Плоскость и прямая в пространстве

1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :

 

.

 

Вектор перпендикулярен к плоскости.

2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение

 

.

 

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,

, :

 

4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

 

 

Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат.

Решение. Составим уравнение плоскости

 

,

 

 

; .

 

Расстояние от начала координат до плоскости

 

.

 

5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:

 

 

если и не коллинеарны.

6. Канонические уравнения:

 

 

–прямая, проходящая через точку в направлении .

7. Прямая, проходящая через две данные точки

 

 

8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п.

Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости .

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .

 

Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты.

Решение. Найдем координаты векторов — ребер:

 

.

 

, ,

 

.

 

1) Длина вектора .

2) ,

,

 

Скалярное произведение: ,

,

 

.

 

Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим .

3) Площадь грани .

 

 

Векторное произведение

 

;

 

,

 

4) Объем пирамиды .

Смешанное произведение

 

,

 

.

 

5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

; ;

 

.

 

6) Уравнение плоскости по трем точкам:

 

.

 

; ;

 

 

.

 

7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой:

.

Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .

 

 

8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости

 

или

 

; .

 

 

Комплексные числа

4.1.Комплексным числом называется выражение вида:

,

где и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию

.

Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа .

Комплексные числа можно представлять точками плоскости или же векторами этой плоскости.

 

4. 2. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через , так что .

Угол , образованный вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается

 

.

 

,

где – главное значение , определяемое условиями , причем,

 

 

Так как , , то — тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

 

 

можно перейти от тригонометрической формы к показательной

 

.

 

4. 3. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: ; . Или когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :

 

,

 

4. 4. Основные действия над комплексными числами.

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части

.

 

, .

 

Умножение: .

Деление:

.

 

 

Возведение в степень целое):

 

.

 

Корень из комплексного числа целое):

 

.

 

Корень – ой степени из любого числа имеет различных значений, которые располагаются в вершинах правильного – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.


 

Пример. Даны комплексные числа в алгебраической форме:

; . Записать их в тригонометрической и показательной формах, изобразить на комплексной плоскости.

Выполнить указанные действия: , , , . Найти все корни уравнения , изобразить их на плоскости.

Решение.

Изобразим числа и на комплексной плоскости

 

, , .

 

,

 

.

 

Тригонометрическая форма:

 

, .

 

Показательная форма числа: ; .

Для ; ; ;

 

,

 

Выполним действия:

 

1) ,

 

2) ,

 

Умножаем по правилу умножения многочленов, учитывая, что или . (При умножении показатели складываются).

 

3)

.

 

В показательной форме:

. (При делении показатели вычитаются).

4) . Лучше это действие выполнять в показательной форме

.

Найдем корни уравнения , .

Корень третьей степени из комплексного числа имеет три различные значения. В данном случае

.

 

, ,

 

 

имеют одинаковый модуль, значит они располагаются на окружности с центром в начале координат, радиусом , так как разность аргументов , то они лежат в вершинах правильного вписанного треугольника.

 

Задания по теме «Элементы линейной алгебры»

1-10. Вычислить матрицу , если

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

 

11-20. Найти обратную для матрицы А, проверить, что А-1А=Е:

 


11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20.


 

21-30. Найти решение системы линейных уравнений: а) по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы; б) методом Гаусса.

21. а) б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

26. а) б)

27. а) б)

28. а) б)

29. а) б)

30. а) б)