Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Нехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст Df(x) для і і порівняємо їх.

Рис. 5.14

1) ;

(рис. 5.14).

. ·

5.2.2. Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

· за правилом 3 маємо:

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

5.2.3. Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

¨ Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Формула для знаходження диференціала

Справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.

5.2.4. Таблиця диференціалів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Знайти диференціал функції .

Знайти dy з виразу .

· До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:

Звідси

. ·

Знайти .

· . ·

5.2.5. Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n-го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

(1)

Знайти третій диференціал функції

· Згідно з (1) дістаємо:

Зауваження. Формули (1) при будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .

¨ Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:

Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = j(t), то dx вже залежить від t, і dx = j¢(t)dt, тому при x = j(t) дістаємо:

(2)

Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.