Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание m . Докажите, что P(X 4) m/4 .

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А M(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( )( ) = M(X)M(Y)

8. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то М(X +Y) = М(X ) +М(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:M(X+Y)= M(X)+M(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения⁽*⁾( возьмем 2 значения):

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x₁+y₁, x₁+y₂, x₂+y₁, x₂+y₂. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p₁₁,p₁₂,p₂₁,p_22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: M(X+Y) = (x₁+y₁)* *p₁₁+(x₁+y₂)* p₁₂+(x₂+y₁)* p₂₁+(x₂+y₂)* p₂₂, или M(X+Y) = x₁*(p₁₁+p₁₂)+ x₂*(p₂₁+p₂₂)+ +y₁*(p₁₁+p₂₁)+ y₁*(p₁₂+p₂₂). Докажем, что p₁₁+p₁₂=p₁. Событие, состоящие в том, что X примет значение x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p₁₁+p₁₂), и обратно. Отсюда следует, что p₁₁+p₁₂=p_1. Аналогично доказываются равенства p₂₁+p₂₂=p₂, p₁₁+p₂₁=g₁ и p₁₂+p₂₂=g_2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим M(X+Y)=(x₁p₁+x₂p₂)+(y₁g₁+y₂g₂), или M(X+Y)= M(X)+M(Y).

9. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр, D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

10. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром . Докажите, что M(X ) = D(X ) = .

Закон Пуассона задается таблицей:

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр , характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем nn = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна , поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

M(X) = , D(X) =

11. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = 1/Р.

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

12. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин Х и У удовлетворяет условию .

Определение. Коэффициентом корреляции двух слу­чайных величин называется отношение их ковариации к произведе­нию средних квадратических отклонений этих величин: p_xy=K_xy/«сигма»_х«сигма»_х. Из определения следует, что р_ху=р_ух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства

Тк As и Ex не меняются при меняющихся заменах, а любое равномерное распределение на отрезке может быть получено линейной заменой из любого другого равномерного распределения, например, из равномерного распределения на отрезке, то достаточно посчитать As и Ex для этого распределения.

As=₃/³, =D, ₃=M[(x-M(x)³]

Ex= ₄/⁴-3

Плотность f_x=1/(b-a)=1, ₃= S^b _a fx(t)tdt== S^b _a tdt=t²/2 в пределах от a до =(b-a)²/2

D== S^b _a fx(t)t²dt=(b-a)³/3

=D=(b-a)³/3

As=₃/³=((b-a)²/2)/( (b-a)³/3 )

Ex= ₄/⁴-3=((b-a)⁵ /5)/(( b-a)³/3)² - 3

₄= M[(x-M(x)⁴] fx(t)tdt= S^b _a t⁴dt=(b-a)⁵ /5

Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностью дисперсия D(X ) не существует, а математическое ожидание M(X ) существует.