Принцип относительности Галилея
Вопрос № 5
Сила упругости, трения, однородная тяжести, гравитационная.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.
В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.
Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).
Закон Гука.
В простейшем случае одномерных малых упругих деформаций формула для силы упругости имеет вид:
,
где 
— жёсткость тела, 
— величина деформации .
В словесной формулировке закон Гука звучит следующим образом:
Сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела относительно других частиц при деформации.
Сила трения
При наличии относительного движения двух контактирующих тел силы трения, возникающие при их взаимодействии, можно подразделить на:
Трение скольжения — сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.
Трение качения — момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.
Трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.
Основная формула: F=M*N, где M-коэффициент трения, N-сила реакции опоры.
Сила тяжести
Силу, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли, называют силой тяжести.По закону всемирного тяготения на поверхности Земли (или вблизи этой поверхности) на тело массой m действует сила тяжести
Fт=GMm/R2
где М - масса Земли; R - радиус Земли.
Если на тело действует только сила тяжести, а все другие силы взаимно уравновешены, тело совершает свободное падение. Согласно второму закону Ньютона и формуле (2,28) модуль ускорения свободного падения g находят по формуле
g=Fт/m=GM/R2.
Из формулы (2.29) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m падающего тела, т.е. для всех тел в данном месте Земли оно одинаково. Из формулы (2.29) следует, что Fт = mg. В векторном виде
Fт=mg
В 1687 г. Ньютон установил один из фундаментальных законов механики, получивший название закона всемирного тяготения: любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Эту силу называют силой тяготения (или гравитационной силой).
Формула закона всемирного тяготения для материальных точек
Если взаимодействующие между собой тела можно считать материальными точками или же если они имеют правильную сферическую форму, то формула закона всемирного тяготения имеет вид
F=Gm1m2/r2 (2.26)
где F - модуль силы тяготения; m1 и m2 - массы материальных точек; r - расстояние между ними; G - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной.
Силы, с которыми взаимно притягиваются тела по закону всемирного тяготения, являются центральными, т. е. они направлены вдоль прямой, соединяющей центры взаимодействующих тел.
Гравитационная постоянная
Из (2.26) при m1=m2=m имеем
G=Fr2/m2.
Из этой формулы видно, что гравитационная постоянная численно равна силе взаимного тяготения двух материальных точек, имеющих массы, равные единице массы, и находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
Числовое значение гравитационной постоянной устанавливают экспериментально. Впервые это сделал английский ученый Кэвендиш с помощью крутильного динамометра (крутильных весов).
В СИ гравитационная постоянная имеет значение
G = 6,67·10-11 Нм2/кг2.
Следовательно, две материальные точки массой 1 кг каждая, находящиеся друг от друга на расстоянии 1 м, взаимно притягиваются гравитационной силой, равной 6,67·10-11 Н.
Вопрос № 6
Вес тела.
Сила, с которой тело, находящееся под действием силы тяжести, действует на подставку или подвес, называется весом тела. В частности, если тело подвешено к динамометру, то оно действует на динамометр с силой своего веса. По третьему закону Ньютона динамометр действует на тело с такой же силой. Если при этом динамометр и подвешенное к нему тело покоятся относительно Земли, то, значит, сумма сил, действующих на тело, равна нулю, так что вес тела равен силе притяжения тела Землей. Таким образом, подвешивая тело к динамометру, мы можем определить вес тела и равную ему силу притяжения тела Землей. Поэтому динамометры нередко называют пружинными весами.
Сила веса возникает в результате притяжения Земли, но по величине может отличаться от силы притяжения Земли. Прежде всего, это может быть в тех случаях, когда кроме Земли и подвеса на данное тело действуют какие-либо другие тела. Так, если тело, подвешенное к весам, погружено в воду, то оно будет действовать на подвес со значительно меньшей силой, чем сила притяжения Земли. Эти случаи будут рассмотрены позднее (см. далее, гл. VII), а сейчас рассмотрим, почему необходимо, как только что было оговорено, чтобы весы и взвешиваемое тело покоились относительно Земли.
Вопрос № 7
Работа, мощность.
Работа силы
мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы F и от перемещения s точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянная, а перемещение прямолинейно, то работа А = F·s cos, где — угол между направлениями силы и перемещения.
Работа силы (сил) над одной точкой
Работа нескольких сил определяется естественным образом как работа их равнодействующей (их векторной суммы). Поэтому дальше в этом параграфе будем говорить об одной силе.
При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения[3]:
Здесь точкой обозначено скалярное произведение[4], 
— вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила 
постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.
Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл
(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений 
если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).
Если существует зависимость силы от координат, интеграл определяется следующим образом:
,
где 
и 
— радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.
Cледствие: если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.
Работа силы (сил) над системой или неточечным телом
Работа сил над системой материальных точек определяется как сумма работ этих сил над каждой точкой (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в суммарную работу этих сил над системой.
Даже если изначально тело не является системой дискретных точек, можно разбить его (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых считать материальной точкой, вычисляя работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл.
Эти определения могут быть использованы как для какой-то конкретной силы или класса сил — для вычисления именно их работы отдельно, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.
Мощность
Мощность, физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена. Если работа производится равномерно, то М. определяется формулой N = A/t, где А — работа, произведённая за время t; в общем случае N = dA/dt; где dA — элементарная работа, производимая за элементарный промежуток времени dt (обычно 1 сек). М. измеряется в ваттах, а в технике иногда в лошадиных силах.
Вопрос № 12
ЦЕНТР МАСС (центр инерции) тела (системы материальных точек) - точка, характеризующая распределение масс в теле или механическлй системе. При движении тела его центр масс движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к которой приложены все силы, действующие на это тело. Понятие центра масс отличается от понятия о центре тяжести тем, что последнее имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести.
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:
где
— радиус-вектор центра масс,
— радиус-вектор i-й точки системы,
— масса i-й точки.
Описание свойств.
Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую из составляющих его частей, a mi — масса одной из этих частей. Действующая на нее сила тяжести будет тогда равна произведению mi на g. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяжение всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вращалось? Ответ: сила должна проходить через центр масс. Доказывается это следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю, ибо если нет момента сил, то нет и изменения момента количества движения, а поэтому нет и вращения. Таким образом, мы должны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось проходит через центр масс. Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, направленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме
|
Чтобы полный момент отсутствовал, сумма mixi должна быть равна нулю. Но эта сумма равна MX — полной массе, умноженной на расстояние от оси х до центра масс. Итак, это расстояние должно быть равно нулю.
Разумеется, мы провели проверку только для x-направления, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, поэтому, повернув его на 90°, мы вместо оси х получим ось у. Другими словами, если держать тело за центр масс, то параллельное гравитационное поле не дает никакого момента сил. Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллельность сил притяжения, то точку, в которой должна быть приложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно помнить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных сил взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты этих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который ускоряется вместе со всем его содержимым. Тогда, с точки зрения наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствие инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе говоря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравновешивается силой инерции», которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика. Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело находится в однородном гравитационном поле, величина g которого равна ускорению ящика . Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют момента относительно центра масс.
Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента количества движения остается справедливым даже для ускоряющегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях; 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.
Вопрос № 13
Момент импульса частицы. Моментом импульса L частицы Aотносительно точки О называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора частицы на ее импульс p:
L = [r·p] = [r·mv]. (7.1)
В общем случае произвольного движения относительно точки О модуль момента импульса частицы равен:
L = r·m·v·sin() = R·m·v,
где R - плечо импульса частицы относительно точки О
В общем случае произвольного движения относительно точки О модуль момента импульса частицы равен:
L = r·m·v·sin() = R·m·v,
где R - плечо импульса частицы относительно точки О
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:
где 
— радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.
(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как 
где 
— импульс бесконечно малого точечного элемента системы).
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.
Момент силы частицы определяется как векторное произведение:
где — сила, действующая на частицу, а 
— радиус-вектор частицы.
Если сила F направлена под углом к рычагу r, то M = r*F*sin, где это угол между рычагом и приложенной силой.
Момент силы — производная по времени от момента импульса,
,
где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.
Уравнение моментов
- уравнение моментов:
скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки 
во времени в выбранной системе отсчета равно моменту равнодействующей силы относительно той же точки.
С помощью уравнения моментов решаются две задачи:
1. Известно: 
найти 
.
2. Известно: 
найти 
за 
.
- импульс момента силы.
Закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц
Вопрос №14
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси 
, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами 
, находящиеся на расстоянии 
от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами 
опишут окружности различных радиусов 
и имеют различные линейные скорости 
. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:
(1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:
.
Используя выражение (1), получаем:
,
где 
– момент инерции тела относительно оси .
Кинетическая энергия при плоском движении.
Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:
| (3.37) |
где 
- скорость центра масс тела, 
- скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:
| (3.38) |
так как 
(суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
Вопрос № 17
При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором 
относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка.Vi = wRi — её линейная скорость.
Рис. 9.2
Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:
. (9.1)
В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.
Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:
.
Заметим, что для всех частиц 
, поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:
Li = miriVi = miriwRi.
Так как 
образует угол ai с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:
= LiCosai = miriwRiCosai = miwRi(riCosai) = miw 
. (9.2)
Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:
. (9.3)
Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.
Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:
или
. (9.4)
Здесь: Mz — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;
wz — угловая скорость вращения;
— новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;
Lz = Izwz — момент импульса тела относительно оси z.
Если момент инерции твёрдого тела Iz не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:
. (9.5)
Здесь = 
— угловое ускорение вращающегося тела.
Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Вопрос №20
Преобразования Лоренца - преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца отражают равноправие всех инерциальных систем отсчёта в описании законов природы. Если инерциальная система отсчёта K' движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид
 y = y', z = z', 
| (1) |
c - скорость света в вакууме, = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.
c - скорость света в вакууме, = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.
При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея
x = x' + vt, y = y', z = z', t = t'.
Из преобразований Лоренца следует, что промежутки времени t и отрезки длины l зависят от движения системы отсчёта. Если в системе K' два события, происходящие в одном и том же месте, разделены интервалом времени t', то в системе K эти же происходящие в разных местах события разделены промежутком времени t
Если отрезок, покоящийся в системе K', имеет длину l', то его длина l в системе K, т.е. расстояние между двумя одновременными в K событиями регистрации положения концов отрезка, принимает значение
Поперечные размеры тел при этом не изменяются.
Формулы преобразования скорости:
Электрическое поле E и магнитное поле H при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:
Координаты 4-мерного вектора энергии-импульса с компонентами (/c, px, py, pz) при преобразовании Лоренца преобразуются следующим образом:
Энергия частицы 
Импульс частицы 
Преобразования Лоренца, указывающие на относительность промежутков времени и отрезков длины между двумя событиями, оставляют инвариантной, т.е. не зависящей от выбора системы отсчёта, их комбинацию, называемую интервалом.
Инвариантом при преобразовании Лоренца является также квадрат 4-вектора энергии-импульса
Рис. 1. 5
Рассматривая угловые кинематические характеристики, отнесем их к движению частицы по окружности. Пусть частица движется по окружности в плоскости XY, вращаясь вокруг оси Z ( рис. 1.5,а ). Положение частицы на окружности можно задать углом Dj радиуса-вектора r с осью Х. Чтобы с помощью элементарного угла Dj определить не только изменение положения, но и направление движения частицы, введем вектор DY, которому условно припишем направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит дуга DS так, чтобы направление движения и направление вектора DY были связаны как вращение рукоятки буравчика (с правой нарезкой) и поступательное движение буравчика (рис. 1.5,б). Определим далее угловую скорость и угловое ускорение. Угловой скоростью называется вектор w = Dj /dt (1.17)
Численно угловая скорость w равна углу поворота радиуса-вектора материальной точки в единицу времени (или углу поворота тела в единицу времени, если речь идет о вращении тела). Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежит дуга, описываемая материальной точкой, или направлена вдоль оси вращения тела (рис. 1.6 а,б ).
Рис. 1.6.
Угловое ускорение (быстрота изменения угловой скорости) определяется уравнением
e = dw/dt ( 1.18)
Угловое ускорение можно выразить и как вторую производную угла поворота радиуса- вектора по времени. Будем обозначать угловое ускорение греческой буквой e.
Направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости, если движение ускоренное и противоположно, если движение замедленное.
Угловые кинематические характеристики движения связаны с линейными достаточно простыми соотношениями. Найдем эту связь. Обратимся к рис. (1.7 а,б).
Рис.1.7.
Точка движется по окружности радиуса R. Примем центр окружности за начало отсчета. Из чертежа ясно следующее :
V = dS/dt = Rdj /dt = Rw (1.22)
Вектор v перпендикулярен плоскости, в которой лежат R и w, угол между R и w равен 90 градусам. Следовательно, можно записать векторное равенство
V = [wR] (1.23)
a=dV/dt = d(wr)/dt = [dw/dt]r + [dr/dt]w (1.24)
a = [er]+[ wV ]
Первое слагаемое в правой части (1.24) представляет собой вектор, направленный по касательной к траектории точки, движущейся по окружности, и является, следовательно, тангенциальным ускорением
at = [er] (1.25)
Второе слагаемое в (1.24) - вектор, направленный по радиусу кривизны к центру траектории. Это нормальное ускорение
an = [wV] (1.26)
Если за начало отсчета выбран центр окружности, по которой движется точка, то модули ускорений определяются как
at = eR; an = wV = w2R (1.27)
Вопрос № 9
Кинетическая энергия и ее связь с результирующей силой.
Кинетическая энергия определяется соотношением 
. Кинетическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Покажем, что это именно так. Напишем уравнение движения частицы.
Умножим обе части на ds.
Из определения скорости известно, что 
. Отсюда 
Подставим в наше выражение.
Заменяя 
, получим
Из этого выражения видно, что приращение энергии - это есть работа. Также можно заметить, что 
. Отсюда 
. Приращение кинетической энергии – это есть приращение работы и наоборот. Если проинтегрировать выражение (*), то получим
Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии.
Вопрос № 10
Собственная и внешняя потенциальная энергия системы материальных точек. Полная механическая энергия системы в поле внешних консервативных сил, ее связь с работой неконсервативных и сторонних сил. Закон сохранения полной механической энергии. Универсальный закон сохранения энергии.
а) Определим понятие потенциальной энергии. Пусть есть поле консервативных сил. Значение силы в каждой точке этого поля определяется некоторой функцией координат 
, которую определим следующим образом. Выберем произвольную точку О и примем значение функции в ней 
. В любой другой точке определим 
как сумму и работы 
, совершаемой силами поля при перемещении из точки В в точку О:
Поскольку работа в поле консервативных сил не зависит от пути, значения в каждой точке поля определяются однозначно.
Такая функция называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле и измеряется, как и 
, в Дж.
б) Рассмотрим взаимодействие частиц внутри системы. Возьмем простейшую систему из двух материальных точек. Силы, с которыми они взаимодействуют, будем полагать направлены вдоль прямой, соединяющей обе частицы, и зависят от расстояния между частицами.
Найдем работу внутренних сил.
dr1 – перемещение первой частицы
dr2 – перемещение второй частицы
Выражение 
, т.к. по третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величины и противоположны по направлению. 
(см. рис.) говорит о том, что работу взаимодействуя двух частиц можно вычислять, считая одну из частиц неподвижной. Если опустить индексы, то получим выражение:
В случае гравитационного взаимодействия:
Для системы из N частиц, общая потенциальной энергии взаимодействия система будет равна сумме всех взаимодействий частиц взятых попарно. Например для системы из трех частиц 
.
Примером потенциальной энергии внутреннего взаимодействии является пружина. При ее сжатии и растяжении изменяется именно эта энергия.
в) Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией частицы.
Кинетическая и потенциальная энергия могут переходить одна в другую. Однако, полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остаётся постоянной (закон сохр. полн. мех. эн.).
Работа неконсервативных сил приводит к изменению общей энергии (потенциальной энергии внутреннего взаимодействия и/или кинетической энергии и/или потенциальной энергии).
г) Универсальный закон сохранения энергии заключается в том, что полная энергия системы всегда остается постоянной. Энергия является неуничтожимой и может только переходить из одного вида в другой.
В основе закона сохранения механической энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени в разных системах координат (время абсолютно).
Вопрос № 11
Импульс частицы - это произведение ее массы на скорость 
. Другое название этой величины - количество движения. Опыт и соответствующий анализ механических явлений показывают, что механическое движение тел характеризуется двумя величинами, которые являются основными мерами механического движения тел: первая - скалярная, вторая - векторная. Это кинетическая энергия 
и импульс частицы 
.Обе они играют центральную роль во всем построении механики.
Перейдем к более подробному рассмотрению импульса. Прежде всего, запишем основное уравнение ньютоновой динамики (3.6) в иной форме-через импульс:
| (4.1) |
т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если 
. то 
то есть при такой записи видна четкая логическая связь между 1 и 2 законами Ньютона : первый закон утверждает, что импульс является сохраняющейся в отсутствии взаимодействия мерой движения, а второй описывает ее изменение при наличии взаимодействия.
Заметим, что в неинерциальной системе отсчета результирующая сила 
включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими телами, но и силы инерции.
Уравнение (4.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы от времени. Действительно, из (4.1) следует, что элементарное приращение импульса частицы за промежуток времени 
есть 
Последняя величина называется импульсом силы. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени 
:
| (4.2) |
Если сила 
то вектор 
можно вынести из-под интеграла и тогда 
. Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу действующей на нее силы за то же время.
Пример. На частицу, которая в начальный момент 
имела импульс 
, действует в течение промежутка времени 
сила 
, где 
постоянный вектор. Найти, импульс частицы после окончания действия этой силы. Согласно(4.2), получим 
Перейдем к рассмотрению более сложного случая. Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие импульса системы как векторной суммы импульсов ее отдельных частиц:
| (4.3) |
где 
- импульс 
частицы. Заметим, что импульс системы 
- величина аддитивная, т. е. импульс системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.
Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференцируем соотношение (4.3) по времени:
Согласно (4.1),
где 
- силы, действующие на 
частицу со стороны других частиц системы, которые обычно называют внутренние силы; 
- сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему, т.е. равнодействующая внешних сил. Подставив последнее выражение в предыдущее, получим
В этом равенстве двойная сумма справа - это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее уравнение принимает следующий вид:
| (4.4) |
- результирующая всех внешних сил 
.
Уравнение (4.4) означает: производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы.
Как и в случае одной частицы, из уравнения (4.4) следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени есть
| (4.5) |
т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. В соотношении (4.5), конечно, 
результирующая всехвнешних сил, действующих на тела системы.
Уравнения (4.4) и (4.5) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета, если в неинерциальной системе отсчета учесть и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под в этих уравнениях надо понимать сумму 
, где результирующая всех внешних сил взаимодействия - это 
, а результирующая всех сил инерции обозначена 
.
Из уравнения (4.4) можно сделать важный вывод - импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы независимо от их конкретного вида. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения им пульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем:
| (4.6) |
При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение импульса, можно утверждать, что это. приращение произошло за счет убыли импульса в окружающих телах.
В этом смысле уравнение (4.4) и. (4.5) следует рассматривать как более общую формулировку закона изменения импульса, формулировку, в которой указана причина изменения импульса у незамкнутой системы - действие других тел, то есть внешних сил. Сказанное справедливо, разумеется, только по отношению к инерциальным системам отсчета.
Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю. Это непосредственно вытекает из уравнений (4.4) и (4.5). В практическом отношении сохранение импульса в этих случаях представляет особый интерес, ибо дает возможность получать достаточно простым путем ряд заключений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса.
Кроме того, у незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс , а его проекция 
на некоторое направление 
. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы на направление равна нулю, т. е. вектор перпендикулярен ему. Действительно, спроектировав уравнение (4.4), получим
| (4.7) |
откуда следует, что если 
, то 
. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление, при любых внутренних процессах в системе.
Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц)замкнутой системы есть величина постоянная.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.
Рассмотрим второй закон Ньютона
Перепишем его для системы из N частиц:
где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида 
и 
будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть 
Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:
или
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
(постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.
Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.
Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса 
зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.
Вопрос №18
Преобразования Галилея — в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой[1]. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году.[2] Преобразования Галилея подразумевают одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время»[3]) и выполнение принципа относительности (принцип относительности Галилея (см. ниже)).
Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже больших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.
Если ИСО S движется относительно ИСО S' с постоянной скоростью 
вдоль оси 
, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:
или, используя векторные обозначения,
(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).
Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).
Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:
Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей 
(много меньше скорости света).
Достаточно продифференцировать в формуле преобразований Галилея, приведенной выше, и сразу же получится приведенная в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.
Приведем более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчета одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.
Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчета на вектор 
,
где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчета K обозначим за , а в системе отсчета K' — за 
,
подразумевая, как всегда в классической механике, что время 
в обеих системах отсчета одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: 
.
Тогда в любой момент времени
и в частности, учитывая
,
имеем:
где:
— средняя скорость тела A относительно системы K;
— средняя скорость тела А относительно системы K' ;
— средняя скорость системы K' относительно системы K.
Если 
то средние скорости совпадают с мгновенными:
или короче
— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).
Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что эти системы движутся поступательно друг относительно друга:
Принцип относительности Галилея
Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть 
, то ускорение 
тела относительно обеих систем отсчета одинаково.