U_L = U_C - резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов). Рез. частота равна w0 = 1/sqrt(LC). При этом Z = R. Для параллельного соединения - резонанс токов.

5 0 . Прави л а Кирхгоф а для пер е м е н н ы х токов 1 правило Кирхгофа: в каждой точке разветвления проводов сумма сил токов равна нулю. Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков. 2 правило Кирхгофа: выделим в сети произвольный замкнутый контур из проводов. сумма ЭДС, действующих в таком контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивления. Д- во: запишем закон Ома для каждого из 3 участков в виде fi1- fi2+E3=I3R3, складываем: E1+E2+E3=I1R1+I2R2+I3R3. Если источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то ЭДС>0. Первое правило применимо, т.к. точки схождения проводов обладают пренебрежимо малыми емкостями и в них не могут накапливаться заряды. Второе правило применимо, если заменить омические сопротивления на импедансы. Это следует непосредственно из ур. Максвелла sum (E dl) = -dФ/dt. Рабо т а и мо щ н ос т ь пе ре м е н н о г о тока Работа dA = EDS dq, dq - прошедший заряд. P = EDS dq/dt = EJ. Для умножения надо перейти к вещ.форме, EDS = EDS0 cos wt, J=J0 cos(wt-b), P = 1/2 EDS0 J0 cos b. EDS0, J0 - амплитудные значения напряжения и тока. Эффективные значения EDS_эфф^2 = 1/T*sum(0,T) EDS^2 dt, J_эфф^2 = 1/ T*sum(0, T) J^2 dt. Для синусоидальных токов Eэ = E0/sqr(2), Jэ = J0/sqr(2). P_сред = ЭДС_эфф J_эфф cos b.

51. Вынужденные колебания в линейных системах под действием негармонической внешней силы – спектральный анализ линейных систем Теорема Фурье. Всякуя функция с периодом Т представима в виде суммы синусоид с периодами T/2, T/3 ... f(t) = Sigma c_k E^(i w_k t), функция равна вещественной части ряда, стоящего справа. c_m = 1/T sum(0, T) f(t) exp(-i w_m t) dt Отсюда получаем и спектры. Если же функция непериодична, сумма фурье заменяется интегралом: X(t) = sum(0, inf) a(w) exp(iwt) dw a(w) = 1/2pi sum(-inf, inf) X(t) exp(-iwt) dt Частоты такого спектра непрерывно заполняют определённый интервал.

 

52 . Мод у л и р о в а н н ы е ко л е б а н и я . Амп л и т у д н а я и фазов ая мо д у л я ц и я . Векто р н о е изобр а ж е н и е мо д у л и р о в а н н ы х кол е б а н и й . Спек т р ы кол е б а н и й , мо д у л и р о в а н н ы х по ам п л и т у д е и фазе - при синусои д а л ь н о й мо д у л я ц и и S(t) = a(t) cos(w0t + fi(t)) - модулированные колебания. a(t) = a0 (1+m cos Omega t), m <= 1 - глубина модуляции. S(t) = a0 (1+mcos Omega t) cos w0t = a0 cos w0t+(a0m/2) cos (w0+Omega)t+ (a0m/2)cos(w0-Omega)t. S1 - несущее колебание, S2, S3 - боковые гармоники. S1 неподвижно, S2 и S3 вращаются с частотой Omega. fi(t) = m cos Wt. m - амплитуда поворотов вектора S. S(t) = a0 cos w0t + a0m/2 cos ((w0+W)t+pi/2) + a0m/2 cos ((w0-W)t+pi/2).

53. Представление модулированных сигналов в виде суперпозиции гармонических колебаний. Опыты Мандельштама. Понятие о разложении Фурье - ряд Фурье, интеграл Фурье. Примеры спектральных разложений. Соотношение неопределённостей Теорема Фурье. Всякуя функция с периодом Т представима в виде суммы синусоид с периодами T/2, T/3 ... f(t) = Sigma c_k E^(i w_k t), функция равна вещественной части ряда, стоящего справа. c_m = 1/T sum(0, T) f(t) exp(-i w_m t) dt Отсюда получаем и спектры. Если же функция непериодична, сумма фурье заменяется интегралом: X(t) = sum(0, inf) a(w) exp(iwt) dw a(w) = 1/2pi sum(-inf, inf) X(t) exp(-iwt) dt Частоты такого спектра непрерывно заполняют определённый интервал. Примеры разложений: какой-нибудь модулированный косинус.   Соотношение неопределённойстей: delta E delta t >= h(с планкой)/2 delts nu delts t >= h ширина спектра на характерное время. Это на лабах проверяли.

55. Параметрические колебания. Условия возбуждения индуктивной параметрической машины, параметрический резонанс Допустим, индуктивность или ёмкость, или и то и другое одновременно меняются с помощью какого-то механизма со временем. Колебания: dФ/dt + RI + q/C = 0 d/dt(L dq/dt) + R dq/dt + q/C = 0 Через каждую четверть периода скачкообразно меняя индуктивность, например, можно получить увеличение амплитуды в геометрической прогрессии со знаменателем (L_2/L_1), такое явление называется параметрическим резонансом. Условие: при определённых условиях системы становятся неустойчивыми, склонными к возбуждению колебаний при отклонении от положения равновесия.

58. Понятие о плазме. Дебаевский радиус. Дебаевская сфера. Дебаевское экранирование. Плазменные колебания и плазменная частота Плазма - ионизированный квазинейтральный газ, занимающий настолько большой объём, что в нём не происходит сколько-нибудь заметного наружения квазинейтральности из-за тепловых флуктуаций. Квазинейтральный газ - газ, в котором с высокой точностью равны концентрации положительных и отрицательных зарядов. Оценим размеры области, в которой могут происходить заметные нарушения квазинейтральности, предполагая, что все заряды по модулю равны e. Пусть такая плазма заполняет пространство между плоскостями AB и MN. Допустим, что из-за тепловых флуктуаций отрицательные заряды сместились вверх на расстояние l. Тогда на границах плазмы возникнут макроскопические заряды противоположных знаков с поверхностной плотостью sigma = nle, где n - концентрация частиц одного знака заряда. Напряжённость электрического поля в плазме будет E = 4 pi sigma = 4 pi nle, а плотность электрической энергии E^2/(8 pi) = 2 pi (nle)^2. Поскольку энергия электрического поля взялась из тикают лэнгмюровские колебания плотности заряда в плазме. Электронная плазменная частота колебаний определяется при этом выражением (2) Для термоядерной плазмы, напеплового движения частиц, она не может превышать 3nkT (поровну на отрицательные и положительные), и l < D, D = sqrt(kT/(2 pi n e^2)) D - дебаевский радиус или дебаевская длина. То есть, линейные размеры плазмы должны сильно превосходить дебаевский радиус. Только при сохранении квазинейтральности плазма ведёт себя как связанный коллектив заряженных частиц, а не как совокупность невзаимодействующих частиц. Например, если в плазме есть градиент концентрации, положительные и отрицательные ионы перемещаются с одной и той же скоростью в одном направлении. Такая диффузия называется амбиполярной. Физически выравнивание скоростей диффузии ионов разного знака происходит из-за того, что, когда одни ионы скопились в одной части плазмы, возникает электрическое поле, которое выравнивает скорости ионов. Восстановление науженной квазинейтральности похоже на возникновение упругих сил в твёрдых телах. Например, это позволяет возникать колебаниям, которые в плазме гораздо более разнообразны, чем в незаряженном газе.

58.2.Сфера Дебая. В объеме плазмы выделяется шар с радиусом, равным радиусу Дебая, и подсчитывается число частиц N, содержащихся в этом шаре. N = 4/3 pi n D^3. Вводят порядок отношения энергии взаимодействия частиц к энергии теплового движения: g = e^2 n^(1/3)/(kT) << 1 для того, чтобы плазма могла считаться идеальной.

N ~ g(-3/2) >> 1, чтобы плазма могла считаться идеальной.

Дебаевская длина — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в плазме. Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды. Это - явление дебаевского экранирование: поляризация быстро начинает компенсироваться колебаниями. Плазменные колебания - колебания плотности заряда. Можно показать, что w = sqrt(4 pi e^2 n/m)

mx + 4 pi n e^2 x = 0

4 pi n e x - поле, получающееся при смещении слоя частиц на x, получаются две заряженные плоскости с плотностью sigma = nle, дальше получаем обычное уравнение гармонических колебаний, из которого и получим частоту.

59. Диэлектрическая проницаемость плазмы

E = E_0 exp[i(kr - wt)] - поле волны, проникающей в плазму.

Напишем уравнение двивижения электронов в поле

волны

m d^2 r_E/ d t^2 = -e E_0 exp[r(kr - wt)]

Здесь мы пренебрегли магнитным полем.

Здесь под г_E = (х_Е, у_Е, z_E) подразумевается лишь осцилляция электрона в волне.

г_E = е/(m w^2) Ео exp[i(kr - wt)]

epsilon E = D = E + P

P = - n e r_E = - n e^2 / (mw^2) E

Отсюда следует, что

epsilon = 1 - w_p^2 / w^2

w_p - плазменная частота, выведенная в предыдущем вопросе (проще говоря, частота собственных колебаний плотности заряда в плазме)