Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Жне де кезде . Енді шек есептесек .

б)

Лопиталь ережесі арылы аныталмаандыты ашу.Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) жне g(x) функциялары ( ) жадайда нолге немесе шексіздікке мтылсын. Егер оларды туындыларыны атынасыны шегі (аырлы не аырсыз) бар болса, функциялар атынасыны да шегі бар болады жне мына атынас орындалады: . Лопиталь ережесін олданып ектерді есмептейік.

1. .

2.

3. .

шінші мысалда Лопиталь ережесін бірден олдануа келмейді. Сондытан, алгебралы трлендіру кмегімен тріндегі аныталмаандыты немесе тріндегі аныталмаандытара келтіреміз. Осы масатпен х² блімні бліміне тсірілді.

4. . Айталы деп белгілеп, тедеуді екі жаын логарифмдейік. Тедеудіожаынесептейік:

Туынды ымы.

1)Туынды анытамасы. функциясы І аралыында аныталынсын. Егер x₀ÎІ шін аырлы шегі бар болса, онда ол шекті функциясыныx₀нктесіндегі туындысы деп, символымен белгілейді.

Туынды табу амалын функцияны дифференциалдау дейді. Сонымен, анытама бойынша

.

Басаша сзбен анытама былай айтылады: Егер функцияны сімшесіні зіні пайда болуына себепші болан туелсіз айнымалыны сімшесіне атынасыны соы сімше нольге мтыланда аырлы шегі бар болса, онда функцияны дифференциалданатын деп, сол шекті функцияны туындысы деп атайды.

Дл осы сияты, функциясыны х₀ нктесіндегі сйкес сол жне о жаты туындыларыны анытамасына келеміз:

Демек, функциясыны х₀ нктесінде туындысы бар болуы шін, оны ол нктеде сол жне о жаты туындылары бар болып, олар зара те болуы ажетті жне жеткілікті.

¦ функциясыны графигін, яни жазытыта жатан (x,f(x)) тріндегі нктелер жиынын арастырайы (оны y=f(x) исыы не жай исы деп те атайды).

Белгілі бір (x₀,f(x₀)) нктесінде исыа «тыыз орналасан» тзуді сызу. рине, ондай тзу бар болса, онда ол тек ана сол исыа тн асиеттер арылы табылады. Сондытан, исыта жатан баса (x₁,f(x₁)) нктесін алып, сол екі нктеден тзу ткізейік. Оны тедеуі

болады. рбір (x₀,f(x₀)) нктесінен тетін жне y-тер осьіне паралель емес тзуді тедеуі y=k(x-x₀)+f(x₀) трінде жазылады, демек k наты санына туелді болады.

рине, белгілі бір маынада екі тзуді жаындыын оларды анытайтын k сандарыны жаындыы арылы тсінуге болады. Ал, бізід жадайда сондай k сандары x₁-ге мынадай туелділікте болады.

Сондытан, x₁-ді x₀-ге аырсыз жаын алан сайын, k(x₁) белгілі бір k санына аырсыз жаындаса, онда тедеуі болатын тзуді бізге керекті «исыа тыыз орналасан» тзу ретінде алуа болады.

Мндаы k-ны тапан жолымыз шектер тілінде былай бейнеленеді.

яни .

Айтанымызды геометриялы бейнесі 36-суретте берілген. Сонымен келесі анытамаа келдік. Егер нктесінде наты мнді шегі бар болса, онда тзуі исыыны нктесіндегі жанамасы деп аталады.

Жылдамды туралы есеп. Материялы нкте тзу бойымен белгілі бір баытта озалып келе жатсын. Оны тзу бойындаы белгілі бір нктеден мезгіліндегі ара ашытыы болсын.

уелі болсын, яни нкте біралыпты озалсын. Онда кез келген мен мезгілдері арасында нкте жолын жреді, ал атынасы сол озалысты жолы деп аталады да, траты болып, а санына те болады.

Егер нктені озалысы біралыпты болмаса, онда атынасы траты болмай мен мезгілдеріне туелді болады. Ол мен мезгілдері арасындаы материялы нктені орташа жылдамдыы деп аталады.

Расында, орташа жылдамдыы нктені мен мезгілдері арасында андай жылдамдыпен озаланы туралы ешандай сер бермейді, йткені ол бір мезгіл жылдам, бір мезгіл жай озалуы ммкін. Орташа жылдамды маынасы мынада: егер нкте сол арада біралыпты озалса, онда мезгілінде жолын жру шін оны жылдамдыы орташа жылдамдыа те болуы тиіс.

Егер -ді -ге аырсыз жаындатанда, оан сйкес орташа жылдамдыы белгілі бір наты сана аырсыз жаындаса, онда сол санды мезгіліндегі нктені жылдамдыы трінде алан жн.

Сонымен, айтанымызды шек арылы бейнелесек, мына анытамаа келеміз: егер

наты мнді шегі бар болса, онда оны тртібі арылы бейнеленген озалысты нктесіндегі жылдамдыы деп атайды.

Айталы, нктесінде жне оны тірегінде функциясы аныталан болсын.

Анытама.Аргумент - ті нктедегі сімшесі деп айырымын айтады.

Анытама. функциясыны нктедегі сімшесі деп мына

айырманы айтады

Бл сімше екі жне аргументтерге туелді. Геометриялы трыда жне функция графигі бойымен нктеден нктеге дейін жылжыанда, нктені абсцисасы мен ординатасыны згеруін крсетеді.

 

Мысалы, егер болса, онда , яни абырасы 1- ге те шаршыны абырасын 0,1- ге арттырса, онда оны ауданы 0,21- ге артады.

Анытама.Егер функциясы нктені тірігінде аныталан жне болса, онда ол зіліссіз деп аталады.

Шындыында да, .

 

 

 

A

 

 

 

Анытама.Егер бар болса, онда бл сан функциясыны нктедегі туындысы деп аталады.

Бл туынды мына символдарды бірімен белгіленеді:

.

.

Анытама.Егер функциясы нктеде шекті туындыа ие болса, онда ол осы нктеде дифференциалданады деп аталады.

Енді функцияны дифференциалымен оны зіліссіздігіні арасындаы байланысты анытайы, ол шін бл анытамада - ті ажыратамыз.

,

 

Сондытан

.

Теорема. Егер функциясыны нктеде дифференциалы бар болса, онда ол бл нктеде зіліссіз болады.

Кері тжырым дрыс емес, мысалы, функциясы аныталу облысыны барлы нктелерінде зіліссіз, біра ол нктесінде дифференциалданбайды, себебі . , ал бл шек жо.