Теорема 1. Переріз будь-якого числа опуклих на площині множин є опуклою множиною.

ОПУКЛІ ФУНКЦІЇ

5.5.1. Опуклі множини на площині

Поняття про опуклі функції, задані на проміжку, пов’язане з поняттям опуклої множини точок на площині.

Означення. Множина Е точок (х; у) площини називається опуклою, якщо для будь-яких двох різних точок (х₁; у₁) і (х₂; у₂) із Е відрізок, що сполучає ці точки, повністю належить множині Е.

Аналітично відрізком, кінцями якого є точки (х₁; у₁) і (х₂; у₂), будуть усі ті точки (х; у), координати яких задовольняють умову

(1)

При дістаємо точку (х₂; у₂), при — точку (х₁; у₁). Отже, якщо (х₁; у₁) і (х₂; у₂) — точки опуклої множини Е, то й точки ; будуть точками множини Е.

Прикладом опуклих множин на площині можна вважати саму площину, будь-яку пряму, проведену на площині або в півплощинах, на які площина поділяється прямою, множина точок площини, що лежить між двома паралельними прямими, кут на площині (якщо цей кут не перевищує ), опуклий многокутник, круг тощо.

Порожня множина або множина, що складається з однієї точки, також вважаються опуклими множинами.

Теорема 1. Переріз будь-якого числа опуклих на площині множин є опуклою множиною.

Доведення. Нехай , де всі А_і — опуклі на площині множини. Задамо довільно дві точки (х₁; у₁) і (х₂; у₂) . Ці точки належать кожній із множин А_і, які є опуклими, тому множина точок

входить у кожну з А_і, а отже, і в А, тобто для будь-якого точка належатиме множині А. Отже, А — опукла множина.

Точки (х; у) можна тлумачити не лише як точки площини з координатами х і у, а й як двовимірні вектори з координатами х і у. Тому, якщо дано два вектори і , то точки відрізка, що сполучає вектори і , є сукупністю векторів , які задовольняють умову

.

У координатній формі останню рівність можна записати у вигляді системи (1).

Означення. Множина Е називається опуклою, якщо для будь-яких двох векторів на площині із Е , і довільного дійсного числа вектор належить Е.

Довести, що множина

є опуклою.

· Нехай задано вектори і із Е та довільне , . Тоді , , , ,

де .

Із , , , випливає:

, ,

,

тобто , отже, належить Е і множина Е є опуклою.

Показати, що множина

не є опуклою.

Візьмемо із множини Е два вектори і . Нехай , тоді вектор не належить Е, оскільки . Отже, Е не є опуклою множиною.

Зауваження. Будь-який замкнений, відкритий або напіввід­критий, скінченний або нескінченний проміжок є, очевидно, опуклою множиною.

5.5.2. Поняття про опуклі та вгнуті функції

Означення. Функція f(х) називається опуклою на проміжку
[a, b], якщо множина

є опуклою.

Із означення бачимо, що А є така множина точок (х; у) площини, абсциси яких належать проміжку [a, b], а їх координати не менші від значення функції f(х) у точці х.

На рис. 5.23 зображено графіки функцій, опуклих на відрізку [a, b].

Рис. 5.23

Означення. Функція f(х) називається вгнутою на проміжку
[a, b], якщо – f(х) є опуклою на тому самому проміжку.

Геометрична ілюстрація:

Рис. 5.24

На рис. 5.24 зображено графіки вгнутих функцій. Геометрично вгнута функція f(х) на проміжку (а; b) характеризується тим, що множина А розміщена не нижче від графіка у = f(х) на проміжку [a, b]. Вгнута функція f(х), навпаки, характеризується тим, що для неї множина А розміщена не вище від графіка у = f(х) на проміжку [a, b].

5.5.3. Ознаки опуклості та вгнутості функцій.
Строго опуклі і строго вгнуті функції