ДРІС 29-30. БІРІНШІ ЖНЕ ЕКІНШІ ТИПТІ БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАРЫ

 

зінді тегіс контурмен оршалан кейбір екі жаты тегіс S беті нктелірінде f(M) функциясы аныталан болсын. S бетті алауымызша жргізілген исытыр торы арылы бліктерге блеміз. рбір бліктен алауымызша нктесін алып,сол нктедегі функцияны f(M ) мнін есептейміз жне оны бетті сйкес блігіні ауданына кбейтіп, барлы осындай кбейтінділерді осындысын рамыз Бл осынды бдан брын арастырылан кп осындылара сас боландытын, біз оны интегралды осынды деп атайтын боламыз.

Анытама. Барлы бліктердін диаметрлері нльге мтыландыы осы косындыны шектеулі шегін f(M) функциясыны S бет бойындаы алынан беттік интеграл деп аталады. Жне

 

символмен белгіленеді

Беттік интегралды асиеттері:

 

1) S – ауданы

2)

3)

4) Егер S бетті екі бетке блсек S₁ жне S₂, онда

5) Егер , онда

6)

Беттік интегралды екі еселі интеграла келтіру

 

Сйтіп бірінші типті беттік интегралды еселі интеграла келтіру шін x, z, y координатталарын оларды параметрлер арылы рнектерімен, ал ауданны dS элементін оны исы сызыты координаталар арылы рнегімен ауыстырса боланы

Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированнойповерхностью.

 

Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

 

- екі тектік беттік интеграл.

 

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.