Аныталан интегралда айнымалыны ауыстыру.

.берілсін, мндаы f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде здіксіз болcын. формуласымен жаа айнымалы t-енгізейік.

Егер 1)

2) кесіндісінде здіксіз болсын.

3) кесіндіде аныталан жне здіксіз болсын. Сонда аныталан интегралда айнымалыны ауыстыруды тмендегідей формуласы орынды болады. .

Аныталан интегралда блшектеп интегралдау.

Аныталан интегралда блшектеп интегралдау формуласы: болады. Мысалы.

 

Декарт координатындаы ауданды есептеу.

[a,b] сегментінде здіксіз y=f(x) функциясы о болса, онда исы сызыты трапецияны ауданы (1) формуласымен табылады. Енді [a,b] сегментінде f(x)<0 болсын.(1) формула бойынша (2) болады. (1) жне (2) формуланы біріктіріп былай жазуа болады. (3).

исы сызыты трапецияны шектеген исы параметрлік тедеумен берілген жадайдаы ауданды есептейік. (4). Мндаы болсын. Онда аудан формуласымен табылады. Бл интегралдаы айнымалыны ауыстырайы. (4) формула бойынша болады. Сондытан .

Полярлы координатасымен берілген исыпен шектелген фигураны ауданын есептеу.

доасыны исыымен жне сол доаны шеткі нктелеріні радиус векторларымен шектелген исы сызыты секторды ауданын есептеу керек болсын. .

Денені клемін белгілі клдене имасы бойынша есептеу.

Бір денені арастырайы. Оны Ох осіне перпендикуляр жазыпен иандаы ималарды аудандары белгілі болсын дейік. Бл ималарды клдене ималар деп атаймыз. Сонда .

Айналу денесіні клемі.[a,b] сегментінде аныталан y=f(x) исыы берілсін. аАВв исы сызыты трапецияны Ох осінен айналуынан шыан денені клемін есептеу керек болсын. Клдене ималары радиусы айналу исыыны ординатасы у-ті абсолют шамасына те дгелектер болады. Сондытан иманы ауданы болады. Сонда айналу денесіні клемі болады.

Исыты доасыны зындыы жне доаны дифференциалы.

[a,b] сегментінде аныталан f(x) функциясы берілсін жне y=f(x) исыы здіксіз болсын. Осы исыты А жне В нктесіне дейінгі доасыны зындыы мына формуламен есептеледі:

исы параметрлік тедеумен берілген жадайдаы доаны зындыын есептейік. . Мндаы - здіксіз туындылары бар здіксіз функциялар болсын жне берілген аралыта нлге те болмайтын болсын. Онда .

Енді исыты тедеуі полярлы координаталарымен берілгендегі доаны зындыыны формуласын берейік.

исыты тедеуі берілсін, мндаы -полярлы радиус, -полярлы брыш. Сонда .

Айналу денесіні бетіні ауданы.

y=f(x) исыыны Ох осінен айналуынан шыан бет берілсін. аралыындаы сол бетті ауданыны формуласы: .

Егер исы параметр трде берілсе, онда осы исыты Ох осінен айналуынан шыан бетті ауданы тмендегідей формуламен есептеледі: .

Меншіксіз интегралдар.

Аныталан интегралда интегралдау интервалдары шекті деп жне интеграл астындаы функция сол аралыта шексіздікке айналмайды деп алды. Ондай интегралдарды меншікті интегралдар деп атаймыз. Егер е болмаанда жоарыдаы екі шартты біреуі орындалмаса, онда интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.

1. Шектері шексіздік болып келетін интегралдар. f(x) функциясы сулесінде берілсін жне кезкелген шекті [a,b] кесіндіде интегралданатын болсын.

Анытама. бар болса, онда ол f(x) функциясыны жоары шегі шексіздік болып келген меншіксіз интегралы деп аталады жне деп белгілейді. Сонымен, . Егер осы шек бар болса, меншіксіз интегралы жинаталады дейді. Егер бл шек болмаса онда шашырайды дейді.

Сонымен арастырылан интеграл жнінде мынандай орытынды жасауа болады.

Егер болса, онда болады, яни интеграл жиаталады.

Егер болса, онда болады, яни интеграл шашырайды.

Егер болса, онда болады, яни интеграл шашырайды.

1-Теорема. Егер х-ті барлы мні шін тесіздігі орындалса жне егер жинаталса, онда интегралданады, жне сонымен бірге болады.

2-Теорема. Егер х-ті барлы мні шін тесіздігі орындалса жне егер жинасыз болса, онда -та жинасыз болады.

3-Теорема. Егер интегралы жинаты болса, онда интегралы да жинаты болады. Бл жадайда абсолютты жинаталады деп аталады.