Теорема 9. Якщо послідовність хn має границю, то будь-яка частинна послідовність має цю саму границю.

Доведення. Візьмемо довільне число і число N, таке що для виконується нерівність

.

Візьмемо частинну послідовність , коли . При виконується нерівність

.¨

Теорема 10 (принцип вибору Больцано–Вейєрштрасса). З будь-якої обмеженої послідовності можна вибрати збіжну частинну послідовність.

Доведення. Нехай усі члени послідовності містяться на відрізку [x, b]. Поділимо відрізок пополам. В одну його половину (або й в обидві) обов’язково потрапляє нескінченне число членів послідовності. Ту половину відрізка, яка містить нескінченне число членів послідовності, позначимо [а₁, b₁]. Візьмемо в ній точку . Відрізок [а₁, b₁] поділимо пополам і одну з половин, яка містить нескінченне число членів послідовності, позначимо [а₂, b₂].

Виберемо в ній точку , причому . Далі поділимо відрізок [а₂, b₂] пополам і позначимо половину, що містить нескінченне число членів послідовності, через [а₃, b₃] та виберемо тут точку ( ) і т. д. Дістанемо послідовність вкладених відрізків. Довжина n відрізків [а_n, b_n] дорівнює . Вона прямує до нуля при . За лемою про вкладені відрізки існує єдина точка с, така що при . Для всіх n виконується нерівність . За теоремою 7 про «охоплену» послідовність маємо

¨

Означення. Точна верхня межа границь усіх можливих частинних послідовностей з повної послідовності х_n називається верхньою межею послідовності і позначається

.

Точна нижня межа границь зазначених частинних послідовностей називається нижньою межею послідовності і позначається

.

У будь-якої послідовності існують верхня та нижня межі.

Якщо послідовність не обмежена зверху, то

.

Якщо послідовність не обмежена знизу, то

.

Зауважимо, що необмежена послідовність не може мати границі.

Розглянемо послідовність , тобто

, і визначимо для неї верхню та нижню межі:

·

Розглянемо послідовність . Для неї можна знайти верхню та нижню межі:

·

4.1.10. Теорема Бореля

Розглянемо деяку точкову множину та множину інтервалів, що мають таку властивість: кожна точка даної множини належить хоча б одному з них. Тоді говорять, що маємо покриття множини інтервалів:

Якщо точка х належить інтервалу (a, b), то деякий окіл цієї точки також належить цьому інтервалу:

Теорема 11. З будь-якого нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття. Іншими словами: якщо існує нескінченна множина інтервалів, таких що кожна точка належить хоча б одному з них, то з цієї множини інтервалів можна вибрати скінченне число таких точок, щоб вони повністю покривали відрізок.

Доведення. Візьмемо відрізок [a, b], який покрито нескінченною множиною інтервалів. Припустимо, що не можна знайти скінченного підпокриття. Поділимо відрізок пополам. Ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [a₁, b₁]. Якщо обидві половини відрізка [a, b] можна було б покрити скінченним числом інтервалів, то й весь відрізок можна було б покрити скінченним числом інтервалів. Поділимо відрізок [a₁, b₁] пополам, і ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [a₂, b₂]. Продовжуючи процес такого поділу, дістаємо послідовність вкладених відрізків [a_n, b_n], довжина яких прямує до нуля. Для кожного з відрізків не можна знайти скінченного підпокриття. За лемою про вкладені відрізки в такому разі існує єдина точка с, точка, що .

Візьмемо інтервал (a, b), який містить точку с:

Знайдеться номер N, такий що при точки a_n належать інтервалу (a, b):

Тоді відрізок [a_n, b_n] повністю покривається одним інтервалом. Припущення неправильне. Отже, відрізок [a, b] можна покрити скінченним числом інтервалів. ¨

Візьмемо проміжок (0, 1]. Його покриває така множина інтервалів:

.

Випишемо послідовність інтервалів:

;

Рис. 4.3

Ця множина інтервалів повністю покриває проміжок (0, 1], причому з неї не можна вилучити жодного інтервалу, оскільки при цьому не буде покриватися частина проміжку (0, 1]. Не існує скінченного покриття. ·

Зауваження. Із прикладу випливає, що теорему Бореля можна застосовувати лише до відрізків, а до проміжків іншого виду вона не застосовна.·

4.1.11. Принцип збіжності Больцано–Коші