Нахождение угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости , - направляющий векор прямой l;

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).

 

Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ:45

Нахождение угла между двумя плоскостями

  • Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
  • Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0; 180)
  • Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0; 90].
  • Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0, - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А0 + В0 + С0 +D =0;

А1 + В0 + С1 +D =0;

А0 + В0,5 + С1 +D =0.

Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.

Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1

Составим уравнение плоскости (CF ), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А1 + В1 + С0 +D =0;

А1 + В0 + С1 +D =0;

А0,5 + В1 + С1 +D =0.

Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:

.

Значит, угол между плоскостями равен 60. Ответ: 60.