Туындыны механикалы маынасы. Айталынкте тзу бойымен озалып, уаыт ішінде s(t) жол жрген болсын.

 

 

 

t уаыт ішінде жрілген жол.

Онда -ден - а дейінгі уаыт аралыында жріп ткен жол

жне аралытаы нктені орта жылдамдыы болады. Нктені уаыт моментіндегі жылдамдыы - ді шегі болады. .

Демек, нктеніуаыт моментіндегі жылдамдыы жолды уаыттаы туындысы екен.

Туындыны геометриялы маынасы. функция графигіні жне нктелері арылы тзу жргіземіз. Бл тзу функция графигіні июшысы деп аталады (93 - сурет). Оны брышты коэффициенті, яни сіні о баытымен жасайтын брышыны тангенсі

, (1)

мнда о да, теріс те мн абылдауы ммкін.

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

Туындыны геометриялы маынасы.

Анытама. функция графигіне нктесінде жргізілген жанама деп нктеден тетін июшыны мтыландаы шектік жадайын беретін тзуді айтады.

Басаша айтанда, нктеге жргізілген жанама - бл брышты коэффициенті болатын нктеден тетін тзу.

Егер бар болса, онда (1) тедіктен

.

Бл жадайда функция графигіні нктесінде жанамасы бар болады.

 

Сондытан, функция графигіне нктеде жргізілген жанаманы брышты коэффициенті болады.

Осы жанаманы тедеуі мынадай:

Егер жо болса, онда функция графигіне нктеде жанама жргізу ммкін емес (мысал, функциясыны графигіне нктесінде жанама жргізу ммкін емес).

Туынды

Крделі функцияны дифференциалдау.

Айталы функциясы нктесінде, ал функциясы ( ) нктесінде дифференциалдансын, онда крделі функция нктесінде дифферециалданады жне оны туындысы мына формуламен есептеледі:

.

Мысалы, 1) - ты есептеу керек.

Функцияны былай жазамыз: , мнда . Сондытан

;

2) .

2. Кері функция жне оны туындысы.

Айталы функциясыны аныталу облысы жне мндер жиыны болсын.

Анытама. Егер жне , яни аныталу облысы E жне мндер жиыны болатын функциясы функциясына кері функция деп аталады.

координаттар жйесінде жне функциялар бірдей графикке ие, яни жне функцияларыны графиктері тзуі бойынша симметриялы болады.

3. Логарифмдiк туынды. функциясыны логарифмiнi туындысын логарифмдiк туынды деп атайды.

Алдын ала логарифмдеу функциядан туынды табуды жеiлдетедi. Берiлген функцияда логарифмделетiн амалдар (кбейту, блу, дрежелеу жне тбiр табу) бар боланда жне дрежелi-крсеткiштiк функция болан кезде логарифмдiк туындыны олданан жн.

6. Крделi функцияны туындысын табуа мысалдар. уелi негiзгi элементар функцияларды туындылар кестесiн крделi функцияны туындысын табу ережесi бойынша жалпылап жазайы :

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. .

 

Мысал арастырайы:

1-мысал. функциясыны туындысын табу керек.

Шешуi: , демек, 3-шi формула бойынша

.

Функция дифференциалы.

А)ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Функция шегіні анытамасына сйеніп туынды табу формуласын мынадай трде кшіріп жазуа болады: ,

 

мндаы - аырсыз аз шама, яни . Трлендірейік,

 

,

 

мндаы - функция сімшесіні сызыты блігі деп аталады жне ол сімшеге пропорционал. Ал шама екі аырсыз азды кбейтіндісі ретінде сімшеге араанда жоары ретті аырсыз аз шама болады.

Анытама. Функция сімшесіні сызыты блігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен,

 

y=xфункциясыны дифференциалын табайы: . Демек аргумент дифференциалы оны сімшесіне те екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай трде жазамыз:

 

(4)

 

Егер аргумент сімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция сімшесі мен дифференциалы жуы шамамаен те болады, яни . Трлендірейік, . Осыдан,

 

(5).

 

(5) формуламен функцияны мнін жуытап есептейді. Нерлым аз болса, сорлым формула длірек болады.

В)Дифференциалдау ережелері.u=u(x) жне v=v(x) функцияларды райсысы берілгенх нктесінде дифференциалданатын болса, онда бл функцияларды осындысы(айырымы), кбейтіндісі жне атынасы (v(x) 0) сол нктеде дифференциалданады, жне мына формулалар дрыс болады:

1)

2) , C=const

3)

4) .

5) f(u(x)) крделі функция туындысы:

 

.

 

6) y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы:

.

7) Айын емес трде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы:

 

.

 

8) Дрежелі-крсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген тедеуді екі жаын логарифмдейік,

 

.

 

Екі жаынан туынды аламыз,

 

.

 

Сонымен,

 

.

 

9) Жоары ретті туынды. туындыны функцияны 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынан туынды функцияны 2-ретті туындысы деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен,

.

 

Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анытауа болады,

 

, …, .

 

Анытама. функциясы нктесінде дифференциалданады, егер оны осы нктеде дифференциалы болса.

Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті трде зіліссіз болады.

Дифференциалды жуытап есептеулерге пайдалану.

. Соы жуыталан тедік е алдымен тжірибелік трыдан араанда келесі есепті шешу шін олданады: мндері белгілі; -ті жуы мнін есептеу керек. Сонда тменгі формула аныталады: .

Мысалы: мнін табу керек: , , , демек . Ал , . Сонда .