Задачи для контрольных работ

Тема: Классическое определение вероятности.

1. Какова вероятность угадать 3 номера в лотерее 6 из 36?
2. По условию лотереи «Честная игра» при вскрытии 10 клеток из 20, если можно составить слово «автомобиль», то выигрыш составит 150 тысяч рублей. Какова вероятность выиграть эту сумму.

3. Среди 10 лотерейных билетов 3 выигрышных. Покупают 2 билета. Какова вероятность, что среди купленных билетов будет один выигрышный билет?

4. Из полной колоды карт (32 карты) вынимаются три карты. Какова вероятность, что среди вынутых карт будет одна дама?

5. Определить вероятность того, что во взятом наудачу трёхзначном числе все цифры окажутся одинаковыми.

6. Из 50 образцов минерала одного месторождения, подвергшихся химическому анализу, оказалось 4 с меньшим содержанием глины. Первые 8 образцов, отобранных для контроля, оказались с нормальным содержанием глины. Определить вероятность того, что взятый наудачу следующий образец окажется с меньшим содержанием глины.

7. Какова вероятность, что при бросании двух монет выпадет один герб?

8. Бросают два игральных кубика, один белого цвета, а другой черного цвета. Определить вероятность того, что на белом кубике будет больше очков, чем на черном.

9. Номер автомобиля состоит из 3 букв и 3 цифр, которые могут повторяться из набора 20 букв и 10 цифр. Какова вероятность угадать номер случайно проезжающей машины?

10. Куб, все грани которого окрашены, распилили на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три; г) ни одной.

 

Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей.

11. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком при одном выстреле равна 0,9, вторым - 0,7. Какова вероятность, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

12. Пользователь ЭВМ не помнит, на какой из 6 дискет находится нужная ему информация. Он случайным образом просматривает все дискеты, откладывая в сторону просмотренные. Найти вероятность того, что при третьей попытке будет найдена нужная дискета.

13. В первой урне 2 белых и 8 черных шаров, а во второй 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынимается по одному шару. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

14. На шести карточках по одной букве написано слово «геолог». Карточки перемешиваются и случайным образом вынимаются по одной. Найти вероятность того, что в порядке поступления букв получится слово «геолог».

15. По самолету производят два пуска ракет. Вероятность попадания при первом пуске равна 0,9, при втором - 0,7. Найти вероятность, что будет ровно одно попадание в самолёт.

16. Бросаются две монеты. Рассматриваются события: А- выпадения герба на первой монете; В- выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события С=А+В.

17. Прибор состоит из трех блоков. Вероятность безотказной работы первого блока равна 0,9, второго - 0,8, третьего - 0,7. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает прибор. Найти вероятность того, что прибор откажет.

18. Комиссия из трех метеорологов дает прогноз погоды. Причем первые двое дают правильный прогноз с вероятностью 0,8, а третий с вероятностью 0,5. Прогноз дается по большинству голосов. Определить вероятность, что комиссия даст правильный прогноз.

19. Из полной колоды карт (36 карт) вынимается 3 карты (без возврата). Определить вероятность, что среди вынутых карт будет хотя бы один туз.

20. На столе лежат 10 кристаллов структурного типа NaCI и 5 кристаллов типа СsСl. Случайным образом взято 4 кристалла. Найти вероятность того, что из них не менее трех кристаллов структурного типа NaCl.

 

 

Тема: формула полной вероятности.

21. Отец принёс домой 10 яблок и 6 апельсинов. Маша первой случайным образом взяла два фрукта. Найти вероятность, что Даша второй случайным образом возьмет два яблока.

22. В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. Первый поставляет 20 %, второй —30 %, третий — 50 %. 90 % телевизоров первого завода не требуют ремонта в течение гарантийного ремонта, у второго завода — 95 %, у третьего завода — 98 %. Найти вероятность, что купленный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

23. На складе имеются 10 теодолитов I типа и 5 теодолитов II типа. Первая экспедиция случайным образом взяла два теодолита. Какова вероятность, что вторая экспедиция случайным образом возьмет два теодолита I типа.

24.На метеостанцию поступают сводки с трёх пунктов. Объем информации с каждого пункта равен соответственно 15, 45, 40 %. Помехи составляют соответственно 5, 3, 2 %. Найти вероятность, что принятая сводка будет без помехи.

25. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 70 °/о всех случаев работы прибора; ненормальный - в 30 °/о. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в нормальном режиме равно 0,1, в ненормальном - 0,8. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время Т.

26.Страховая компания разделяет страховщиков на три группы. Первая группа составляет 50 процентов страховщиков, вторая 30 процентов, а третья -20 процентов. Вероятность выплачивать страховое вознаграждение для первой группы равно 0,01, для второй группы -0,04, а для третьей - 0,09. Какова вероятность, что застрахованный получит страховое вознаграждение?.

27. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, а во второй 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынули 3 шара и переложили во вторую урну. Какова вероятность вынуть сразу три белых шара из второй урны?

28.При переливании крови надо учитывать группу крови пациента и донора. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой. Человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую группу, 37,5% - вторую, 20,9% - третью, 7,9% - четвертую. Найти вероятность того, что случайно взятому пациенту можно перелить кровь случайно взятого донора.

29. В первой урне 2 белых и 8 черных шаров, а во второй 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны случайным образом удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Какова вероятность вынуть белый шар из третьей урны?

30. Имеются три урны. В первой урне 10 белых шаров, во второй 5 белых и 5 черных, а в третьей 10 черных. Из случайно выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность, что это будет белый шар.

 

Тема: Формула Байеса.

31. На складе имеются 10 теодолитов I типа и 5 теодолитов II типа. Первая экспедиция случайным образом взяла два теодолита. Вторая экспедиция взяла два теодолита I типа. Найти вероятность, что первая экспедиция взяла два теодолита I типа.

32. В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. Первый поставляет 20%, второй – 30%, третий – 50%. 90% телевизоров первого завода не требуют ремонта в течение гарантийного ремонта, у второго завода – 95%, у третьего завода – 98%. Купленный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность, что он поступил со второго завода.

33. На метеостанцию поступают сводки с трёх пунктов. Объем информации с каждого пункта равен соответственно 15, 45, 40%. Помехи составляют соответственно 5, 3, 2 %. Принятая сводка оказалась с помехой. С какой метеостанции вероятнее всего принята была сводка?

34.Три геологические экспедиции проводят независимо друг от друга исследования одной и 'той же местности. Вероятности обнаружения залежей полезных ископаемых для каждой из экспедиций равны соответственно 0,9; 0,6; 0,8. В центр поступило сообщение об обнаружении залежей полезных ископаемых. Найти вероятность того, что их обнаружила третья экспедиция.

35.В магазин поступают телевизоры с трёх заводов. Первый поставляет 20%, второй – 30%, третий – 50%. 90% телевизоров первого завода не требуют ремонта в течение гарантийного ремонта, у второго завода – 95%, у третьего завода - 98 %. Купленный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность, что он поступил со второго завода.

36. Отец принес домой 10 яблок и 6 апельсинов. Маша первой случайным образом взяла два фрукта. Даша второй случайно взяла два яблока. Найти вероятность, что Маша тоже взяла два яблока.

37. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5.В мишени оказалась одна пробоина. Определить вероятность того, что попал в мишень второй стрелок.

38.Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами. Первый проверяет 60 процентов продукции, а остальное проверяет второй контролер. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие равна 0,02, а второй 0,03. Взятое изделие оказалось нестандартным среди проверенных контролерами. Какова вероятность, что ошибка допущена вторым контролером?

39. В магазин костюмы поступают с трех фирм в соотношении 4:3:3. В продукции первой фирмы стандарт составляет 90%, второй 85%. Третьей – 80%. Купленный костюм оказался стандартным. Какова вероятность, что он поступил со второй фирмы?

40. В Спартакиаде института участвуют: из первой группы 4 студента, из второй - 6

и из третьей - 5. Студент из первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, для студента третьей группы - 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе вероятнее всего учится студент?

 

Тема: Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.

41.В 80% случаев добытый янтарь содержит останки насекомых. Найти вероятность того, что не более двух добытых образцов из четырех найденных не содержат останков насекомых.

42.Вероятность того, что таёжное озеро заболочено в некотором районе, равна 0,4. Найти наивероятнейшее число заболоченных озер среди девяти случайно встретившихся и соответствующую вероятность.

43.Вероятность хотя бы одного появления события при четырёх независимых опытах равна 0,5904. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

44.Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,1. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,85 получить хотя бы один отказ?

45.Комиссия принимает решение о разработке месторождения, если не менее двух партий из четырёх подтверждает наличие промышленных залежей. Каждая партия независимо от других подтверждает с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что комиссией будет принято положительное решение.

46. Вероятность опоздать на электричку для каждого пассажира равна 0,01. Определить наивероятнейшее число опоздавших на электричку среди 799 пассажиров.

47. При передаче сообщения вероятность искажения знака равна 0,01. Искажения независимы друг от друга. Найти вероятность, что при передаче четырех знаков будет ровно два искажения.

48. Сколько раз нужно подбросить кубик, чтобы число «6» появилось хотя бы один раз с вероятностью не менее 0,8?

49.Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,25. Выигрыши на различные билеты независимы друг от друга. Сколько нужно купить билетов, чтобы вероятность выигрыша хотя бы на один билет была не менее 0,9?

50. Двое бросают монету по два раза. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

 

Тема: Биномиальный закон распределения.

51.-60. Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Рассматривается случайная величина Х — число появления события А в n опытах. Построить ряд, многоугольник и функцию распределения случайной величины Х, найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

 

51. n=4, р=0,2.

52. n=3, р=0,4.

53. n=2, р=0,3 .

54. n=4, р=0,5.

55. n=3, р=0,6.

56. n=2, р=0,4.

57. n=4, р=0,3.

58. n=3, р=0,5.

59. n=4, р=0,4.

60. n=3, р=0,2.

 

 

Тема: Теорема Муавра-Лапласа.

81.Найти вероятность того, что в партии из 600 образцов число образцов, содержащих медь, заключено между 470 и 490, если из 1000 образцов медь содержат 800.

82.Игральная кость подбрасывается 1800 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпадет в пределах от 280 до 310 раз?

83.Вероятность выхода из строя автомобиля равна 0,2. Какова вероятность того, что из 300 автомобилей, обслуживающих карьер, в работе будет задействовано от 220 до 250 автомобилей.

84.Всхожесть семян кукурузы составляет 90 °/о Какова вероятность, что среди 400 замоченных зерен не взойдут от 30 до 50 семян?

85.Вероятность, что деталь будет без брака равна 0,8. Определить вероятность, что среди 400 деталей бракованных будет от 60 до 100 деталей.

86.Вероятность малому предприятию быть банкротом равна 0,2. Найти вероятность, что обанкротятся от 10 до 20 малых предприятий из 100.

87.При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн рублей. Найти вероятность того, что при

обследовании 1800 банков уставной капитал свыше 100 млн рублей имеют от 300 до 400 банков.

88.На автомобильном заводе 40% автомашин окрасили в красный цвет. Какова вероятность, что среди 400 автомобилей от 150 до 170 автомобилей будут иметь красный цвет.

89. В вузе среди студентов 1/3 составляют юноши. Какова вероятность, что среди 300 студентов юношей будет от 90 до 105 человек.

90.В среднем каждый пятый призывник направляется для службы на флоте. Какова вероятность, что среди 500 призывников на флот будут направлено от 90 до 115 человек.

 

Тема: Случай Пуассона.

91.Вероятность укуса клещом равна 0,001. Какова вероятность, что среди 5000 застрахованных пострадает: а) шесть застрахованных; б) не менее 4 застрахованных; в) не более 7 застрахованных.

92.Вероятность, что рыба является недоброкачественной, равна 0,003. Какова вероятность, что среди 2000 отловленных рыб недоброкачественными будут: а) 4 рыбы; б) хотя бы одна рыба.

93.Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность брака равна 0,0002. Какова вероятность, что тираж содержит: а) 3 бракованные книги; б) не менее двух бракованных книг.

94. Среднее число заявок, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту равно 3. Найти вероятность, что за 2 минуты поступит: а) 5 заявок; б) не более 7 заявок.

95.Прядильщица обслуживает 300 веретен. Вероятность обрыва на одном веретене в течение одной минуты равна 0,003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдут: а) менее трёх обрывов; б) 4 обрыва.

96.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01 .Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

97.Прибор зарегистрировал 1000 космических частиц. Вероятность того, что частица выводит из строя элемент прибора равна 0,0001. Найти вероятность того, что из строя выйдет ровно 2 элемента.

98.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель не менее двумя выстрелами при залпе в 5000 выстрелов.

99.Завод отправил потребителю 2000 телевизоров. Вероятность того, что телевизор будет поврежден при перевозке, равна 0,0002 . Найти вероятность того, что 3 телевизора будут повреждены при перевозке.
100. Вероятность того, что рыба является недоброкачественной, равна 0,001. Какова вероятность, что среди 5000 отловленных рыб недоброкачественными будут 3 рыбы.

 

Тема: Закон больших чисел.

101. Из 2000 образцов руды было подвергнуто исследованию 400 отобранных случайным образом. Среди них оказалось 20 не содержащих меди. Приняв долю образцов без меди среди отобранных за вероятность всей партии, оценить вероятность того, что во всей партии окажется образцов без меди не более 7% и не менее 3%.

102. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Вероятность Поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Оценить вероятность того, что в текущем году придется выплатить страховку от 50 до 70 владельцам автомобилей.
103. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция скорости ветра на фиксированное направление. Определить вероятность того, что скорость ветра будет в пределах от 5 до 25 км/час, если путем многолетних наблюдений установлено, что среднее значение скорости 15 км/час, а среднее квадратическое отклонение равно 4 км/час.
104. Количество осадков для данной местности является случайной величиной и составляет 250 мм. Среднее квадратическое отклонение составляет 40 мм. Оценить вероятность того, что в данном году выпадет от 200 до 300 мм осадков.
105. В районе находится 100 автономных метеопунктов. Вероятность того, что метеопункт находится на профилактическом ремонте или не задействован, равна 0,3. Оценить вероятность того, что в данный момент работают от 50 до 90 метеопунктов.
106. Вероятность появления события в каждом опыте равна 0,25. Используя неравенство Чебышева оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.
107. Суточная потребность электроэнергии прииска является случайной величиной со средним значением 5000 квт/час. Среднее квадратическое отклонение равно 50 квт/час. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии на прииске будет в пределах от 4500 до 5500 квт/час.
108. Толщина угольного пласта является случайной величиной и составляет в среднем 200 см. Среднее квадратическое отклонение толщины пласта равно 20 см. Оценить вероятность того, что толщина пласта колеблется в пределах от 150 до 250 см.
109. Оценить вероятность того, что при 100 бросаниях монеты частота появления герба отклонится от вероятности появления в одном опыте не более, чем на 0,05
110. Вероятность появления события в каждом опыте равна 0,3. Используя неравенство Чебышева , оценить вероятность того, что в 5000 испытаниях отклонение частоты события от вероятности его в одном опыте не превзойдет по абсолютной величине 0,02.

 

Тема: Статистическая обработка опытных данных. Точечная оценка числовых характеристик.
111.-120. По результатам анализа 50 проб медного концентрата получены содержания меди (в %). Результаты наблюдений записаны в порядке поступления. По данным выборки выполнить следующие задания:
а) составить дискретный вариационный ряд;
b) составить интервальный вариационный ряд (не менее 5 интервалов);
с) для интервального вариационного ряда построить дискретный вариационный ряд;

d) найти эмпирическую функцию распределения, построить график;

е) вычислить числовые характеристики дискретного вариационного ряда: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое;

f) Найти моду и медиану распределения.

111.50, 48, 53, 51, 49. 47, 48, 52, 51, 49, 41, 42, 59, 58, 45, 47, 44, 54, 56, 55, 43, 57, 45, 46, 54, 47, 52, 50, 51, 48, 49, 52, 50, 48, 53, 44, 46, 45, 54, 56, 55, 47, 49, 51, 50, 52, 49, 55, 48, 49.

112. 44, 47, 45, 49, 50, 47, 48, 48, 46, 45, 44, 46, 45, 49, 49, 47, 48, 45, 46, 50, 38, 41, 39,43, 56, 42, 55, 51, 42, 53, 44, 52, 41, 44, 51, 46, 53, 48, 52, 47, 40, 49, 53, 46, 42, 52, 43, 45, 51, 4б.

113.53, 50, 51, 56, 53, 55, 54, 54, 52, 51, 50, 52, 51, 55, 55, 53, 54, 51, 52, 56, 44, 47, 45, 49, 62, 48, 61, 57, 48, 59, 50, 58, 47, 50, 57, 52, 59, 54, 58, 53, 46, 55, 60, 52, 48, 58, 49, 51, 57, 52.

114.55, 52, 58, 55, 54, 52, 51, 57, 55, 54, 46, 47, 64, 50, 50, 52, 49, 59, 61, 60, 55, 62, 50, 51, 59, 53, 57, 56, 56, 53, 53, 57, 56, 53, 58, 49, 51, 63, 59, 61, 60, 52, 54, 56, 48, 57, 54, 60, 53, 54.

115.45, 43, 47, 46, 46, 42, 44, 47, 46, 43, 36, 37, 54, 53, 49, 42, 39, 49, 51, 50, 38, 52, 41, 43, 42, 48, 45, 44, 43, 43, 47, 45, 44, 48, 39, 41, 40, 40, 51, 50, 42, 44, 46, 47, 40, 50, 49, 44.

116.40, 37, 38, 42, 43, 40, 41, 39, 42, 39, 31, 34; 49, 35, 35, 46, 34, 37, 46, 45, 33, 47, 35, 45, 44, 37, 39, 38, 42, 41, 38, 40, 41, 38, 43, 32, 36, 48, 44, 37, 45, 44, 39, 41, 40, 42, 39, 3б, 38, 39.

117. 60, 58, 60, 61, 58, 57, 58, 62, 61, 59, 51, 52, 56, 68, 64, 57, 57, 64, 61, 65, 53, 67, 55, 56, 64, 63, 57, 62, 59, 61, 62, 60, 59, 58, 54, 63, 69, 55, 55, 66, 54, 65, б6, 59, 62, 60, 65, 59, 59, 58.

118.20, 51, 28, 40, 30, 53, 32, 42, 47, 48, 41, 49, 40, 41, 43, 45, 33, 47, 47, 46, 43, 42, 44, 45, 48, 41, 54, 43, 25, 45, 43, 55, 48, 70, 49, 38, 44, 35, 58, 65, 43, 41, 63, 45, 37, 57, 38, 59, 56, 39.

119.25, 46, 56, 59, 33, 48, 45, 30, 35, 50, 58, 48, 37, 60, 47, 53, 52, 75, 53, 54, 46, 43, 54, 49, 45, 40, 46, 63, 48, 70, 50, 48, 38, 46, 52, 68, 52, 50, 51, 42, 48, 62, 47, 43, 49, 64, 50, 61, 53, 44.

120. 30, 64, 38, 50, 55, 63, 42, 52, 80, 58, 48, 59, 45, 51, 53, 55, 43, 57, 57, 56, 67, 48, 69, 66, 49, 61, 51, 35, 53, 40, 65, 53, 57, 58, 51, 59, 50, 54, 75, 68, 53, 51, 55, 73, 53, 47, 52,54,55, 58.

 

Тема: Полигон и гистограмма.

121- 130. Используя результаты задания 111-120:

а) построить полигон частот и относительных частот для дискретного вариационного ряда, полученного из интервального вариационного ряда;
б) для интервального вариационного ряда построить гистограмму частот и относительных частот;

Чему равна площадь гистограммы частот и относительных частот?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Критерий согласия Пирсона «хи-квадрат», критерий Колмогорова.

 

181 -190. Пользуясь критерием Пирсона «хи-квадрат», при уровне значимости = 0,05 ,

установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупности с данными выборки, представленными в виде дискретного и

интервального вариационного ряда. В качестве исходных использовать данные

заданий 111-120. Применить Критерий Колмогорова и сравнить все три полученных вывода.

 

б) основная литература

1.Буре, В. М. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] / В. М. Буре. - Москва : Лань, 2013. - Режим доступа: ЭБС "Издательство "Лань". - Неогранич. доступ. - ISBN 978-5-8114-1508-3

2. Кремер, Наум Шевелевич. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. для студ. вузов, обуч. по экон. спец. / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2007. - ISBN 978-5-238-01101-1

З. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций [Текст] : учеб. пособие / ред. А. А. Свешников. - 4-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2008. - 445 с. ; 21 см. - (Классическая учебная литература по математике). - ISBN 978-5-8114-0708-8 :

Интернет - источники (e11ib.1ibiary.isu.гu).

1.Докин В.Н., Тюрнева Т.Г. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. - Иркутск.- Иркутск. ун-т. -2007.- 184 с.

2.Жуков В.Д., Л.А.Соловьева. - Теория вероятностей и математическая статистика. Варианты контрольных .работ. — Иркутск. — Иркутск. ун-т. — 2016. —19 с.