Задания для самостоятельного решения

Предел последовательности и функции

Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают , т.е.

– n-ый член последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Зная функцию и номер n, можно вычислить любой член последовательности.

Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.

Последовательность может быть задана:

1) аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные);

2) реккурентным способом. (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены прогрессии через предыдущие);

3) геометрически (точками на числовой оси), соответствующими конкретным значениям ;

4) графическим способом (задаются точки , на координатной плоскости);

5) словеснымописанием;

Табличным способом.

Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т.е. если .

Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т.е. .

Последовательность называется неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. .

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. .

Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется ограниченной, если существует такие числа m и M, что выполняется неравенство .

Если существует такое число M, что , то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что , то последовательность называется ограниченной снизу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство

Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности , если .

Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдётся такой номер , для которого выполняется равенство . Решим это квадратное уравнение , т.е. , . Числа , значит, число 28 не является членом данной последовательности.

Пример 2. Вычислить первые пять членов последовательности , если . Определить, для каких членов последовательности выполняется условие .

Решение. Подставляя в формулу общего члена значение n=1,2,3,4,5, получим:

; ;

Решим неравенство

Решением этого неравенства будут . Поэтому для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие .

Пример 3. Последовательность задана следующим образом (реккурентно): и . Вычислить первые 4 ее члена.

Решение: Первый члена последовательности известен: . Для вычисления в заданной формуле для положим . Получим

Для вычисления в формуле выбираем . Тогда выразится через найденный член :

Аналогично:

Пример 4.Последовательность задана формулой общего члена: . Задать таблично первые 8 ее членов, изобразить их геометрически и графически.

Решение. Вычислим первые 8 членов заданной последовательности и заполним таблицу.

Для геометрической иллюстрации изобразим на числовой оси члены последовательности (рис.1)

Рис.1

В системе координат укажем точки плоскости, которые имеют координаты для (рис.2).

Рис. 2

Пример 5. Доказать, что последовательность является строго убывающей.

Решение. Если последовательность строго убывающая, то выполняется неравенство или .

Вычисляем

Составим отношение

Поскольку

, действительно.

Получаем для любых натуральных n.

Значит, последовательность является строго убывающей.

Пример 6. Исследовать последовательность , на ограниченность.

Решение. Запишем формулу общего члена последовательности следующим образом:

Так как и , то , а поэтому

и .

Следовательно, последовательность является ограниченной сверху.

Поскольку неравенство выполняется для всех , то .

Значит, последовательность является также ограниченной снизу.

Приходим к выводу. что – ограниченная последовательность.

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Последовательность задана формулой . Найдите .

1.2. Запишите первые пять членов последовательности:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

1.3. Последовательность задана формулой . Найдите .

1.4. Найдите первые пять членов последовательности ( ), заданной реккурентно:

1) и ;

2) и ;

3) и .

1.5. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является возрастающей:

1) ; 2) .

1.6. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является убывающей:

1) ; 2) ; 3) .

1.7. Изобразите первые семь членов последовательности ( ) на числовой оси, если

1) 2)

1.8. Известно, что членом последовательности являются числа, каждое из которых, начиная с 0, на 2 единицы больше предыдущего. Запишите первые 5 членов этой последовательности.

II уровень

2.1. Запишите первые шесть членов последователь- ности (x_n):

2.2. Запишите первые шесть членов последовательности:

1) чётных, натуральных чисел, кратных числу 3.

2) натуральных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 5.

3) натуральных чисел, кратных числам 3 и 4.

Укажите формулу n-го члена последовательности.

2.3. Определите, содержится ли среди членов числовой последовательности число:

1) ; 2) ; 3) .

2.4. Исследуйте последовательность на ограниченность:

1) ; 2) 3) ;

4) 5) 6)

7) 8) .

2.5. Изобразите графически ( в системе координат 10 членов последовательности ( ), если

1) 2)

3) ; 4) .

III уровень

3.1. Найдите первые девять членов последовательности Фибоначчи, заданной реккурентно:

и , .

3.2. Запишите первые шесть членов последовательности приближенных значений с точностью до (по недостатку).

3.3. Определите, для каких членов последовательности , заданной формулой не выполняется условие .

3.4. Последовательность задана формулой Определите сколько членов этой последовательности принадлежит промежутку .

3.5. Последовательность задана формулой . Установите, верно ли равенство .

Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа найдётся такой номер (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполняется неравенство

(1)

Обозначают:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (х_n), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а, попадают все члены данной последовательности начиная с некоторого номера .

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;

3) для того чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , где – бесконечно малая последовательность.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер , что для всех n, начиная с этого номера , выполняется неравенство

Если последовательность (х_n) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут .

Последовательность не имеет предела в 2-х случаях:

1) предел не определён;

2) последовательность является бесконечно большой.

Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Если – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Если последовательности , имеют пределы, то справедливы следующие свойства:

1) где ;

2) ;

3) ;

4) где .

Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.

При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределённости вида . Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

Решение. Выбираем произвольное число . Согласно определению, число 3 является пределом последовательности , если сможем указать такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство (1), которое в нашем случае имеет вид

. (2)

Неравенство (2) равносильно неравенству

т.е.

или .

Поскольку и , из последнего неравенства получаем

; .

В качестве номера члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (2), может быть выбрано натуральное число

Этим мы доказали, что существует номер члена последовательности, начиная с которого выполняется неравенство (1) для заданной последовательности. Значит, число 3 – предел этой последовательности.

Пример 2. Вычислить предел последовательности:

1) 2) ;