Прямоугольник и квадрат. Определения, свойства, признаки

Определение ромба, его свойства и признаки

1. Определение. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба.

Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.

AB CD, BCAD

AB = CD; BC = AD

Диагонали ромба перпендикулярны.

ACBD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, BOC=DOC по трем сторонам (BO=OD, OC — совместная, BC = CD). Получаем, что BOC=COD, и они смежны.

BOC=90 и COD=90.

Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2AO=2CO

BD=2BO=2DO

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

1=2; 5=6;

3=4; 7=8.

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

BOC, BOA, AOD, COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC²+BD²=4AB²

Признаки ромба

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

ACBD

ABCD — параллелограмм, ABCDABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом AO=CO; BO=OD. Также указано, что AC ACBDAOB=BOC=COD=AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD

Доказано!

Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

A=C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса A и C.

Следовательно, ABC=ADC и обе фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Прямоугольник и квадрат. Определения, свойства, признаки

1. Определение. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметромпрямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

2. Свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

AB=CD,BC=AD

2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.

3. Любой прямоугольник вписывается в окружность, причём диагональ является диаметром этой окружности.

4. Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

5.Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

ABC=ACD, ABD=BCD