У результаті перетину поверхонь другого порядку площиною утворюється конічний переріз. У граничному випадку поверхня другого порядку може являти собою точку або порожню множину.

Економічні задачі

Лінійна функція y = kx + b та її графік застосовуються для опису економічних залежностей між прямо пропорційними змінними.

Рис. 3.66

 

Початкова врожайність деякої зернової культури на малопридатних для землеробства землях становила 12 ц/га. Завдяки засто­суванню інтенсивної технології перед­бачається щорічне її зростання на 2 ц/га. Записати закон зміни врожайності у як функції часу х. Обчислити її значення для п’ятого року застосування зазначеної технології (х = 5).

· Якщо х — час у роках, то виразом
у = 12 + 2х подається шуканий закон зміни врожайності за час х. Звідси при х = 5 дістаємо: у = 12 + 2 · 5 = 12 + 10 = 22 (ц/га).

Знайдений результат унаочнюється графіком. (Рис. 3.66) ·

 

Рівняння виду може розглядатися як математична модель лінійної економічної залежності між змінними х та у, коли відомі дві різні пари (х₀; у₀), (х₁; у₁) значень цих змінних.

 

Повні витрати на виготовлення 5 умовних одиниць деякої продукції становлять 5,5 млн грн., а для виготовлення 10 таких одиниць — 9 млн грн. Знайти функцію витрат виробництва, вважаючи її лінійною. Визначити витрати на виготовлення 7 умовних одиниць продукції.

· За умовою задачі маємо дві пари чисел, які можемо тлумачити як координати двох точок (5; 5,5) і (10; 9) шуканої прямої. Згідно із записаним щойно рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки, дістаємо:

, або .

Отже, .

Підставивши в останню рівність значення х = 7, обчислимо шукані витрати: (млн грн.).

Повні витрати з перевезення вантажу залізничним і автомобільним транспортом подаються відповідно залежностями:

і ,

де х, км, — відстань, на яку здійснюється перевезення; у — транспортні витрати.

Знаючи, що 0 < a₁ < a₂ i 0 < b₂ < b₁, встановити, яким видом транспорту і на яку відстань дешевше перевозити вантаж.

Рис. 3.67

· За умовою побудуємо прямі І і ІІ та знайдемо координати точок їх перетину як розв’язок системи рівнянь:

Отже, точка А перетину прямих І і ІІ має координати . Це означає, що при повні витрати з перевезення вантажу обома видами транспорту однакові й становлять (грн.). Розглядаючи графік рис. 3.68, доходимо висновку, що коли (км), дешевшими є автомобільні перевезення, а коли (км) — залізничні.

Бригада, що складається з х робітників-ремонтників і бригадира, виконуючи певне замовлення, щомісяця одержувала загалом 3000 грн. заробітної плати. Подати заробітну плату члена бригади виразом, коли відомо, що вона в усіх однакова і 50 грн. з належної кожному суми становлять різні відрахування.

· Заробітна плата у подається так:

,

а після відрахувань — у вигляді відповідної різниці:

.

Це рівняння гіперболи, горизонтальною асимптотою якої є пряма , а вертикальною — пряма . Рис. 3.68. ·

Лінії, які задані рівняннями

називаються лініями гіперболічного типу.

Такі лінії часто застосовуються в багатьох галузях знань. Наприклад, у фізиці такого виду графіки відповідають закону всесвітнього тяжіння Ньютона , закону Ома і т. ін.

Одне із застосувань таких ліній в економіці пов’язане з ім’ям італійського економіста Парето, який сформулював закон розподілу прибутків у капіталістичному суспільстві.

 

Закон Парето. Число у осіб, котрі мають прибуток не менш як х, можна визначити за формулою:

Зауваження. Закон Парето достатньо точно описує розподіл великих прибутків, але не справджується для низьких.

Нехай у деякому капіталістичному суспільстві розподіл прибутків серед особливо багатих осіб визначається так:

(1)

де у — число осіб, прибуток яких не менший від х.

Визначити: 1) число осіб, прибуток яких не менший від 10⁵ дол.;

2) найменший прибуток серед 100 особливо багатих осіб.

· 1. За формулою (1) і умовою задачі маємо:

Отже, у даному суспільстві 300 осіб мають прибуток не менш як 10⁵ дол.

2. Згідно з формулою (1) знаходимо . Якщо у = 100,
маємо

або

Таким чином, найменший прибуток серед 100 особливо багатих осіб становить 173 200 дол. ·

Вправи для самостійного розв’язування

Координати точок

1. Визначити координати вершин прямокутника, сторони якого паралельні осям координат, якщо координати кінців його діагоналі (– 4, 3) і (3, – 2).

2. Визначити координати вершин правильного трикутника зі стороною завдовжки 6, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі абсцис.

3. Менша діагональ ромба дорівнює його стороні а. Визначити координати вершини ромба, узявши більшу його діагональ за вісь абсцис, а меншу — за вісь ординат.

4. Визначити координати вершин правильного трикутника, сторона якого дорівнює 12, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі ординат.

5. Дано правильний шестикутник, сторона якого а. Визначити координати вершин цього шестикутника, якщо початок координат збігається з його центром, вісь ординат — з однією з діагоналей, а вісь абсцис перпендикулярна до двох протилежних сторін.

6. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 60°.

7. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 30°.