Неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:

(или знак )

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.

Системы, содержащие неравенства с двумя переменными вида называются системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):

Уравнение задает окружность с центром в точке О¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Рис.19

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).

Задания

I уровень

1.1. Решить графически:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8)

II уровень

2.1. Решите графически:

1) 2)

3)

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2) 3)

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1) 2)

3)

2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами

.

III уровень

3.1. Найдите количество целочисленных решений системы

3.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет решение:

1) 2)

3.3. Определите, при каких значениях а неравенство имеет положительные решения?

3.4. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение:

1) 2) ;

3)

3.5. В зависимости от а определите число решений системы

3.6. Решите графически:

а) б)