Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона

Многочлены и рациональные дроби

Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются алгебраическими выражениями.

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются формулы сокращенного умножения:

– квадрат суммы;

– квадрат разности;

;

– разность квадратов;

– куб суммы;

– куб разности;

– сумма кубов;

– разность кубов.

Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой натуральный показатель:

Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона.

(1)

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биноминальными коэффициентами.

Биноминальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:

Показатель степени

(2)

Числа в строке с определенным номером n, n N, являются последовательными коэффициентами в формуле для данного n.

Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:

1) в разложении двучлена по формуле Ньютона содержится n+1 член;

2) в разложении показатель степени а убывает от n до 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;

3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;

4) биноминальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;

5) сумма биноминальных коэффициентов разложения равна 2ⁿ;

6) сумма биноминальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна .

Разложение выполняется по тем же правилам с учетом чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т.д.

Пример 1.Вычислить, используя формулы сокращенного умножения, значение

Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение приобретает вид: