Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли.
Какие события называются независимыми? Докажите, что если события
A и B независимы, то независимы события A и B’
Если выполняется равенство РB(А)=Р(А)то события А и В независимы. Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.
А=АВ+АВ’ Þ Р(А)= Р(АВ)+Р(АВ’), или Р(А)=Р(АВ’)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ’)=Р(А)[1-Р(В)], или Р(АВ’)=Р(А)Р(В’)
2. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,В3 ,…., Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р в2 (А), …., Рвn (А) события А. Найдем вероятность события А.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А) +….+ Р(Вn) Рвn(А).
Эта формула называется «формулой полной вероятности».
Докажем ее…
По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2,…,Вn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А,…, ВnА. Пользуясь для вычисления события А теоремой сложения, получаем
Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) +….+ Р(ВnА) (1)
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:
Р(В1А) = Р(В1) Рв1(А); Р(В2) Рв2(А): …. Р(ВnА) = Р(Вn) Р( bn) (А)
Подставляем правые части этих равенств в соотношение (1) и получаем формулу полной вероятности:
Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А)
3. Сформулируйте и докажите формулу Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А) (1)
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
Ра(В1), Ра(В2),…., Ра(Вn).
Найдем вначале условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем
Р(АВ1) = Р(А) Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)
Отсюда
Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)
Р(А)
Заменим здесь Р(А) по формуле (1), получаем
pA(Hi)= рвi(A)p(Вi) .
рВ1(А1)р(В1)+рВ2(А)р(В2)+…+рВn(А)р(Вn)
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i= 1,2,…,n) может быть вычислена по формуле
Ра(Вi) = Р(Вi) Рвi(А)
Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А)+….+Р(Вn) Рвn(А)
Полученные формулы называются формулы Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли.
Рассмотрим 2 соседних числа Рn(k) и Рn(k+1). Они либо равны, либо 1<2го, либо 2<1го. Рn(k)/ Рn(k+1)<>=1.
Рn(k)=Сnkpkqn-k; Pn(k+1)=Cnk+1pk+1qn-k-1. Cnk+1=Сnk*(n-k)/(k+1). Сл-но (k+1)/(n-k)<>=1. Или (k+1)*q<>=(n-k)*p. Сл-но k<>=n*p-q. Обозначим np-q как a. Сл-но для любого k<a-1 справедливо Pn(k)<Hn(k+1), для k=a-1 (если а – целое число) Pn(k)=Pn(k+1), при k>a-1, Pn(k)>Pn(k+1). При k<a-1 функция Pn(k) возрастает, при k>a-1, убывает.То есть, если а не являя-ся целым, то ф-я имеет единственный максимум, он достигается при ближайшем к а слева целом значении k, k=[a]=[n*p +p]. Если а =целое, то 2 разных максимума достигаются при k=a-1, k=a.
Н-во Чебышева: пусть X – случ. величина, у кот есть M(X)=m и D(X)=a, тогда " e>0 справедливо н-во
P(|X-m|³e) £ D(X)/e2. Противоположное событие: 1 - P(|X-m|³e) ³ 1 - D(X)/e2; P(|X-m|<e) ³1 - D(X)/e2.
Правило 3s: Пусть e=3s: P(|X-m|<3s) ³ 1-s2/9s2 = 8/9.