Якщоnнепарне, то функція f(x)в точці x0 екстремуму не має.

Дослідити на екстремум функцію

f(x) = х³ – 3х² + 3х +5. ·

· Знаходимо похідну f¢ (x) = 3х² – 6х + 3. Рівняння f¢ (x) = 0 має одну стаціонарну точку х = 1, тому f¢ (1) = 0. Далі,

.

Отже, f ¢(1) = f ²(1) = 0, але f ²¢(1) ¹ 0. За теоремою в стаціонарній точці х = 1 функція f(x) екстремуму не має.

Теорема 4. Нехай функція f(x)диференційовна в околі стаціонарної точких₀,а в самій стаціонарній точці має похідну другого порядку. Тоді:

1) якщоf ²¢(х₀) > 0,то функціяf(x)в точціх₀ має мінімум;

2) якщоf ²¢(х₀) < 0, то функціяf(x)в точціх₀має максимум;

3) якщо f ² (х₀) = 0, то в точціх₀може бути екстремум, а може і не бути.

Доведення. Нехай f ²¢(х₀) > 0, тоді, ураховуючи, що х₀ — стаціонарна точка (f¢(х₀) = 0), дістаємо

.

Оскільки границя виразу в точці х₀ додатна, то існує окіл точки х₀, що для всіх x < x₀ f¢(x) < 0, а для x> x₀ f¢(x) > 0 із вказаного околу. У точці х₀ функція f(x) неперервна, тому за теоремою 2 в точці х₀ функція має мінімум.

Аналогічно доводиться теорема про максимум функції f(x) в точці х₀, якщо f ²¢(х₀) < 0.

Дослідити на екстремум функцію f(x) = х⁶.

· Маємо f¢ (x) = 6х⁵. Стаціонарна точка одна: х = 0.

1) За теоремою 2 при переході через стаціонарну точку х = 0 похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс. Отже, у точці х = 0 функція f(x) має строгий мінімум.

2) За теоремою 3 маємо f ¢¢ (х) = 30х⁴, f ²¢(х) = 120х³, f ⁽⁴⁾(x) = 360х², f ⁽⁵⁾(x) = 720х, f ⁽⁶⁾(x) = 720, причому f ¢(0) = f ²(0) = f ²¢(0) = 0, але f ⁽⁶⁾(0) = 720 > 0. Оскільки число 6 парне, то за теоремою 3 в точці х = 0 функція f(x) має строгий мінімум.

3) Оскільки f ¢(0) = 0, f ²(0) = 0, то теорема 4 не дає відповіді про екстремум функції в стаціонарній точці х = 0.

4) Дослідження функції на екстремум можна виконати і без використання диференційовності. Оскільки |х| > 0 для х ¹ 0 і |0| = 0, то і х⁶ = 0 для х = 0, звідки функція f(x) = х⁶ у точці х = 0 має строгий мінімум.

Цей приклад показує, що при дослідженні функції f(x) на екстремум треба звернути увагу на вид самої функції, щоб обрати найбільш раціональний спосіб розв’язування конкретної задачі.

5.6.10. Найбільше і найменше
значення функції на проміжку
(абсолютний екстремум)

1. Знаходження найбільших і найменших значень функції на проміжку. Розглянемо деякі випадки знаходження найбільших і найменших значень функцій на проміжку, коли функція неперервна і диференційовна на всьому проміжку за винятком точок, де в неї немає скінченної похідної.

І. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a; b], диференційовна в інтервалі (a; b) і має скінченне число стаціонарних точок.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функціїf(x)на проміжку[a; b].

1. Знайти корені рівняння f¢ (x) = 0, хÎ(a; b), тобто стаціонарні точки (якщо вони є).

2. Обчислити значення функції f(x) на кінцях проміжку [a; b] і в усіх стаціонарних точках (не обов’язково виясняти, чи буде в них екстремум).

3. На підставі порівняння всіх знайдених значень функції ви­брати найбільше і найменше. Вони є відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції f(x) на проміжку [a; b].

Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [0,01; 100].

У даному випадку похідна в інтервалі [0,01; 100] має тільки один корінь — х = 0,2. Обчислимо значення функції в стаціонарній точці х = 0,2 і на кінцях проміжку [0,01; 100]:

.

Звідси

.