Табасы ауыспалы атарлар.

Анытама. (1)

атары кезек ауыспалы табылы атар деп аталады.

О танбалы атарды арастырайы (2)

Егер (2) атары жинаталатын атар болса, онда (1) атар абсолютті жинаталатын атар деп аталады. Ал егер (2)атары жинаталмайтын болса, онда (1) атара Лейбниц белгісін пайдаланамыз.

Лейбниц белгісі. Егер кезек ауыспалы табалы (1) атарды мшелері бірсарынды спейтін жне олар нлге мтылатын болса, яни , онда (1) атар жинаталады, жне оны шартты жинаталатын атар деп атайды.

2. Функционалды тізбектер мен атарларды жинаталуы. Х жиыныны элементі х айнымалысыны кейбір функциялары болатын тізбектер мен атарлар

тізбегін алайы. рбір шін тізбек жинаталады жне оны аырлы шегі бар дейік. Бл шек мні х айнымалысы мнімен аныталады. Сондытан ол шек те айнымалысы функциясыболады, оны f(x) арылы белгілейік. Сонда

f(x) функциясы тізбекті шектік функциясы деп аталады.

Мшелері бір ана аргументіні функциялары болатын аырсыз

атарын арастырайы. Егер рбір шін атар жинаталатын атар болса, онда ол атарды мшелері осындысы да бар болып , ол да х – ті функциясы болып табылады. атарды блік осындыларын арылы белгілейік. Сонда

Анытама. Егер кез келген саны шін номірі табылып, барлы n номірлері мен кез келген шін тесіздігі орындалса, онда функциялы атар Х жиынында жинталатын атар деп аталады.

3. Дрежелік атар. Жинаталу облысы.

Анытама. жне функциялы атары дрежелік атар деп аталады. Мндаы a белгілі наты сандыр, ал х наты айнымалы шама.

Теорема. (Абель теоремасы). Егер дрежелік атар х – ті х=х₀ м2н3нде жина0талатын 0атар болса6 онда ол тесіздігін анааттандыратын х – ті барлы мндерінде абсолютті жинаталады.

Теорема. Егер дрежелік атар х=х₀ мнінде жинаталмайтын болса, онда ол х – ті тесіздігіе анааттандыратын барлы мндерінде де жинаталмайды.

Анытама. Егер дрежелік атар боланда жинаталатын атар, ал боланда жинаталмайтын атар болса, онда R саны дрежелік атарды жинаталу радиусы деп аталады.

Сонымен атарды жинаталу облысы

(-R,R) интервалы болып табылады, интервал штарында атарды жинаталу немесе жинаталмауы туралы мселе x=-R жне x=R мндерін атара ойанда шыатын сйкес санды атарларды зерттеу арылы шешіледі, егер бл сан атарлары жинаталатын атарлар болса, онда оларды жинаталуы абсолютті де немесе абсолютсіз де болуы ммкін.

Држелік атарды жинаталу радиусын табу шін Даламбер белгісін олдану мумкіндігі туады. Онда .

Немесе Коши белгісін пайдаланса, онда .

Теорема. дрежелік атарды [0,x] аралыында мшелеп интегралдауа болады, яни егер S(x) арылы атар осындысын белгілесек, онда

Теорема. дрежелік атарды зіні жинаталу аралыы ішінде мшелеп дифференциялдауа болады, яни мына тедік орындалады

Енді жалпы трдегі дрежелік атарды арастырамыз

х – ті тесіздігінанааттандыратын мндері шін атар жинаталады, ал боланды жинаталмайды дейік. Бл жадайда R саны атарыны жинаталу радиусы, ал (x₀-R, x₀+R) интервалы жинаталу интервалы деп аталады.

Теорема. Егер f функциясы x=x₀ нктесі маайында жинаталу радиусы R санына те болатын

f(x)=

атары арылы берілсе, онда бл атарды коэффициенттері

тедіктері бойынша аныталады. Сондытан ол атар былай жазылады

Анытама. f(x) функциясы x=x₀ нктесіні кейбір маайында аныталан болсын жне осы нктеде функцияны барлы ретті туындысы бар дейік. Сонда

атары f(x) функциясыны х₀ нктесіндегі Тейлор атары деп аталады. Х₀=0 боланда Тейлор атарынан Маклорен атары деп аталатын

атарын аламыз. Егер f(x) функциясы х₀ нктесіні кейбір маайында дрежелік атара жіктелсе, онда атар f(x) функциясыны Тейлор атары болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясыны барлы ретті туындылары ( ) интервалында шенделген болса, яни траты М саны табылып, барлы х ( ) мндері шін тесіздіктері орындалса, онда сол интервалда f(x) функциясы Тейлор атарына жіктеледі.