Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

1.1. Определите характеристики (центр, полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот) гиперболы . Сделайте чертеж.

1.2. Составьте уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках A1(5, 0) и A2(5, 0), а расстояние между фокусами равно 14.

1.3. Составьте уравнение гиперболы, проходящей через точку М(2, 1) и имеющей асимптоты

1.4. Определите параметры гиперболы и сделайте чертеж.

 

II уровень

2.1. Определите параметры (полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот) гиперболы

2.2 Составьте уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус F(0, 1) и асимптоту x + y = 0.

2.3. Докажите, что уравнение определяет гиперболу, определите ее параметры и форму:

1) 16x2 – 9y2 – 64x – 54y – 161 = 0;

2) 9x2 – 16y2 + 90x + 32y – 367 = 0;

3) 16x2 – 9y2 – 64x – 18y + 199 = 0.

2.4. Убедившись, что точка A(–5; 9/4) лежит на гиперболе найдите фокальные радиусы этой точки и ее расстояние до директрис.

 

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A(4, 1), B(5, 2) и C(5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

 

 

Парабола

 

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F(p/2, 0) называется фокусом параболы, величина pпараметром, точка О(0, 0) – вершиной. При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

 
 

 


Рис. 24

 

Величина где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:

 
 

 

 


Рис. 25

 

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

1) 2)

Решение. 1. Уравнение y2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y2= –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 26).

 
 

 


Рис. 26

 

2. Уравнение x2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x2 = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 27).

 


Рис. 27

 

Пример 2. Определить параметры и вид кривой x2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4)2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4)2 – 16y – 48 =0;

(x + 4)2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4)2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх ( ), осью x = –4. Фокус находится в точке F(–4; –3 + p/2), т. е. F(–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p/2 или y = –7 (рис. 28).

 
 

 


Рис. 28

 

Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = 3 и точки F(0; 3).

Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x2 = 2py с параметром p = 2 3 = 6, т. е. x2 = 12y (рис. 29).

 
 

 


Рис. 29

 

Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2)2 = –2 4(x – 3) или (y + 2)2 = = –8(x – 3).