Закон Ома в дифференциальной форме

Электрическое поле в проводящей среде

Ток и плотность тока проводимости

Если в проводящей среде (металлических проводниках, земле, жидких проводниках) создано электрическое поле, оно вызывает упорядоченное движение зарядов, представляющих собой ток проводимости. В металлах ток проводимости определяется движением свободных электронов. Мерой тока служит предел отношения заряда q, проходящего сквозь заданную поверхность в течение некоторого времени t, к величине t, когда t стремится к нулю:

Ток – величина скалярная. Если значение тока не зависит от времени, ток называется постоянным. Векторную величину ,численно равную пределу отношения тока, протекающего через некоторую площадку, расположенную нормально к направлению движения зарядов, к величине площади этой площадки, при ее стремлении к нулю называют плотностью тока:

Направление вектора выбирается таким образом, чтобы оно совпадало с направлением движения положительных зарядов. Ток и плотность тока связаны соотношением

(42.1)

Ток сквозь поверхность S равен потоку вектора плотности тока сквозь ту же поверхность. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (А/м²).

Закон Ома в дифференциальной форме

Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объемом V. Длина ребра параллелепипеда l, площадь поперечного сечения S. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряженность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис.42.1).

В силу малости объема можно считать, что напряженность электрического поля одна и та же во всем элементарном объеме; , где – единичный вектор по направлению и Ток . Напряжение на элементе объема . Сопротивление элемента объема

Подставив в выражение эквиваленты R и I, получим

, откуда

(42.2)

Соотношение (42.2) называют законом Ома в дифференциальной форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.

Для того чтобы в проводнике непрерывно существовал ток, необходимо наличие электрического поля, силы которого перемещают электрические заряды. Такое поле создается и поддерживается процессами неэлектростатического происхождения (химическими, термоэлектрическими и др.) и носит название стороннего электрического поля.

Так как при прохождении тока по проводнику все время происходит преобразование электрической энергии в тепловую, энергия поля должна непрерывно пополняться за счет внешнего источника. Только при этом условии может длительно существовать ток.

Следовательно, стороннее поле всегда связано с источником энергии, который преобразует какую-либо форму энергии (тепловую, химическую, механическую) в энергию электрическую и поддерживает ток в проводнике.

Напряженность стороннего поля обозначают Если на заряд q в проводнике действует сторонняя сила F_стор, то

Если в проводнике одновременно действуют и электростатические и сторонние силы, напряженность электрического поля равна:

E_рез = Е+Е_стор.

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками ЭДС, записывают следующим образом:

(42.3)

3. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Мощность тепловых потерь в проводнике равна произведению тока и напряжения P = IU.

Если рассмотреть в проводящей среде элемент объема dV, то мощность тепловых потерь

(42.4)

Формула (42.4) является дифференциальной формой закона Джоуля – Ленца. Мощность тепловых потерь в объеме V можно выразить следующим образом:

(42.5)